Algèbre et graphiques

En algèbre 代数, nous utilisons des lettres pour représenter des nombres. Une lettre dont la valeur peut changer est une variable 变量. Substituer 代入 signifie remplacer une lettre par un nombre.

Exemple résolu. Trouvez la valeur de $3x^{2} - 2y$ lorsque $x = 4$ et $y = 5$.

Un terme 项 est une partie unique d'une expression 表达式, comme $5a$ ou $-9b$. Les termes semblables 同类项 ont exactement les mêmes lettres ; vous pouvez les additionner ou les soustraire. Le nombre devant la lettre est le coefficient 系数.

Exemple résolu. Simplifier $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.

Regroupez les termes semblables : $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. Donc la réponse est

Développer 展开 signifie multiplier hors des parenthèses 括号. Multipliez chaque terme à l'intérieur par le terme à l'extérieur ; pour deux parenthèses, multipliez chaque terme du premier par chaque terme du second.

Exemples résolus.

Pour trois parenthèses (Étendu), développez d'abord deux, puis multipliez par le troisième :

Factoriser 因式分解 est l'inverse du développement : écrivez l'expression comme un produit de parenthèses. Sortez toujours le facteur commun 公因式 en premier.

Exemple résolu. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, car $3x$ divise les deux termes.

Les modèles suivants sont Étendus.

Par groupes (quatre termes) : sortez un facteur commun de chaque paire.

Différence de deux carrés 平方差 : $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.

Carré parfait 完全平方 : $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.

Expressions quadratiques 二次 $ax^{2} + bx + c$ : trouvez deux nombres qui multiplient pour donner $a \times c$ et s'additionnent pour donner $b$, puis séparez le terme central.

Exemple résolu. Factorisez $2x^{2} + 7x + 3$.

Ici $a \times c = 6$ et $b = 7$. Les nombres $1$ et $6$ conviennent. Séparez et regroupez :

Pour $ax^{3} + bx^{2} + cx$, sortez d'abord le $x$ commun : $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.

Compléter le carré 配方法 réécrit $x^{2} + bx + c$ sous la forme $(x + p)^{2} + q$. Prenez la moitié du coefficient de $x$, élevez-le au carré, puis équilibrez.

Exemple résolu. Écrivez $x^{2} + 6x + 1$ sous forme complétée au carré.

La moitié de $6$ est $3$, et $3^{2} = 9$ :

Lorsque le $x^{2}$ a un coefficient, sortez-le d'abord des deux premiers termes :

Une fraction algébrique 分式 a de l'algèbre au numérateur ou au dénominateur. Additionnez et soustrayez en utilisant un dénominateur commun ; multipliez et divisez comme avec des fractions ordinaires.

Exemples résolus.

Pour simplifier une expression rationnelle 有理式, factorisez le numérateur et le dénominateur, puis simplifiez les parenthèses communes.

Les lois des indices 指数 fonctionnent aussi avec des lettres : $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$, et $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.

Exemples résolus.

Vous pouvez également résoudre de simples équations à indices en écrivant les deux côtés avec la même base 底数.

Exemple résolu. Résolvez $2^{x} = 32$. Puisque $32 = 2^{5}$, vous obtenez $x = 5$.

Une équation 方程 dit que deux expressions sont égales. Pour résoudre une équation linéaire 一次, effectuez la même opération des deux côtés jusqu'à ce que l'inconnue 未知数 soit seule.

Exemple résolu. Résoudre $5 - 2x = 3(x + 7)$.

Équations fractionnaires (Étendu)

Une équation fractionnaire 分式方程 a l'inconnue au dénominateur. Multipliez les deux côtés par le dénominateur pour l'éliminer.

Exemple résolu. Résoudre $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.

Systèmes d'équations simultanées

Les équations simultanées 联立方程 sont deux équations résolues ensemble. Pour deux équations linéaires, additionnez ou soustrayez pour éliminer une lettre.

Exemple résolu. Résolvez $2x + y = 7$ et $3x - y = 8$.

L'addition élimine $y$ : $5x = 15$, donc $x = 3$. Ensuite $y = 7 - 2(3) = 1$.

Pour une équation linéaire et une équation quadratique (Étendu), substituez la linéaire dans la courbe.

Exemple résolu. Résolvez $y = x + 2$ et $y = x^{2}$.

donnant $x = 2$ (donnant $y = 4$) ou $x = -1$ (donnant $y = 1$).

Résolution des équations du second degré (Étendu)

Il existe trois méthodes.

• Par factorisation : $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ ou $x = -3$.
• En complétant le carré : $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• Par la formule quadratique 求根公式, qui est donnée dans l'examen :
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

Exemple résolu (formule). Résoudre $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Ici $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$ :

Changer de sujet

Changer de sujet 公式变形 d'une formule signifie la réarranger pour qu'une lettre choisie soit seule d'un côté.

Exemple résolu. Mettre $r$ en évidence dans $A = \pi r^{2}$ (Étendu, à cause de la puissance).

Quand la lettre apparaît deux fois (Étendu), regrouper ces termes et factoriser. Pour mettre $x$ en évidence dans $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ :

Une inégalité 不等式 utilise $<$, $>$, $\leqslant$ ou $\geqslant$. La résoudre comme une équation, mais inverser le signe si on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Exemple résolu. Résoudre $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.

Ajouter $2$ à toutes les parties, puis diviser par $3$ :

Sur une droite numérique 数轴, utiliser un cercle ouvert pour $<$ ou $>$ (valeur non incluse) et un cercle fermé pour $\leqslant$ ou $\geqslant$ (valeur incluse).

Régions (Étendu)

Une inégalité à deux lettres décrit une région 区域 du graphique. Tracer la ligne frontière (pointillée pour $<$ ou $>$, pleine pour $\leqslant$ ou $\geqslant$) et hacher le côté indésirable. On peut aussi demander de lister les inégalités définissant une région donnée.

Une suite 数列 est une liste de nombres suivant une règle. La règle terme à terme 递推规则 indique comment obtenir le terme suivant à partir du précédent.

Pour trouver la règle du terme en position $n$ (le $n$ème terme), observer comment les termes changent.

Suite linéaire (les termes augmentent toujours de la même quantité). La différence est le multiple de $n$.

Exemple résolu. Trouver le $n$ème terme de $2, 5, 8, 11, \dots$

Les termes augmentent de $3$, donc commencer par $3n$. Puisque $3 \times 1 = 3$ mais le premier terme est $2$, soustraire $1$ : le $n$ème terme est $3n - 1$.

Suite quadratique (les différences elles-mêmes changent de la même quantité). La deuxième différence égale $2 \times$ le coefficient de $n^{2}$.

Exemple résolu. Trouver le $n$ème terme de $2, 5, 10, 17, \dots$

Les premières différences sont $3, 5, 7$ ; la deuxième différence est $2$, donc la partie $n^{2}$ est $1n^{2}$. En soustrayant $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) à la suite, il reste $1, 1, 1, 1$. Donc le $n$ème terme est $n^{2} + 1$.

Une suite cubique 三次 comme $1, 8, 27, 64, \dots$ a un $n$ème terme $n^{3}$. Une suite exponentielle 指数数列 comme $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplie par un nombre fixe à chaque étape ; ici le $n$ème terme est $2 \times 3^{\,n-1}$.

Deux quantités sont en proportionnalité directe 正比例 si l'une est toujours un multiple fixe de l'autre : $y \propto x$ signifie $y = kx$, où $k$ est une constante 常数. Elles sont en proportionnalité inverse 反比例 si l'une augmente quand l'autre diminue : $y \propto \dfrac{1}{x}$ signifie $y = \dfrac{k}{x}$. Le symbole $\propto$ se lit « est proportionnel à ». On peut aussi avoir proportionnalité au carré, racine carrée, cube ou racine cubique.

Exemple résolu. $y$ est en proportionnalité directe avec $x$, et vaut $y = 12$ lorsque $x = 3$. Trouver $y$ lorsque $x = 7$.

Trouver d'abord $k$ : $12 = k \times 3$, donc $k = 4$ et $y = 4x$. Ensuite $y = 4 \times 7 = 28$.

La pente 斜率 (raideur) d'un graphique montre un taux de variation 变化率.

• Un graphe de déplacement 行程图 (graphique distance–temps) a une pente égale à la vitesse ; une partie plate signifie que l'objet ne bouge pas.
• Un graphe de conversion 换算图 est une ligne droite utilisée pour convertir entre deux unités (par exemple, miles et kilomètres).

Graphiques vitesse-temps (Étendu)

Sur un graphique vitesse-temps, la pente est l'accélération 加速度 (ou la décélération 减速度 si la vitesse diminue), et l'aire 面积 sous le graphique est la distance 距离 parcourue.

Exemple résolu. Une voiture accélère depuis l'arrêt jusqu'à $20\text{ m/s}$ en $8\text{ s}$, puis maintient $20\text{ m/s}$ pendant $12\text{ s}$. Trouver l'accélération et la distance totale.

Accélération $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. La distance est l'aire : un triangle plus un rectangle,

Pour tracer un graphique, faire une table de valeurs 数值表 : choisir des valeurs de $x$, calculer $y$, puis tracer les coordonnées 坐标 et les relier avec une courbe lisse.

Les points où un graphique croise l'axe $x$ (l'axe horizontal axial) sont les racines 根 — les solutions de $y = 0$.

On peut résoudre une équation en lisant un graphique. Le point d'intersection 交点 d'une droite et d'une courbe donne la solution des deux équations ensemble.

Pour la croissance exponentielle 指数增长 et la décroissance exponentielle 指数衰减, le graphique de $y = a\,b^{x} + c$ monte (ou descend) de plus en plus vite et s'aplatit vers une ligne horizontale.

Un esquisse rapide doit montrer la bonne forme et les caractéristiques clés : où elle croise les axes, toute symétrie 对称, et toute ligne vers laquelle la courbe s'approche sans jamais la toucher.

Pour une parabole, compléter le carré donne le point de retournement 转折点 (le point le plus bas ou le plus haut). Par exemple $y = (x + 3)^{2} - 8$ a son point de retournement à $(-3, -8)$.

Une asymptote 渐近线 est une ligne vers laquelle la courbe s'approche de plus en plus sans jamais la toucher — par exemple, l'axe $x$ pour $y = \dfrac{a}{x}$, ou la ligne $y = b$ pour $y = a\,r^{x} + b$.

La différentiation 微分 trouve la pente d'une courbe à tout point. On peut l'estimer en traçant une tangente 切线 (une ligne qui touche juste la courbe) et en mesurant sa pente.

La règle exacte : si $y = ax^{n}$, alors la dérivée 导数是

Différencier une somme terme par terme.

Exemple résolu. Oui $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, alors $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.

Un point stationnaire 驻点 (point de retournement) est où la pente est zéro, donc poser $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$.

Exemple résolu. Trouver le point de retournement de $y = x^{2} - 6x + 5$.

Le point de retournement est $(3, -4)$. Pour déterminer si un point de retournement est un maximum 最大值 ou un minimum 最小值, vérifier le signe de la pente de chaque côté, ou utiliser la dérivée seconde (positive signifie un minimum).

Une fonction 函数 transforme chaque entrée en une sortie unique. Nous écrivons $f(x)$, par exemple $f(x) = 3x - 5$, donc $f(2) = 1$. L'ensemble des entrées autorisées est le domaine 定义域 ; l'ensemble des sorties possibles est l'image 值域.

La fonction inverse 反函数 $f^{-1}(x)$ annule la fonction. Pour la trouver, écrire $y = f(x)$, inverser les rôles, et mettre $x$ en évidence.

Exemple résolu. Trouver l'inverse de $f(x) = 3x - 5$.

Une fonction composée 复合函数 applique une fonction après l'autre : $gf(x)$ signifie « faire $f$ d'abord, puis $g$ ».

Exemple résolu. Oui $f(x) = 2x$ et $g(x) = x + 3$, alors

• Quand on développe les parenthèses, multiplier chaque terme et surveiller les signes, surtout avec un moins devant : $-(x - 3) = -x + 3$.
• Pour résoudre une équation, faire la même chose des deux côtés. Quand on multiplie ou divise une inégalité par un nombre négatif, inverser le signe.
• Factoriser complètement : sortir d'abord le plus grand commun diviseur, puis chercher une différence de deux carrés ou un motif quadratique.
• Un quadratique a généralement deux solutions — donner les deux. Vérifier si la question demande la factorisation, la formule, ou de compléter le carré.
• Lors de la substitution dans une formule, mettre chaque valeur entre parenthèses d'abord, pour que les signes et les puissances soient corrects.