דינמיקה

מסה

מסה אומרת כמה קשה לשנות את תנועתו של גוף. ככל שהמסה גדולה יותר, כך נדרש כוח גדול יותר כדי להעניק לו תאוצה מסוימת. המסה נמדדת בקילוגרמים ($\text{kg}$) והיא סקالرית.

תנע

תנע ליניארי הוא מכפלת המסה במהירות:

לתנע יש כיוון – הוא מצביע באותו כיוון כמו המהירות. היחידה שלו היא $\text{kg m s}^{-1}$, שאותה ליחידה $\text{N s}$.

כוח כקצב שינוי התנע

חוק השני של ניוטון, בצורתו הכללית: הכוח הנתון על גוף שווה לקצב השינוי במומנטום שלו.

כאשר המסה קבועה, משוואה זו הופכת ל$F = ma$, כי $\Delta p = m\,\Delta v$ ו$\Delta v / \Delta t = a$. שאלות Cambridge לעיתים קרובות דורשות להשתמש ב$F = \Delta p / \Delta t$ ישירות עבור התנגשות או אימפולס: הכוח הממוצע שווה לשינוי במומנטום חלקי זמן המגע.

כדור פוגע בקיר במומנטום $p_{1}$ וקופץ אחורה במומנטום $p_{2}$ בכיוון הנגדי. שינוי המומנטום הוא $\Delta p = p_{2} - p_{1}$ (תן לכל כיוון את הסימן הנכון). הכוח הממוצע הוא $\Delta p / \Delta t$, כאשר $\Delta t$ הוא זמן המגע.

דוגמה מפורטת. כדור בעל מסה $0.20\ \text{kg}$ פוגע בקיר במהירות $8.0\ \text{m s}^{-1}$ וקופץ ישר אחורה במהירות $6.0\ \text{m s}^{-1}$. זמן המגע הוא $0.050\ \text{s}$. מצאו את הכוח הממוצע הפועל על הכדור.

חשבו את כיוון הקפיצה כחיובי, ולכן $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$ ו$v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:

כאשר ידוע המומנטום אך לא מהירות, שינוי אנרגיה קינטית הוא

מסקרה זו נובעת מ$E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$.

גרפים מומנטום-זמן

מכיוון ש$F = \Delta p / \Delta t$, השיפוע של גרף מומנטום-זמן הוא הכוח הנתון, בדיוק כמו שהשיפוע של גרף מהירות-זמן הוא התאוצה. קו ישר מעיד על כוח נתון קבוע; קו אופקי מעיד על כוח נתון אפס; קו היורד מעיד על כוח הפועל נגד תנועת הגוף.

דוגמה מפורטת. הגרף מראה את המומנטום של אופנוע. מצאו את הכוח הנתון הפועל עליו במהלך ה-$10\ \text{s}$ הראשונים.

השיפוע הוא $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$. בין $10\ \text{s}$ ל$16\ \text{s}$ המומנטום קבוע, ולכן הכוח הנתון הוא אפס: כוח הנהיגה מאזן בדיוק את כוחות ההתנגדות. מ-$16\ \text{s}$ ל-$20\ \text{s}$ המומנטום יורד ב-$2000\ \text{kg m s}^{-1}$, ולכן הכוח הנתון הוא $-500\ \text{N}$, הפועל לאחור.

אם שאלה מציבה כי המהירות משתנה בעוד הכוח הנתון נשאר קבוע, כוח זה אינו יכול להיות התנגדות אוויר: כוח ההתנגדות תלוי במהירות, ולכן היה משתנה עם השינוי במהירות, והוא תמיד פועל נגד תנועת הגוף.

החוק הראשון

גוף נשאר במנוחה או ממשיך לנוע במהירות קבועה ובקו ישר, אלא אם כן פועל עליו כוח חיצוני שורש. בקיצור: כוח שורש אפס משמעותו תאוצה אפס.

החוק השני

הכוח השורש על גוף שווה לקצב שינוי התנע שלו, ופועל באותו כיוון כמו השינוי. ביחידות SI,

התאוצה והכוח השורש תמיד מצביעים באותו כיוון.

החוק השלישי

כאשר גוף A דוחף על גוף B, גוף B דוחף בחזרה על גוף A בכוח שווה ומנוגד. שני הכוחות:

• פועלים על גופים שונים,
• הם מאותו סוג (שניהם כבידה, שניהם מגע, שניהם חשמלי-סטטי, וכו'),
• יש להם אותו גודל וכיוון מנוגד.

מלכודת נפוצה: המשקל של בלוק על שולחן והכוח המגע הנורמלי מהשולחן הם לא זוג חוק שלישי (הם פועלים על אותו גוף והם מסוגים שונים). השותף לחוק השלישי של המשקל של הבלוק הוא הכוח שהבלוק מפעיל על כדור הארץ. השותף לחוק השלישי של כוח המגע של השולחן הוא הכוח שהבלוק דוחף על השולחן.

כדי למנות שותף לחוק השלישי, להחליף בין שני הגופים במשפט. "גלגל אחורי של אופניים דוחף לאחור על הכביש" מתאים ל"הכביש דוחף קדימה לגלגל האחורי", והדחיפה הקדמית הזו היא מה שמניע את האופניים. "הארץ מושכת את הירח" מתאים ל"הירח מושך את הארץ", עם אותו גודל כוח.

לצ'ת: הדחיפה לצ'ת והכוח על הגזים הם זוג חוק שלישי (המנוע דוחף את הגז כלפי מטה, הגז דוחף את המנוע כלפי מעלה). משקל והתנגדות אוויר אינם חלק מזוג זה.

משקל הוא הכוח הפועל על גוף מתוך שדה כבידה. קרוב לפני הקרקע,

כאשר $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ היא תאוצת הנפילה החופשית. המשקל הוא וקטור המצביע כלפי מרכז כדור הארץ. אל תבלבו בינו לבין מסה: המסה זהה בכל מקום, אך המשקל משתנה בהתאם למיקום.

בירח $g$ היא בערך $1.6\ \text{m s}^{-2}$, ולכן מסת האסטרונאוט אינה משתנה אך משקלו הוא בערך שישושה מערכו בכדור הארץ. כאשר שאלת בחירה דורשת לזהות את ההגדרה המתאימה למשקל, התשובה הנכונה היא "הכוח הפועל על הגוף עקב שדה כבידה", ולא "מסה כפול תאוצה" ואף לא הכוח הריסטי.

כוחות חיכוך והתנגדות

כוח חיכוך בין פני שתי משטחים מוצקים פועל לאורך המשטח ומתנגד להחלקה. כוח ויסקוזי או התנגדות הוא כוח ההתנגדות מהזורם (נוזל או גז) לגוף הנע בתוכו; התנגדות אוויר היא המקרה של אוויר. אין צורך להשתמש במקדם חיכוך או ויסקוזיות.

מודל פשוט: ההתנגדות גדלה ככל שהמהירות גדלה. במהירות אפס, ההתנגדות היא אפס. ההתנגדות גם עולה עם השטח החוצוני של הגוף ועם צפיפות הזורם; מצנחן עובד על ידי הגדלת השטח, ולכן גם ההתנגדות, בצורה משמעותית. כוחות חיכוך אלו וכוחות התנגדות הם כוחות התנגדות: הם פועלים נגד כיוון התנועה ומעבירים אנרגיה קינטית לאנרגיה תרמית.

גוף הצולל באוויר

עבור גוף שנופל ממצב רכינה וצולל באוויר:

1. בהתחלה, רק המשקל פועל, ולכן הגוף מאיץ כלפי מטה ב-$g$.
2. ככל שהמהירות עולה, ההתנגדות כלפי מעלה עולה. הכוח הריסטי קטן, ולכן התאוצה קטנה.
3. בסופו של דבר, ההתנגדות שווה למשקל. הכוח הריסטי הוא אפס, התאוצה היא אפס, והמהירות נשארת קבועה — זו ה-מהירות הסופית.

גרף מהירות-זמן: הקו מתחיל ישר עם שיפוך $g$, לאחר מכן מתעגל ומשטח במהירות הסופית. צורה זו (התחלה מהירה, ולאחר מכן תאוצה הולכת וקטנה, ולאחר מכן מהירות קבועה) היא הבדל "נפילה עם התנגדות אוויר" מ"נפילה חופשית בוואקום" בשדה כבידה אחיד. בגרף תאוצה-זמן, התאוצה מתחילה ב-$g$ ויורדת, מתעגלת כלפי מטה עד לאפס.

שתי כדורים באותו גודל אך בצפיפויות שונות יש להם מהירויות סופיות שונות: הכדור הצפוף יותר יש לו משקל גדול יותר, ולכן הוא זקוק להתנגדות גדולה יותר כדי לאזן אותו, וההתנגדות מגיעה לערך זה רק במהירות גבוהה יותר. זאת גם הסיבה שמצנחן משנה הכל: כאשר הוא נפתח, ההתנגדות עולה פתאום מעל המשקל, הכוח הריסטי הוא כלפי מעלה, והקופץ מאט (התאוצה כלפי מעלה בעוד שהמהירות עדיין כלפי מטה) עד שההתנגדות יורדת שוב לשוויון עם המשקל במהירות סופית חדשה, נמוכה הרבה יותר.

צליחה דרך נוזל: שלושה כוחות

כדור הצולל דרך נוזל מושפע משלושה כוחות: הכובד כלפי מטה, העלייה כלפי מעלה והחיכוך הויסקוזי כלפי מעלה. העלייה נובעת מלחץ הידרוסטטי: הלחץ בנוזל עולה עם העומק, ולכן הנוזל לוחץ בחוזקה על תחתית הכדור יותר מאשר על חלקו העליון, והתוצרת של לחצים אלו היא כלפי מעלה. גודלה שווה למשקל הנוזל שהכדור דוחה, $U = \rho_{\text{liquid}} V g$ (נושא 4). החיכוך גדל עם המהירות. כאשר הכובד $=$ עלייה $+$ חיכוך, התוצרת היא אפס והכדור צולל במהירות הסופית שלו. שאלת "צייר חצים מסומנים" דורשת בדיוק שלושה כוחות אלו, כאשר העלייה והחיכוך כלפי מעלה והכובד כלפי מטה.

דוגמה מפורטת. כדור פלדה בעל רדיוס $2.0\ \text{mm}$ ומשקל $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ צולל דרך שמן בצפיפות $850\ \text{kg m}^{-3}$. כוח המתיחה הלמינארי (הויסקוזי) עליו הוא $F = 6\pi \eta r v$, כאשר $\eta$ היא הויסקוזיות של השמן ו$v$ המהירות. (א) מצאו את היחידות הבסיסיות בSI עבור $\eta$. (ב) הראו שהכוח המוביל על הכדור הוא $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$. (ג) בהינתן $\eta = 0.20$ ביחידות SI, מצאו את המהירות הסופית.

(א) $\eta = F / (6\pi r v)$, ולכן יחידותיו הן $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$.

(ב) $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$, ולכן $U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$.

(ג) במהירות הסופית, החיכוך $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$. לכן $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$.

אנרגיה בזמן צליחה במהירות סופית

במהירות סופית, לקופץ עם חלון קרוע יש אנרגיה קינטית קבועה. אך האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית ממשיכה לצמצם כשהוא יורד. לאן היא הולכת? כמעט כולה הופכת לאנרגיה תרמית של האוויר סביבו. היא לא הופכת לאנרגיה קינטית של הקופץ — זו נשארת קבועה.

רוכב אופניים או מכונית במהירות קבועה

רכב הנע במהירות קבועה על כביש ישר בעל תוצרת כוחות אפס. הכוח המניע קטן שווה וגדול בכיוון הפוך לסך כוחות ההתנגדות (חיכוך, התנגדות אוויר והתנגדות גלילה). במהירות גבוהה יותר החיכוך גדול יותר, ולכן הכוח המניע חייב להיות גדול יותר גם הוא — ולכן ההספק חייב להיות גדול יותר.

בעלייה, לכובד יש רכיב לאורך הכביש. בעלייה במהירות קבועה, הכוח המניע חייב לאזן את כוח ההתנגדות וגם את חלק הכובד שמושך למטה בעלייה, $W\sin\theta$; בירידה, אותו רכיב עוזר לתנועה.

דוגמה פתורה. מכונית בעלת מסה $1500\ \text{kg}$ עולה בכביש המשופע בזווית $12°$ לאופק במהירות קבועה $30\ \text{m s}^{-1}$. סך כוחות ההתנגדות הוא $1600\ \text{N}$. מצאו את כוח המניע והספק הפלט היעיל של המנוע.

מהירות קבועה פירושה תוצרת כוחות אפס לאורך העלייה: $D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$. הספק הוא כוח כפול מהירות (נושא 5): $P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$.

העיקרון

למערכת ללא כוח חיצוני נטו, התנע הכולל נשאר קבוע. זהו שימור תנע. ניסוח עבור שתי הנקודות שהבוחן נותן: התנע הכולל של מערכת גופים נשאר קבוע בתנאי שאין כוח חיצוני נטו הפועל על המערכת. שני החלקים נדרשים: "התנע הכולל הוא קבוע" לבדו מניח נקודה אחת בלבד.

זה מתקיים תמיד כאשר אין כוח חיצוני נטו — בהתנגשויות, פיצוצים והתכווצות (recoil). בממד שני, התנע שמר על עצמו לאורך כל כיוון בנפרד.

דוגמה פותרת. עגלה מסתת $2.0\ \text{kg}$ ועגלה מסתת $3.0\ \text{kg}$ מוחזקות יחד נגד קפיץ דחוס, ולאחר מכן משוחררות ממנוחה. העגלה $2.0\ \text{kg}$ טסה בחוץ במהירות $6.0\ \text{m s}^{-1}$. מצאו את מהירות העגלה השנייה.

התנע הכולל נשאר אפס (הוא התחיל ממנוחה), לכן

בכיוון ההפוך.

התנגשויות אלסטיות ואי-אלסטיות

בכל התנגשות, התנע שמר על עצמו (אם אין כוח חיצוני נטו).

התנגשות אלסטית היא כזו שבה התנע הקינטי הכולל גם שמר על עצמו. מבחן מהיר: בהתנגשות אלסטית, מהירות היחס בקרבה שווה למהירות היחס בנפרדות.

בהתנגשות אי-אלסטית, התנע שמר על עצמו אך האנרגיה הקינטית יורדת — חלק מהיא הופכת לאנרגיה תרמית, קול או אנרגיית עיוות. אם שני הגופים נדבקים יחד, ההתנגשות היא אי-אלסטית מושלמת.

פתירת בעיות התנגשות (ממד אחד)

לשני גופים עם מסות $m_{1}, m_{2}$ ומהירויות התחלתיות $u_{1}, u_{2}$ שנתקלים מול מול, כתבו

השתמש במהירויות מכוונות (חיוביות בכיוון שנבחר). אם ההתנגשות אלסטית, הוסף את משוואת המהירות היחסית

או, אותו דבר, $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$. זה נותן שתי משוואות לשני נעלמים.

דוגמה פותרת. רכב מסוג $1500\ \text{kg}$ הנע במהירות $12\ \text{m s}^{-1}$ מתנגש ברכב עומד מסוג $1000\ \text{kg}$ והם ננעלים יחד. חשב את המהירות המשותפת שלהם מיד לאחר ההתנגשות.

תנע שמר (הרכבים נדבקים, לכן $v_{1} = v_{2} = v$):

השאלות לעיתים קרובות ממשיכות ושואלות מהו השבר של האנרגיה הקינטית שהועבר לצורות אחרות. לפני: $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$. אחרי: $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$. לכן $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$, שהוא $40\%$ מאנרגיה קינטית מקורית, הופך לאנרגיה תרמית, צליל ועיוות הרכבים. התנע שמר; אנרגיה קינטית אינה שמורה.

דוגמה פותרת. גרעין עומד המסה $222\,u$ מתפרק על ידי פליטת חלקיק אלפא α המסתו $4\,u$ במהירות $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. חשב את מהירות הגרעין הנשאר.

לפני הפירוק התנע הכולל הוא אפס, ולכן לאחר מכן שני התנעים שווים ומופכים: $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$, מה שנותן $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ בכיוון הפוך לחלקיק האלפא. היחידה $u$ מצטמצמת, ולכן הערך שלה לעולם אינו נדרש. בפירוק, התנע, המטען (מספר פרוטונים), מספר הנוקלאונים והמסה-אנרגיה הכוללת כולם שמורים (נושא 11).

תוצאה שימושית להתנגשות אלסטית ראש-בראש של מסה $m$ עם מסה עומדת $M$:

התנגשויות בשתי מימדיות

אם הגופים נעים בשתי מימדיות, פצל את המהירויות לרכיבים מאונכים והפעל שמירת תנע לאורך כל כיוון בנפרד. להתנגשות בה גופים פוגעים בזווית, בחר ציר אחד לאורך תנועת הגוף הראשון ואחד מאונך לו. התנע הכולל שמר לאורך כל ציר.

דוגמה פותרת. על פני שטח חסרי חיכוך, לכדור A יש תנע $4.0\ \text{N s}$ מזרחית ולכדור B יש תנע $3.0\ \text{N s}$ צפונית. הם מתנגשים ונדבקים יחד. חשב את התנע של הגוף המאוחד.

התנע שמר לאורך כל ציר: $4.0\ \text{N s}$ מזרחית ו$3.0\ \text{N s}$ צפונית לאחר ההתנגשות, בדיוק כמו לפני. התנע הכולל הוא הסכום הווקטורי, $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ בזווית $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ מערבית מצפון; הגוף המאוחד נע לכיוון זה במהירות $5.0\ \text{N s}$ מחולקת בתנע הכולל. דיאגרמת בחירה מרובה של שני חיצוני תנע שואלת בדיוק את הדבר הזה: להוסיף את החצים קצה לקצה.

רקטה / דחיפת מסה החוצה

רקטה דוחפת גז במהירות $u$ (יחסית לעצמה) בקצב זרימת מסה $\dot m$ (ק"ג לשנייה). היא מרגישה בעלית

שהיא נובעת מ$F = \Delta p / \Delta t$. התנע הנתון לגז בכל שנייה שווה לעלית על הרקטה (חוק שלישי של ניוטון: הרקטה דוחפת את הגז לכיוון אחד, והגז דוחף את הרקטה לכיוון השני). מנוע המשליך $90\ \text{kg}$ גז בשנייה במהירות $190\ \text{m s}^{-1}$ מייצר עלית של $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$.

דוגמה פותרת. רקטה במשקל $W$ יוצאת מהקרקע עם תאוצה התחלתית $a$. איזה עלית מייצר המנוע שלה?

החשוב למעלה כחיובי. הכוח הכולל הוא דחיפה פחות משקל, לכן $T - W = ma$. עם $m = W / g$, $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$. רקטת משקל $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$ המאיצה בקצב $4.0\ \text{m s}^{-2}$ זקוקה לדחיפה של $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$. הדחיפה חייבת להיות גדולה מהמשקל לפני שהרקטת תזוז כלל.

שאלת הגדרה מוקדמת לפי טקסט קבוע. לימודן במדויק, ותן תשובה אחת בלבד.

• החוק השני של ניוטון הוא $F = \Delta p / \Delta t$ (קצב שינוי התנע); $F = ma$ הוא המקרה המיוחד עבור מסה קבועה.
• זהו זוגות חוק שלישי נכון: אותה סוג של כוח, הפועל על שני גופים שונים – ולא כוחות מאוזנים על גוף אחד.
• תנע נשמר בכל התנגשות; אנרגיה קינטית נשמרת רק בהתנגשות אלסטית.
• עבור מהירות סופית, הסבר כי כוח ההתנגדות עולה עם המהירות עד שההתנגדות $=$ את המשקל, ולכן התאוצה הופכת לאפס.

טעויות נפוצות

• כתיבת "הכוחות מאוזנים" או "הכוחות מתאפסים". יש לומר "הכוח המושפע על הגוף הוא אפס".
• חיבור שתי המהירויות בהתנגשות מולית משום שגם תנע הוא "כולל". בחר כיוון חיובי, תן למהירות הנגדית סימן מינוס, ואז חבר.
• חישוב אנרגיה קינטית מתוך רכיב מהירות. האנרגיה הקינטית משתמשת במהירות המלאה של כל גוף.
• כינוי המשקל וכוח המגע הרגיל על גוף אחד כזוג חוק שלישי. זוג פועל על שני גופים שונים והוא באותו סוג כוח.
• ניסוח שימור התנע ללא תנאי ההתקיימות. חוק זה מתקיים רק כאשר אין כוח חיצוני נטו הפועל על המערכת.