Nombre

Vous devez connaître les noms des différents types de nombres. Les examinateurs attribuent des points pour leur utilisation correcte.

Nombres de compte et entiers

• nombres naturels 自然数 — les nombres de compte $1, 2, 3, 4, \dots$
• entiers 整数 — nombres entiers, positifs, négatifs ou zéro : $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

Facteurs et multiples

• Un facteur 因数 d’un nombre le divise exactement, sans reste 余数. Les facteurs de $18$ sont $1, 2, 3, 6, 9, 18$.
• Un multiple 倍数 d’un nombre est ce nombre multiplié par un entier. Les multiples de $6$ sont $6, 12, 18, 24, \dots$
• Un facteur commun 公因数 de deux nombres est un facteur des deux.
• Un multiple commun 公倍数 de deux nombres est un multiple des deux.

Nombres premiers, carrés et cubes

• Un nombre premier 质数 a exactement deux facteurs : $1$ et lui-même. Les premiers nombres premiers sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ Notez que $1$ n’est pas premier.
• Un nombre carré 平方数 est un entier multiplié par lui-même : $1, 4, 9, 16, 25, \dots$
• Un nombre cube 立方数 utilise un entier trois fois : $1, 8, 27, 64, \dots$

Rationnels, irrationnels et réciproques

• Un nombre rationnel 有理数 peut s’écrire sous forme de fraction 分数 $\frac{a}{b}$ de deux entiers. Exemples : $\frac{3}{4}$, $5$, $0.7$.
• Un nombre irrationnel 无理数 ne peut pas s’écrire ainsi. Exemples : $\pi$ et $\sqrt{2}$.
• Le réciproque 倒数 d’un nombre est $1$ divisé par ce nombre. Le réciproque de $4$ est $\frac{1}{4}$ ; le réciproque de $0.25$ est $4$ ; le réciproque de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$.

Facteurs premiers, P GCD et P PPCM

Tout entier supérieur à $1$ est premier, ou peut s’écrire comme un produit 乘积 de nombres premiers. Pour écrire un nombre comme un produit de ses facteurs premiers 质因数, continuez de diviser par le plus petit nombre premier possible.

Exemple résolu. Écrivez $72$ comme un produit de ses facteurs premiers.

Le plus grand commun diviseur (PGCD) 最大公因数 de deux nombres est le plus grand facteur qu’ils partagent. Le plus petit commun multiple (PPCM) 最小公倍数 est le plus petit multiple qu’ils partagent. Les facteurs premiers offrent une méthode rapide.

Exemple résolu. Trouvez le PGCD et le PPCM de $72$ et $120$.

D’abord, écrivez chacun comme un produit de nombres premiers :

• PGCD : prenez la puissance la plus basse de chaque nombre premier présent dans les deux : $2^{3} \times 3 = 24$.
• PPCM : prenez la puissance la plus haute de chaque nombre premier présent : $2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 360$.

Un ensemble 集合 est une collection d’objets. Chaque objet de l’ensemble est un élément 元素 de l’ensemble. Vous devez connaître cette notation :

Un diagramme de Venn 维恩图 représente chaque ensemble par un cercle dans un rectangle (l’ensemble universel). Le niveau Core utilise deux ensembles ; le niveau Extended peut en utiliser trois.

Exemple résolu. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.

• $A = \{2,4,6,8,10\}$ et $B = \{3,6,9\}$.
• $A \cap B = \{6\}$ — le seul nombre dans les deux.
• $A \cup B = \{2,3,4,6,8,9,10\}$ — les nombres dans l’un ou l’autre ensemble.
• $n(A \cup B) = 7$.

Vous pouvez aussi voir un ensemble écrit comme une règle, par ex. $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ signifie "toutes les valeurs $x$ telles que $1 \leqslant x \leqslant 5$".

• Une puissance 幂 (aussi appelée indice 指数, pluriel indices) indique combien de fois multiplier un nombre par lui-même : $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
• Une racine carrée 平方根 d'un nombre donne ce nombre lorsqu'il est élevé au carré : $\sqrt{169} = 13$ car $13^{2} = 169$.
• Une racine cubique 立方根 fonctionne de la même manière pour les cubes : $\sqrt[3]{8} = 2$ car $2^{3} = 8$.

Vous devriez pouvoir rappeler les carrés de $1^2$ à $15^2$ (et leurs racines), ainsi que les cubes de $1, 2, 3, 4, 5$ et $10$.

Exemple résolu. Calculez $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.

Lorsque vous multipliez ou divisez des puissances de la même base 底数, utilisez ces règles :

Quelques puissances spéciales :

(Les puissances fractionnaires comme $a^{\frac{m}{n}}$ sont Étendues.)

Exemples résolus.

• $2^{-3} \times 2^{4} = 2^{-3+4} = 2^{1} = 2.$
• $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64.$
• $2^{3} \div 2^{4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$
• $7^{-2} = \dfrac{1}{7^{2}} = \dfrac{1}{49}.$
• $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9.$
• $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4}.$

Notation scientifique 科学记数法 écrit un nombre sous la forme $A \times 10^{n}$, où $1 \leqslant A < 10$ et $n$ est un entier. Elle est utilisée pour les nombres très grands ou très petits.

Pour convertir, comptez combien de places la virgule se déplace :

• $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^{6}$ — la virgule se déplace $6$ places vers la gauche, donc la puissance est positive.
• $0.00072 = 7.2 \times 10^{-4}$ — la virgule se déplace $4$ places vers la droite, donc la puissance est négative.

Exemple résolu. Calculez $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.

Multipliez les nombres du début et additionnez les puissances :

Un radical 根式 est une racine qui est irrationnelle, comme $\sqrt{5}$. Laissez-le sous sa forme exacte au lieu d'arrondir. Deux règles utiles :

Simplifiez un radical en extrayant le plus grand facteur carré.

Exemple résolu. Simplifiez $\sqrt{20}$ et $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.

Rationaliser le dénominateur 分母有理化 signifie retirer un radical du bas d'une fraction (le dénominateur 分母). Multipliez le haut et le bas par une valeur qui élimine le radical.

Exemple résolu. Rationalisez $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.

Une fraction possède un numérateur 分子 (en haut) et un dénominateur (en bas).

• fraction propre 真分数 : numérateur plus petit que le dénominateur, par ex. $\frac{3}{4}$.
• fraction impropre 假分数 : numérateur égal ou plus grand, par ex. $\frac{7}{4}$.
• nombre mixte 带分数 : un nombre entier plus une fraction, par ex. $1\frac{3}{4}$.

Passer de l'impropre au mixte : $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ car $7 \div 4 = 1$ reste $3$.

Une décimale 小数 utilise la valeur positionnelle après un point. Un pourcentage 百分比 signifie "sur $100$", donc $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.

Conversion entre formes

Écrire une fraction sous sa forme la plus simple 最简形式 en divisant le haut et le bas par leur PGCD : $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (les deux divisés par $6$).

Décimales périodiques (Étendu)

Une décimale périodique 循环小数 répète les mêmes chiffres indéfiniment. Des points marquent la partie répétitive : $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ et $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$

Pour transformer une décimale périodique en fraction, multipliez afin que les parties répétitives s'alignent, puis soustrayez.

Exemple résolu. Écrivez $0.1\dot{7}$ sous forme de fraction.

Posons $x = 0.1777\ldots$. Seules les $7$ se répètent, donc utilisez $10x$ et $100x$ :

Ordre des opérations

Travaillez dans cet ordre — l'ordre des opérations 运算顺序 : parenthèses d'abord, puis indices (puissances et racines), ensuite multiplier et diviser (de gauche à droite), enfin ajouter et soustraire (de gauche à droite).

Exemple résolu. Calculez $-6 \times -3 + 7 \times 2$.

Faites d'abord les multiplications : $-6 \times -3 = 18$ et $7 \times 2 = 14$. Ensuite additionnez : $18 + 14 = 32$.

Nombres négatifs

• Ajouter un négatif : $5 + (-3) = 5 - 3 = 2$.
• Soustraire un négatif : $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.
• Multiplier ou diviser : mêmes signes donnent un positif ; signes différents donnent un négatif. Donc $-6 \times -3 = 18$ mais $-12 \div 4 = -3$.

Un changement de température de $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ à $3\,{}^{\circ}\text{C}$ est une hausse de $8\,{}^{\circ}\text{C}$.

Calculs avec des fractions

• Multiplier : multiplier les hauts, multiplier les bas : $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$.
• Diviser : multiplier par l'inverse de la deuxième fraction : $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
• Ajouter ou soustraire : utiliser un dénominateur commun (le PPCM des bas).

Exemple résolu. Calculez $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, en donnant la réponse sous sa forme la plus simple.

Changez le nombre mixte en fraction impropre, puis utilisez le dénominateur $15$ :

Utilisez ces symboles pour comparer les nombres selon leur magnitude 大小 (taille) :

Pour classer une liste mixte, changez chaque valeur en décimale d'abord.

Exemple résolu. Placez $34\%$, $\frac{1}{3}$ et $\frac{3}{10}$ dans l'ordre, du plus petit au plus grand.

En décimales : $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. Donc l'ordre est

Trouver un pourcentage d'un montant. $15\%$ de $\$80 = 0.15 × 80 = \$12$.

Écrire un montant comme pourcentage d'un autre. Une note de $18$ sur $25$ est $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.

Augmentation ou diminution en pourcentage utilise

Exemple résolu. Un prix passe de $\$40$ à $\$50$. Trouvez l'augmentation en pourcentage.

Le changement est $\$10$, so $\frac{10}{40} × 100% = 25%$ augmentation.

Un moyen rapide est un multiplicateur 乘数. Pour augmenter de $15\%$, multipliez par $1.15$ ; pour diminuer de $15\%$, multipliez par $0.85$.

Intérêts simples et composés

Intérêt 利息 est de l'argent payé pour emprunter ou épargner. Le capital 本金 est le montant initial.

• Intérêt simple 单利 paie le même montant chaque année, calculé uniquement sur le capital :
  $$I = \frac{P \times r \times t}{100},$$
  où $P$ est le capital, $r$ est le taux annuel (en pourcentage) et $t$ est le nombre d'années.
• Intérêt composé 复li ajoute l'intérêt de chaque année, donc l'année suivante gagne de l'intérêt sur un total plus grand :
  $$\text{final value} = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{t}.$$

Exemple résolu. Trouvez la valeur de $\$500$ saved at $4%$ compound interest for $3 années.

Pourcentages inverses (Étendu)

Un problème de pourcentage inverse 逆百分比 donne le montant après un changement et demande l'original. Pour résoudre, divisez par le multiplicateur — ne retirez pas simplement le pourcentage.

Exemple résolu. Un manteau coûte $\$60$ after a $20%$ augmentation. Trouvez le prix original.

$\$60$ is $120%$ of the original, so the original price is $60 ÷ 1.2 = \$50$.

Lorsqu'une quantité change du même pourcentage à chaque période de temps, elle montre une croissance exponentielle 指数增长 (elle devient plus grande) ou une décroissance exponentielle 指数衰减 (elle devient plus petite). Utilisez la formule composée. La dépréciation 折旧, où quelque chose comme une voiture perd de la valeur chaque année, est une décroissance.

Exemple résolu. Une voiture vale $\$20 000$ loses $15%$ of its value each year. Find its value after $4 années.

Le multiplicateur est $0.85$, donc

Un rapport 比 compare des quantités, écrit comme $a:b$. Simplifiez-le comme une fraction en divisant par le PGCD : $20:30:40 = 2:3:4$.

Partager selon un rapport. Partagez $\$48$ in the ratio $3:5$.

Le nombre total de parts est $3 + 5 = 8$. Une part vaut $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 × 6 = \$18$ et $5 \times 6 = \$30$.

Proportion 比例 signifie que deux rapports sont égaux. Utilisez-le pour les recettes, les échelles 比例尺 et pour trouver le meilleur rapport qualité-prix.

Exemple résolu. $3$ stylos coûtent $\$1.80$. Find the cost of $7$ l'unité.

Un stylo coûte $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 \times 0.60 = \$4.20$.

Un taux 比率 compare deux quantités mesurées en unités différentes, comme le prix par kilogramme ou la distance par heure.

Vitesse moyenne 平均速度 utilise

Exemple résolu. Un cycliste parcourt $45\text{ km}$ en $3$ heures $45$ minutes. Trouvez la vitesse moyenne.

D'abord, convertissez le temps en heures : $3$ h $45$ min $= 3.75$ h. Ensuite

Les autres taux fonctionnent de la même manière. La densité 密度 se calcule à partir de la masse 质量 et du volume 体积 :

D'autres exemples incluent le débit, la consommation de carburant et la densité de population 人口密度. Si un taux nécessite une formule spéciale (comme la pression 压强), l'énoncé vous la donnera.

Arrondis

• chiffres après la virgule (d.p.) 小数位 : chiffres comptés après la virgule. $3.14159$ à $2$ d.p. donne $3.14$.
• chiffres significatifs (s.f.) 有效数字 : chiffres comptés à partir du premier chiffre non nul. $5764$ à $1$ s.f. donne $6000$ ; $0.004067$ à $2$ s.f. donne $0.0041$.

Règle : regardez le chiffre suivant. S'il est $5$ ou plus, arrondissez vers le haut ; s'il est inférieur, arrondissez vers le bas.

Estimations

Pour estimer 估算 une réponse, arrondissez chaque nombre à $1$ s.f., puis effectuez le calcul.

Exemple résolu. Estimez $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.

Une valeur arrondie pourrait vraiment être n'importe quelle valeur qui s'arrondit à celle-ci. La valeur minimale est la borne inférieure 下界 ; la maximale est la borne supérieure 上界. Pour une valeur arrondie à l'unité près, les bornes se situent à demi-unité de chaque côté.

Exemple résolu. Une hauteur $h$ mesure $635\text{ m}$, correct au mètre près. Donnez les bornes.

Donc la limite inférieure est $634.5\text{ m}$ et la limite supérieure est $635.5\text{ m}$.

Limites dans les calculs (Étendu)

Combinez les limites pour obtenir la limite souhaitée.

Exemple résolu. Un rectangle mesure $8\text{ cm}$ sur $5\text{ cm}$, chaque côté étant arrondi au centimètre près. Trouvez la plus grande aire 面积 possible.

Utilisez les limites supérieures des deux côtés : $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (La plus petite aire utilise les limites inférieures : $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)

Pour une quantité divisée telle que $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, la vitesse maximale provient de la distance maximale divisée par le temps minimal.

• $60$ secondes $= 1$ minute, $60$ minutes $= 1$ heure, $24$ heures $= 1$ jour, et $1$ année $= 365$ jours.
• L'horloge en 24 heures écrit une heure sous quatre chiffres : $3.15$ p.m. s'écrit $15\,15$.

Exemple résolu. Un film commence à $19\,35$ et dure $70$ minutes. Trouvez l'heure de fin.

$70$ min $= 1$ h $10$ min. Ajouter $1$ heure donne $20\,35$ ; ajouter $10$ minutes donne $20\,45$.

Pour les horaires et les problèmes de fuseau horaire 时区, ajoutez ou soustrayez la différence de temps entre les lieux.

Travaillez avec l'argent comme des décimales ordinaires, mais donnez les réponses à $2$ chiffres après la virgule (donc $\$4.8$ is written $\$4.80$).

Conversion monétaire. Utilisez le taux de change 汇率 comme multiplicateur.

Exemple résolu. Le taux de change est $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$ en euros, et convertissez $€138$ en dollars.

• Ne pas arrondir en cours de calcul. Gardez la valeur complète et arrondissez uniquement la réponse finale.
• Entrez le temps comme une décimale d'heure : $2$ heures $30$ minutes correspond à $2.5$ heures, pas à $2.30$.
• Interprétez l'affichage en contexte : pour l'argent, $4.8$ signifie $\$4.80$; in time, $3.25$ hours means $3$ hours $15$ minutes.

• Suivez BIDMAS (parenthèses, puissances, division/multiplication, addition/soustraction) dans l'ordre, et rappelez-vous qu'un négatif multiplié par un négatif donne un positif.
• En écriture scientifique, le nombre devant est compris entre 1 et 10 ; un petit nombre (comme $0.0004$) a une puissance négative de 10.
• Une variation en pourcentage se calcule sur le montant original. Pour un pourcentage inverse, divisez par le multiplicateur (par ex. $\div 1.2$ annule une augmentation de $20\%$).
• Ne pas arrondir en cours de calcul — gardez la valeur complète et arrondissez uniquement à la fin, à la précision demandée par l'énoncé (chiffres après la virgule ou chiffres significatifs).
• Pour les limites de précision, une valeur arrondie à l'unité près peut varier jusqu'à $0.5$ de chaque côté (donc $8$ signifie $7.5 \le x < 8.5$).