Nombre

Vous devez connaître les noms des différents types de nombres. Les examinateurs attribuent des points pour leur utilisation correcte.

Nombres de compte et entiers

• nombres naturels — les nombres de dénombrement $1, 2, 3, 4, \dots$
• entiers — nombres entiers, positifs, négatifs ou nuls : $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

Facteurs et multiples

• Un facteur d'un nombre le divise exactement, sans laisser de reste. Les facteurs de $18$ sont $1, 2, 3, 6, 9, 18$.
• Un multiple d'un nombre est ce nombre multiplié par un entier. Les multiples de $6$ sont $6, 12, 18, 24, \dots$
• Un diviseur commun de deux nombres est un facteur de chacun.
• Un multiple commun de deux nombres est un multiple de chacun.

Nombres premiers, carrés et cubes

• Un nombre premier a exactement deux facteurs : $1$ et lui-même. Les premiers nombres premiers sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ Notez que $1$ n'est pas premier.
• Un carré parfait est un nombre entier multiplié par lui-même : $1, 4, 9, 16, 25, \dots$
• Un cube parfait utilise un nombre entier trois fois : $1, 8, 27, 64, \dots$

Rationnels, irrationnels et réciproques

• Un nombre rationnel peut s'écrire sous forme de fraction $\frac{a}{b}$ de deux entiers, avec $b \ne 0$. Exemples : $\frac{3}{4}$, $5$, $0.7$.
• Un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire ainsi. Exemples : $\pi$ et $\sqrt{2}$.
• L'inverse d'un nombre non nul est $1$ divisé par ce nombre. L'inverse de $4$ est $\frac{1}{4}$ ; l'inverse de $0.25$ est $4$ ; l'inverse de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$.

Facteurs premiers, P GCD et P PPCM

Tout entier supérieur à $1$ est premier, ou peut s'écrire comme un produit de nombres premiers. Pour écrire un nombre comme un produit de ses facteurs premiers, continuez de diviser par le plus petit nombre premier possible.

Exemple résolu. Écrivez $72$ comme un produit de ses facteurs premiers.

Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres est le plus grand facteur qu'ils partagent. Le plus petit commun multiple (PPCM) est le plus petit multiple qu'ils partagent. Les facteurs premiers offrent une méthode rapide.

Exemple résolu. Trouvez le PGCD et le PPCM de $72$ et $120$.

D’abord, écrivez chacun comme un produit de nombres premiers :

• PGCD : prenez la puissance la plus basse de chaque nombre premier présent dans les deux : $2^{3} \times 3 = 24$.
• PPCM : prenez la puissance la plus haute de chaque nombre premier présent : $2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 360$.

Un ensemble est une collection d'objets. Chaque objet de l'ensemble est un élément de cet ensemble. Vous devez connaître cette notation :

Un diagramme de Venn représente chaque ensemble par un cercle à l'intérieur d'un rectangle (l'ensemble universel). L'utilisation de base concerne deux ensembles ; l'utilisation avancée peut en comprendre trois.

Exemple résolu. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.

• $A = \{2,4,6,8,10\}$ et $B = \{3,6,9\}$.
• $A \cap B = \{6\}$ — le seul nombre dans les deux.
• $A \cup B = \{2,3,4,6,8,9,10\}$ — les nombres dans l’un ou l’autre ensemble.
• $n(A \cup B) = 7$.

Un ensemble peut aussi être défini par une propriété, par exemple $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ signifie « toutes les valeurs $x$ telles que $1 \leqslant x \leqslant 5$ ».

• Une puissance (aussi appelée exposant, pluriel exposants) indique combien de fois multiplier un nombre par lui-même : $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
• La racine carrée d'un nombre donne ce nombre lorsqu'il est élevé au carré : $\sqrt{169} = 13$ car $13^{2} = 169$.
• La racine cubique fonctionne de la même manière pour les cubes : $\sqrt[3]{8} = 2$ car $2^{3} = 8$.

Vous devriez pouvoir rappeler les carrés de $1^2$ à $15^2$ (et leurs racines), ainsi que les cubes de $1, 2, 3, 4, 5$ et $10$.

Exemple résolu. Calculez $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.

Lorsque vous multipliez ou divisez des puissances ayant la même base, utilisez ces règles :

Quelques puissances spéciales :

(Les puissances fractionnaires comme $a^{\frac{m}{n}}$ sont Étendues.)

Exemples résolus.

• $2^{-3} \times 2^{4} = 2^{-3+4} = 2^{1} = 2.$
• $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64.$
• $2^{3} \div 2^{4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$
• $7^{-2} = \dfrac{1}{7^{2}} = \dfrac{1}{49}.$
• $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9.$
• $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4}.$

Erreurs fréquentes. Multiplier les indices lors de la multiplication de puissances ($2^{3} \times 2^{4}$ est $2^{7}$, pas $2^{12}$), croire qu'une puissance négative rend un nombre négatif ($7^{-2}$ est positif), et écrire $a^{0} = 0$ (c'est $1$).

Notation scientifique écrit un nombre sous la forme $A \times 10^{n}$, où $1 \leqslant A < 10$ et $n$ sont des entiers. Elle est utilisée pour les très grands ou très petits nombres.

Pour convertir, comptez combien de places la virgule se déplace :

• $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^{6}$ — la virgule se déplace $6$ places vers la gauche, donc la puissance est positive.
• $0.00072 = 7.2 \times 10^{-4}$ — la virgule se déplace $4$ places vers la droite, donc la puissance est négative.

Exemple résolu. Calculez $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.

Multipliez les nombres du début et additionnez les puissances :

Erreur fréquente. Laisser une réponse telle que $15 \times 10^{4}$. Le chiffre devant doit être compris entre $1$ et $10$, donc écrire $1.5 \times 10^{5}$.

Une racine irrationnelle est une racine qui ne peut pas s'écrire comme fraction exacte, telle que $\sqrt{5}$. Conservez-la sous sa forme exacte plutôt que de l'arrondir. Deux règles utiles :

Simplifiez un radical en extrayant le plus grand facteur carré.

Exemple résolu. Simplifiez $\sqrt{20}$ et $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.

Rationaliser le dénominateur signifie éliminer une racine irrationnelle du bas d'une fraction (le dénominateur). Multipliez le numérateur et le dénominateur par une valeur qui supprime la racine irrationnelle.

Exemple résolu. Rationalisez $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.

Une fraction possède un numérateur (en haut) et un dénominateur (en bas).

• fraction propre : numérateur plus petit que le dénominateur, ex. $\frac{3}{4}$.
• fraction impropre : numérateur égal ou supérieur au dénominateur, ex. $\frac{7}{4}$.
• nombre mixte : un nombre entier plus une fraction, ex. $1\frac{3}{4}$.

Passer de l'impropre au mixte : $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ car $7 \div 4 = 1$ reste $3$.

Un nombre décimal utilise la valeur de position après une virgule. Un pourcentage signifie « sur $100$ », donc $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.

Conversion entre formes

Écrire une fraction sous sa forme la plus simple en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (les deux divisés par $6$).

Décimales périodiques (Étendu)

Une décimale périodique répète les mêmes chiffres indéfiniment. Des points marquent la partie répétée : $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ et $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$

Pour transformer une décimale périodique en fraction, multipliez afin que les parties répétitives s'alignent, puis soustrayez.

Exemple résolu. Écrivez $0.1\dot{7}$ sous forme de fraction.

Posons $x = 0.1777\ldots$. Seules les $7$ se répètent, donc utilisez $10x$ et $100x$ :

Ordre des opérations

Procéder dans cet ordre — l'ordre des opérations : parenthèses d'abord, puis puissances (puissances et racines), ensuite multiplier et diviser (de gauche à droite), enfin additionner et soustraire (de gauche à droite).

Exemple résolu. Calculez $-6 \times -3 + 7 \times 2$.

Faites d'abord les multiplications : $-6 \times -3 = 18$ et $7 \times 2 = 14$. Ensuite additionnez : $18 + 14 = 32$.

Nombres négatifs

• Ajouter un négatif : $5 + (-3) = 5 - 3 = 2$.
• Soustraire un négatif : $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.
• Multiplier ou diviser : mêmes signes donnent un positif ; signes différents donnent un négatif. Donc $-6 \times -3 = 18$ mais $-12 \div 4 = -3$.

Un changement de température de $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ à $3\,{}^{\circ}\text{C}$ est une hausse de $8\,{}^{\circ}\text{C}$.

Calculs avec des fractions

• Multiplier : multiplier les hauts, multiplier les bas : $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$.
• Diviser : multiplier par l'inverse de la deuxième fraction : $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
• Ajouter ou soustraire : utiliser un dénominateur commun (le PPCM des bas).

Exemple résolu. Calculez $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, en donnant la réponse sous sa forme la plus simple.

Changez le nombre mixte en fraction impropre, puis utilisez le dénominateur $15$ :

Utiliser ces symboles pour comparer des nombres selon leur grandeur (taille) :

Pour classer une liste mixte, changez chaque valeur en décimale d'abord.

Exemple résolu. Placez $34\%$, $\frac{1}{3}$ et $\frac{3}{10}$ dans l'ordre, du plus petit au plus grand.

En décimales : $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. Donc l'ordre est

Trouver un pourcentage d'une somme. $15\%$ de $\$80 = 0.15 \times 80 = \$12$.

Écrire un montant comme pourcentage d'un autre. Une note de $18$ sur $25$ est $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.

Augmentation ou diminution en pourcentage utilise

Exemple résolu. Un prix passe de $\$40$ à $\$50$. Trouver l'augmentation en pourcentage.

La variation est $\$10$, donc une augmentation de $\frac{10}{40} \times 100\% = 25\%$.

Erreur fréquente. Diviser par le nouveau montant ($\frac{10}{50} = 20\%$). Une variation en pourcentage se calcule toujours à partir du montant initial.

Un moyen rapide consiste à utiliser un facteur multiplicatif. Pour augmenter de $15\%$, multiplier par $1.15$ ; pour diminuer de $15\%$, multiplier par $0.85$.

Bénéfice et perte. Un magasin achète un article au prix d'achat et le vend au prix de vente. Le bénéfice correspond au prix de vente $-$ prix d'achat ; s'il est négatif, il s'agit d'une perte. Le pourcentage de bénéfice est toujours calculé à partir du prix d'achat :

Exemple détaillé. Une commerçante achète $40$ chemises pour un total de $\$300$. Elle en vend $30$ à $\$12$ pièce et le reste à $\$6$ pièce pendant une promotion. Calculez son pourcentage de bénéfice.

Recette : $30 \times 12 + 10 \times 6 = 360 + 60 = \$420$. Bénéfice : $420 - 300 = \$120$. Pourcentage de bénéfice : $\dfrac{120}{300} \times 100\% = 40\%$.

Deux variations successives. Multipliez les coefficients multiplicateurs ; n'additionnez pas les pourcentages. Un prix augmente de $20\%$ puis diminue de $20\%$ : $1.2 \times 0.8 = 0.96$, le prix final est donc inférieur de $4\%$ au prix initial, et non égal à celui-ci.

Intérêts simples et composés

Les intérêts sont l'argent payé pour emprunter ou pour épargner. Le capital est le montant initial.

• Les intérêts simples versent la même somme chaque année, calculée uniquement sur le capital :
  $$I = \frac{P \times r \times t}{100},$$
  où $P$ est le capital, $r$ est le taux annuel (en pourcentage) et $t$ est le nombre d'années.
• Les intérêts composés ajoutent les intérêts de chaque année, de sorte que l'année suivante rapporte des intérêts sur un total plus élevé :
  $$\text{final value} = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{t}.$$

Exemple résolu. Trouver la valeur de $\$500$ placés à $4\%$ d'intérêt composé pendant $3$ ans.

Pourcentages inverses (Étendu)

Un problème de pourcentage inverse donne le montant après une variation et demande la valeur initiale. Pour le résoudre, diviser par le facteur multiplicatif — ne pas simplement retirer le pourcentage.

Exemple résolu. Un manteau coûte $\$60$ après une augmentation de $20\%$. Trouver le prix initial.

$\$60$ représente $120\%$ du prix initial, donc le prix initial est $60 \div 1.2 = \$50$.

Erreur fréquente. Soustraire $20\%$ du nouveau prix : $60 \times 0.8 = \$48$ est faux, car le $20\%$ était un pourcentage du prix initial, pas de $\$60$. Vérification : $50 \times 1.2 = 60$.

Lorsqu'une quantité varie du même pourcentage à chaque période, cela indique une croissance exponentielle (elle augmente) ou une décroissance exponentielle (elle diminue). Utiliser la formule des intérêts composés. L'amortissement, où un bien comme une voiture perd de la valeur chaque année, correspond à une décroissance.

Exemple résolu. Une voiture valant $\$20\,000$ perd $15\%$ de sa valeur chaque année. Trouver sa valeur après $4$ ans.

Le multiplicateur est $0.85$, donc

Un rapport compare des quantités, s'écrit comme $a:b$. Simplifiez-le comme une fraction en divisant par le PGCD : $20:30:40 = 2:3:4$.

Division proportionnelle. Partagez $\$48$ selon le rapport $3:5$.

Le nombre total de parts est $3 + 5 = 8$. Une part vaut $48 \div 8 = \$6$. Les parts sont donc $3 \times 6 = \$18$ et $5 \times 6 = \$30$.

Exemple détaillé (une part connue). Amir et Bella se partagent des bonbons dans le rapport $2:7$. Bella reçoit $35$ bonbons de plus qu'Amir. Combien y a-t-il de bonbons au total ?

La différence représente $7 - 2 = 5$ parts, donc $5$ parts $= 35$ et $1$ part $= 7$. Le total est de $2 + 7 = 9$ parts $= 9 \times 7 = 63$ bonbons.

Proportion signifie que deux rapports sont égaux. Utilisez-le pour les recettes, les échelles cartographiques et la recherche du meilleur rapport qualité-prix.

Exemple détaillé (échelle d'une carte). Une carte est à l'échelle $1:50\,000$. Deux villages sont distants de $6.4$ cm sur la carte. Calculez la distance réelle en kilomètres.

Distance réelle $= 6.4 \times 50\,000 = 320\,000$ cm. Divisez par $100$ pour obtenir des mètres ($3200$ m), puis par $1000$ pour obtenir des kilomètres : $3.2$ km.

Exemple détaillé (meilleur rapport quantité-prix). Le riz est vendu en sac de $2$ kg pour $\$3.40$ ou en sac de $5$ kg pour $\$8.25$. Lequel est le plus avantageux ?

Calculez le prix de $1$ kg pour chaque sac : $3.40 \div 2 = \$1.70$ et $8.25 \div 5 = \$1.65$. Le sac de $5$ kg est le plus avantageux, car chaque kilogramme coûte moins cher. Comparez toujours la même quantité et indiquez par une phrase laquelle est la plus avantageuse.

Exemple résolu. $3$ stylos coûtent $\$1.80$. Trouvez le coût de $7$ stylos.

Un stylo coûte $1.80 \div 3 = \$0.60$. Donc $7$ stylos coûtent $7 \times 0.60 = \$4.20$.

Taux compare deux quantités mesurées en unités différentes, comme le prix au kilogramme ou la distance par heure.

Vitesse moyenne utilise

Exemple résolu. Un cycliste parcourt $45\text{ km}$ en $3$ heures $45$ minutes. Trouvez la vitesse moyenne.

D'abord, convertissez le temps en heures : $3$ h $45$ min $= 3.75$ h. Ensuite

Les autres taux fonctionnent de la même manière. La densité se trouve à partir de la masse et du volume :

D'autres exemples incluent le débit, la consommation de carburant et la densité de population. Si un taux nécessite une formule spéciale (comme la pression), l'énoncé vous la fournira.

Arrondis

• chiffres après la virgule (d.p.) : chiffres comptés après la virgule. De $3.14159$ à $2$ d.p., on obtient $3.14$.
• chiffres significatifs (s.f.) : chiffres comptés à partir du premier chiffre non nul. De $5764$ à $1$ s.f., on obtient $6000$ ; de $0.004067$ à $2$ s.f., on obtient $0.0041$.

Règle : regardez le chiffre suivant. S'il est $5$ ou plus, arrondissez vers le haut ; s'il est inférieur, arrondissez vers le bas.

Estimations

Pour estimer une réponse, arrondissez chaque nombre à $1$ s.f., puis effectuez le calcul.

Exemple résolu. Estimez $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.

Une valeur arrondie peut réellement être n'importe quoi qui s'arrondit à celle-ci. La borne inférieure et la borne supérieure sont les valeurs limites. Une borne supérieure n'a pas nécessairement besoin d'être acceptable. Pour une valeur arrondie à l'unité la plus proche, les bornes se situent à demi-unité de chaque côté.

Exemple résolu. Une hauteur $h$ mesure $635\text{ m}$, correct au mètre près. Donnez les bornes.

Donc la limite inférieure est $634.5\text{ m}$ et la limite supérieure est $635.5\text{ m}$.

Limites dans les calculs (Étendu)

Combinez les limites pour obtenir la limite souhaitée.

Exemple résolu. Un rectangle mesure $8\text{ cm}$ par $5\text{ cm}$, chaque côté étant arrondi au cm le plus proche. Trouvez la borne supérieure de sa surface.

Utilisez les limites supérieures des deux côtés : $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (La plus petite aire utilise les limites inférieures : $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)

Pour une quantité divisée telle que $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, la vitesse maximale provient de la distance maximale divisée par le temps minimal.

Erreurs courantes. Écrire la borne supérieure sous la forme $635.4$ ou $635.49$ (elle est égale à $635.5$, même si $635.5$ lui-même serait arrondi à la valeur supérieure), et utiliser la borne supérieure du temps pour obtenir la vitesse maximale. Diviser par un nombre plus petit donne un résultat plus grand.

• $60$ secondes $= 1$ minute, $60$ minutes $= 1$ heure, $24$ heures $= 1$ jour, et $1$ année $= 365$ jours.
• L'horloge en 24 heures écrit une heure sous quatre chiffres : $3.15$ p.m. s'écrit $15\,15$.

Exemple résolu. Un film commence à $19\,35$ et dure $70$ minutes. Trouvez l'heure de fin.

$70$ min $= 1$ h $10$ min. Ajouter $1$ heure donne $20\,35$ ; ajouter $10$ minutes donne $20\,45$.

Pour les problèmes d'horaires et de fuseaux horaires, ajoutez ou soustrayez la différence horaire entre les lieux.

Exemple détaillé (fuseaux horaires). Un vol quitte Singapour à $23\,50$, heure locale, et atterrit à Londres $13$ heures et $25$ minutes plus tard. L'heure de Londres a $8$ heures de retard sur celle de Singapour. Déterminez l'heure locale à Londres à l'atterrissage.

Heure d'atterrissage à l'heure de Singapour : $23\,50 + 13$ h $25$ min $= 13\,15$ le lendemain. Londres a $8$ heures de retard, donc l'heure locale à Londres est $13\,15 - 8$ h $= 05\,15$, le lendemain. Changez de fuseau horaire une seule fois, à la fin, pour ne pas confondre les deux heures.

Travaillez avec l'argent comme des décimaux ordinaires, mais donnez vos réponses avec $2$ d.p. (ainsi, $\$4.8$ s'écrit $\$4.80$).

Conversion monétaire. Utilisez le taux de change comme multiplicateur.

Exemple résolu. Le taux de change est $\$1 = €0.92$. Convertissez $\$150$ en euros, puis convertissez $€138$ en dollars.

• Ne pas arrondir en cours de calcul. Gardez la valeur complète et arrondissez uniquement la réponse finale.
• Entrez le temps comme une décimale d'heure : $2$ heures $30$ minutes correspond à $2.5$ heures, pas à $2.30$.
• Lisez l'affichage dans son contexte : en monnaie, $4.8$ signifie $\$4.80$ ; en temps, $3.25$ heures signifie $3$ heures $15$ minutes.

• Suivez BIDMAS (parenthèses, puissances, division/multiplication, addition/soustraction) dans l'ordre, et rappelez-vous qu'un négatif multiplié par un négatif donne un positif.
• En écriture scientifique, le nombre devant est compris entre 1 et 10 ; un petit nombre (comme $0.0004$) a une puissance négative de 10.
• Une variation en pourcentage se calcule sur le montant original. Pour un pourcentage inverse, divisez par le multiplicateur (par ex. $\div 1.2$ annule une augmentation de $20\%$).
• Ne pas arrondir en cours de calcul — gardez la valeur complète et arrondissez uniquement à la fin, à la précision demandée par l'énoncé (chiffres après la virgule ou chiffres significatifs).
• Pour les limites de précision, une valeur arrondie à l'unité près peut varier jusqu'à $0.5$ de chaque côté (donc $8$ signifie $7.5 \le x < 8.5$).