Algèbre et graphiques

En algèbre, nous utilisons des lettres pour représenter des nombres. Une lettre dont la valeur peut changer est une variable. Substituer signifie remplacer une lettre par un nombre.

Exemple résolu. Trouvez la valeur de $3x^{2} - 2y$ lorsque $x = 4$ et $y = 5$.

Un terme est une partie unique d'une expression, comme $5a$ ou $-9b$. Les termes semblables ont les mêmes lettres élevées aux mêmes puissances ; on peut les additionner ou les soustraire. Le nombre devant la lettre est le coefficient.

Exemple résolu. Simplifier $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.

Regroupez les termes semblables : $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. Donc la réponse est

Développer signifie multiplier les parenthèses. Multipliez chaque terme intérieur par le terme extérieur ; pour deux parenthèses, multipliez chaque terme de la première par chaque terme de la seconde.

Exemples résolus.

Erreurs courantes. Multiplier seulement le premier terme d'une parenthèse ($3(x + 4) = 3x + 12$, et non $3x + 4$), perdre un signe moins ($-2(x - 5) = -2x + 10$) et écrire $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$. Le carré d'une expression entre parenthèses donne trois termes : $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9$.

Pour trois parenthèses (Étendu), développez d'abord deux, puis multipliez par le troisième :

Factoriser est l'inverse du développement : écrire l'expression sous forme de produit de parenthèses. Tirez toujours d'abord le facteur commun.

Exemple résolu. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, car $3x$ divise les deux termes.

Les modèles suivants sont Étendus.

Par groupes (quatre termes) : sortez un facteur commun de chaque paire.

Différence de deux carrés : $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.

Carré parfait : $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.

Les expressions quadratiques $ax^{2} + bx + c$ : trouver deux nombres qui multiplient à $a \times c$ et s'additionnent à $b$, puis séparer le terme central.

Exemple résolu. Factorisez $2x^{2} + 7x + 3$.

Ici $a \times c = 6$ et $b = 7$. Les nombres $1$ et $6$ conviennent. Séparez et regroupez :

Pour $ax^{3} + bx^{2} + cx$, sortez d'abord le $x$ commun : $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.

Compléter le carré réécrit $x^{2} + bx + c$ en $(x + p)^{2} + q$. Prendre la moitié du coefficient de $x$, l'élever au carré, puis équilibrer.

Exemple résolu. Écrivez $x^{2} + 6x + 1$ sous forme complétée au carré.

La moitié de $6$ est $3$, et $3^{2} = 9$ :

Lorsque le $x^{2}$ a un coefficient, sortez-le d'abord des deux premiers termes :

Une fraction algébrique a une expression algébrique au numérateur ou au dénominateur. Additionner et soustraire avec un dénominateur commun ; multiplier et diviser comme pour les fractions ordinaires.

Exemples résolus.

Pour simplifier une expression rationnelle, factoriser le numérateur et le dénominateur, puis simplifier les parenthèses communes.

Les lois des indices s'appliquent aussi aux lettres : $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ et $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.

Exemples résolus.

On peut également résoudre de simples équations d'indices en écrivant les deux côtés avec la même base.

Exemple résolu. Résolvez $2^{x} = 32$. Puisque $32 = 2^{5}$, vous obtenez $x = 5$.

Une équation indique que deux expressions sont égales. Pour résoudre une équation linéaire, effectuer la même opération des deux côtés jusqu'à ce que l'inconnue soit seule.

Exemple résolu. Résoudre $5 - 2x = 3(x + 7)$.

Erreur courante. Déplacer un terme de l'autre côté du signe égal sans changer son signe. Effectuez plutôt la même opération des deux côtés : « soustraire $21$ des deux côtés » rend le changement de signe automatique.

Équations fractionnaires (Étendu)

Une équation fractionnaire a l'inconnue dans un dénominateur. Multiplier les deux côtés par le dénominateur pour l'éliminer.

Exemple résolu. Résoudre $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.

Systèmes d'équations simultanées

Les équations simultanées sont deux équations résolues ensemble. Pour deux équations linéaires, additionner ou soustraire pour éliminer une variable.

Exemple résolu. Résolvez $2x + y = 7$ et $3x - y = 8$.

L'addition élimine $y$ : $5x = 15$, donc $x = 3$. Ensuite $y = 7 - 2(3) = 1$.

Pour une équation linéaire et une équation quadratique (Étendu), substituez la linéaire dans la courbe.

Exemple résolu. Résolvez $y = x + 2$ et $y = x^{2}$.

donnant $x = 2$ (donnant $y = 4$) ou $x = -1$ (donnant $y = 1$).

Résolution des équations du second degré (Étendu)

Il existe trois méthodes.

• Par factorisation : $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ ou $x = -3$.
• En complétant le carré : $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• Par la formule quadratique, donnée dans l'examen :
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

Exemple résolu (formule). Résoudre $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Ici $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$ :

Changer de sujet

Changer le sujet d'une formule signifie la réarranger pour qu'une lettre choisie soit seule d'un côté.

Exemple résolu. Mettre $r$ en évidence dans $A = \pi r^{2}$ (Étendu, à cause de la puissance).

Quand la lettre apparaît deux fois (Étendu), regrouper ces termes et factoriser. Pour mettre $x$ en évidence dans $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ :

Une inégalité utilise $<$, $>$, $\leqslant$ ou $\geqslant$. La résoudre comme une équation, mais inverser le sens si on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Exemple résolu. Résoudre $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.

Ajouter $2$ à toutes les parties, puis diviser par $3$ :

Exemple résolu. Résoudre $5 - 2x > 11$.

Diviser par $-2$ inverse le signe. Vérifiez avec $x = -4$ : $5 + 8 = 13 > 11$, ce qui est correct.

Erreur courante. Oublier d'inverser le sens de l'inégalité lors d'une division par un nombre négatif, ce qui donnerait ici la réponse incorrecte $x > -3$.

Exemple détaillé (solutions entières). Énumérez les entiers $n$ qui vérifient $-3 \leqslant 2n + 1 < 9$.

Soustrayez $1$ : $-4 \leqslant 2n < 8$. Divisez par $2$ : $-2 \leqslant n < 4$. Donc $n = -2, -1, 0, 1, 2, 3$. La borne $-2$ est incluse ($\leqslant$), mais $4$ ne l'est pas ($<$).

Sur une droite numérique, utiliser un cercle ouvert pour $<$ ou $>$ (valeur non incluse) et un cercle fermé pour $\leqslant$ ou $\geqslant$ (valeur incluse).

Régions (Étendu)

Une inégalité à deux variables décrit une zone du graphique. Tracer la ligne de délimitation (pointillée pour $<$ ou $>$, pleine pour $\leqslant$ ou $\geqslant$) et hacher le côté indésirable. On peut aussi demander de lister les inégalités définissant une zone donnée.

Exemple détaillé. Sur un quadrillage, représentez la région R qui vérifie $y \geqslant 1$, $x + y \leqslant 6$ et $y \leqslant 2x$. Combien de points de R ont des coordonnées entières ?

Tracez chaque frontière en trait plein, car chaque signe inclut l'égalité. Déterminez le côté recherché à l'aide d'un point test qui n'est pas sur la droite, comme $(3, 2)$ : $2 \geqslant 1$, $3 + 2 = 5 \leqslant 6$ et $2 \leqslant 6$ sont toutes vraies, donc $(3, 2)$ appartient à R. Hachurez l'autre côté de chaque droite.

Comptez ligne par ligne, en incluant les points sur les droites puisque les trois signes incluent l'égalité : $5$ points sur $y = 1$, $4$ sur $y = 2$, $2$ sur $y = 3$ et $1$ sur $y = 4$, soit $12$ points. Si un signe était $<$ ou $>$, la droite serait en pointillés et les points situés dessus ne compteraient pas.

Une suite est une liste de nombres suivant une règle. La règle terme à terme indique comment obtenir le terme suivant à partir du précédent.

Pour trouver la règle du terme en position $n$ (le $n$ème terme), observer comment les termes changent.

Suite linéaire (les termes augmentent toujours de la même quantité). La différence est le multiple de $n$.

Exemple résolu. Trouver le $n$ème terme de $2, 5, 8, 11, \dots$

Les termes augmentent de $3$, donc commencer par $3n$. Puisque $3 \times 1 = 3$ mais le premier terme est $2$, soustraire $1$ : le $n$ème terme est $3n - 1$.

Suite quadratique (les différences elles-mêmes changent de la même quantité). La deuxième différence égale $2 \times$ le coefficient de $n^{2}$.

Exemple résolu. Trouver le $n$ème terme de $2, 5, 10, 17, \dots$

Les premières différences sont $3, 5, 7$ ; la deuxième différence est $2$, donc la partie $n^{2}$ est $1n^{2}$. En soustrayant $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) à la suite, il reste $1, 1, 1, 1$. Donc le $n$ème terme est $n^{2} + 1$.

Une suite cubique telle que $1, 8, 27, 64, \dots$ a son $n$-ième terme $n^{3}$. Une suite exponentielle telle que $2, 6, 18, 54, \dots$ se multiplie par un nombre fixe à chaque fois ; ici, le $n$-ième terme est $2 \times 3^{\,n-1}$.

Deux grandeurs sont directement proportionnelles si l'une est toujours un multiple fixe de l'autre : $y \propto x$ signifie $y = kx$, où $k$ est une constante. Elles sont inversement proportionnelles si leur produit est constant : $y \propto \dfrac{1}{x}$ signifie $y = \dfrac{k}{x}$. Le symbole $\propto$ se lit « est proportionnel à ». On peut aussi avoir une proportionnalité au carré, à la racine carrée, au cube ou à la racine cubique.

Exemple résolu. $y$ est en proportionnalité directe avec $x$, et vaut $y = 12$ lorsque $x = 3$. Trouver $y$ lorsque $x = 7$.

Trouver d'abord $k$ : $12 = k \times 3$, donc $k = 4$ et $y = 4x$. Ensuite $y = 4 \times 7 = 28$.

Exemple détaillé (inverse du carré). $y$ est inversement proportionnel à $x^{2}$, et $y = 5$ lorsque $x = 2$. Déterminez $y$ lorsque $x = 4$, puis $x$ lorsque $y = 0.2$ ($x > 0$).

Écrivez $y = \dfrac{k}{x^{2}}$. Puis $5 = \dfrac{k}{4}$, donc $k = 20$ et $y = \dfrac{20}{x^{2}}$. Lorsque $x = 4$ : $y = 20 \div 16 = 1.25$. Lorsque $y = 0.2$ : $x^{2} = 20 \div 0.2 = 100$, donc $x = 10$. Vérifiez la régularité : doubler $x$ divise $y$ par $2^{2} = 4$, et $5 \div 4 = 1.25$.

La pente (inclinaison) d'un graphique indique un taux de variation.

• Un graphique de déplacement (distance–temps) a une pente égale à la vitesse ; une partie plate signifie que l'objet est immobile.
• Un graphique de conversion est une ligne droite utilisée pour convertir entre deux unités (par exemple, miles et kilomètres).

Exemple corrigé (un trajet). Lena parcourt $12$ km à vélo de chez elle jusqu’à un lac en $40$ minutes, s’y repose pendant $20$ minutes, puis rentre chez elle à vélo en $30$ minutes. Déterminez sa vitesse sur chaque partie en km/h, ainsi que sa vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet.

Convertissez d’abord les minutes en heures : $40$ min $= \tfrac{2}{3}$ h et $30$ min $= \tfrac{1}{2}$ h. Aller : $12 \div \tfrac{2}{3} = 18$ km/h. Repos : $0$ km/h (une droite horizontale). Retour : $12 \div \tfrac{1}{2} = 24$ km/h ; la droite est descendante et plus pentue. Vitesse moyenne $=$ distance totale $\div$ durée totale $= 24 \div 1.5 = 16$ km/h. Le repos est compris dans la durée totale.

Graphiques vitesse-temps (Étendu)

Sur un graphique vitesse–temps, la pente représente l'accélération (ou la décélération si la vitesse diminue), et l'aire sous le graphique correspond à la distance parcourue.

Exemple résolu. Une voiture accélère depuis l'arrêt jusqu'à $20\text{ m/s}$ en $8\text{ s}$, puis maintient $20\text{ m/s}$ pendant $12\text{ s}$. Trouver l'accélération et la distance totale.

Accélération $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. La distance est l'aire : un triangle plus un rectangle,

Pour tracer un graphique, établissez une table de valeurs : choisissez des valeurs de $x$, calculez $y$, puis tracez les coordonnées et reliez-les par une courbe lisse.

Les points où un graphique coupe l'axe $x$ (l'axe horizontal) sont les racines — les solutions de $y = 0$.

On peut résoudre une équation en lisant un graphique. Le point d'intersection d'une droite et d'une courbe donne la solution commune aux deux équations.

Pour la croissance exponentielle et la décroissance exponentielle, considérez $y = a\,b^{x} + c$ avec $a>0$ et $b>0$, $b\ne1$. Si $b>1$, la courbe croît lorsque $x$ augmente et tend vers $y=c$ lorsque $x$ diminue. Si $0<b<1$, elle décroît vers $y=c$ lorsque $x$ augmente.

Un croquis rapide doit montrer la forme correcte et les caractéristiques clés : où il coupe les axes, toute symétrie, et toute ligne vers laquelle la courbe tend.

Pour une parabole, la mise sous forme canonique donne le point tournant (le point le plus bas ou le plus haut). Par exemple, $y = (x + 3)^{2} - 8$ a son point tournant en $(-3, -8)$.

Une asymptote est une droite que la courbe approche dans une limite donnée. Une courbe peut croiser une asymptote horizontale ailleurs. Dans ces exemples, la courbe ne rencontre pas la droite indiquée — par exemple, l'axe des $x$ pour $y = \dfrac{a}{x}$, ou la droite $y = b$ pour $y = a\,r^{x} + b$.

La dérivation permet de trouver la pente d'une courbe là où cette pente existe. On peut l'estimer en traçant une tangente (une droite qui touche juste la courbe) et en mesurant sa pente.

La règle exacte : si $y = ax^{n}$, alors la dérivée est

Différencier une somme terme par terme.

Exemple résolu. Si $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, alors $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.

Un point stationnaire est un point où le coefficient directeur est nul. Ce n’est pas nécessairement un extremum : $y=x^3$ continue de croître en passant par son point stationnaire à l’origine. Pour trouver les points stationnaires, posez $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$.

Exemple résolu. Trouver le point de retournement de $y = x^{2} - 6x + 5$.

Le point tournant est $(3, -4)$. Pour déterminer si c'est un maximum ou un minimum, vérifiez le signe de la pente de chaque côté, ou utilisez la dérivée seconde (positive signifie un minimum).

Exemple corrigé (une fonction cubique). Pour $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 2$, déterminez le coefficient directeur en $x = 2$, puis trouvez les extrema et déterminez lequel est un maximum.

En $x = 2$ : $3(4) - 12 - 9 = -9$, donc le coefficient directeur est $-9$. Pour les extrema, $3x^{2} - 6x - 9 = 0$, donc $x^{2} - 2x - 3 = 0$ et $(x - 3)(x + 1) = 0$ : $x = 3$ ou $x = -1$. Puis $y = 27 - 27 - 27 + 2 = -25$ et $y = -1 - 3 + 9 + 2 = 7$. La dérivée seconde est $\dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} = 6x - 6$ : en $x = 3$, elle vaut $12 > 0$, donc $(3, -25)$ est un minimum ; en $x = -1$, elle vaut $-12 < 0$, donc $(-1, 7)$ est un maximum.

Une fonction associe chaque entrée à une seule sortie. Nous notons $f(x)$, par exemple $f(x) = 3x - 5$, donc $f(2) = 1$. L'ensemble des entrées autorisées est le domaine ; l'ensemble des sorties possibles est l'image.

La fonction réciproque $f^{-1}(x)$ annule l'action de la fonction. Chaque valeur de sortie doit provenir d'une seule entrée autorisée ; restreindre le domaine initial si nécessaire. Pour la trouver, écrire $y = f(x)$, inverser les rôles, et isoler $x$.

Exemple résolu. Trouver l'inverse de $f(x) = 3x - 5$.

Une fonction composée applique une fonction après une autre : $gf(x)$ signifie « appliquer d’abord $f$, puis $g$ »

Exemple résolu. Si $f(x) = 2x$ et $g(x) = x + 3$, alors

Erreurs fréquentes. Appliquer d'abord la fonction extérieure ($gf(x)$ commence par $f$, celle la plus proche de $x$), et confondre $f^{-1}(x)$ avec $\dfrac{1}{f(x)}$. Pour $f(x) = 3x - 5$, on a $f^{-1}(1) = 2$ mais pas $\dfrac{1}{f(1)} = -\dfrac{1}{2}$.

• Quand on développe les parenthèses, multiplier chaque terme et surveiller les signes, surtout avec un moins devant : $-(x - 3) = -x + 3$.
• Pour résoudre une équation, faire la même chose des deux côtés. Quand on multiplie ou divise une inégalité par un nombre négatif, inverser le signe.
• Factoriser complètement : sortir d'abord le plus grand commun diviseur, puis chercher une différence de deux carrés ou un motif quadratique.
• Un quadratique a généralement deux solutions — donner les deux. Vérifier si la question demande la factorisation, la formule, ou de compléter le carré.
• Lors de la substitution dans une formule, mettre chaque valeur entre parenthèses d'abord, pour que les signes et les puissances soient corrects.