Cette fiche couvre le Sujet 3, Géométrie analytique. Les parties marquées (Étendu) ne sont testées que sur les papers Étendus ; tout le reste est pour les deux niveaux.
Géométrie analytique
Mathématiques IGCSE · Sujet 3
7:35
Géométrie analytique
Regardez une ville comme celle-ci depuis le haut et chaque coin de rue a une adresse : tant de blocs de large, tant de blocs de haut. Deux nombres, et vous savez exactement où vous…
Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés
3.1
Coordonnées
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Utiliser et interpréter les coordonnées cartésiennes en deux dimensions. |
Source : Programme Cambridge International
Un point sur un graphique est décrit par ses coordonnées 坐标, parfois appelées coordonnées cartésiennes, notées $(x, y)$. Le premier nombre est la valeur horizontale et le second est la valeur verticale.
- Les deux lignes numériques sont les axes 坐标轴 : l'axe horizontal 水平 $x$-axe et l'axe vertical 竖直 $y$-axe.
- Ils se croisent à l'origine 原点, le point $(0, 0)$.
- Les axes divisent la grille en quatre quadrants 象限.
Ainsi, le point $(3, -2)$ se trouve en allant $3$ vers la droite et $2$ vers le bas.
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Le plan cartésien
y = mx + c
Chaque point a des coordonnées (x, y). Une ligne droite est l'ensemble des points où y dépend de x d'une manière fixe.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| coordinates/kəʊˈɔːdɪnəts/ | 坐标 | zuò biāo |
| axes/ˈæksɪz/ | 坐标轴 | zuò biāo zhóu |
| horizontal/ˌhɒrɪˈzɒntl/ | 水平 | shuǐ píng |
| vertical/ˈvɜːtɪkl/ | 竖直 | shù zhí |
| origin/ˈɒrɪdʒɪn/ | 原点 | yuán diǎn |
| quadrants/ˈkwɒdrənts/ | 象限 | xiàng xiàn |
3.5
L'équation d'une droite
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Interpréter et obtenir l'équation d'un graphique linéaire sous la forme $y = mx + c$. | Les questions peuvent : • utiliser et demander des droites sous les formes $y = mx + c$, $x = k$ • impliquer la recherche de l'équation lorsque le graphique est donné • demander la pente ou l'ordonnée à l'origine $y$ d'un graphique à partir d'une équation, ex. : trouver la pente et l'ordonnée à l'origine $y$ de la droite ayant l'équation $y = 6x + 3$. Les candidats sont attendus de donner les équations d'une droite sous leur forme entièrement simplifiée. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Interpréter et obtenir l'équation d'une droite. | Les questions peuvent : • utiliser et demander des droites sous différentes formes, ex. $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • impliquer la recherche de l'équation lorsque le graphique est donné • demander la pente ou l'ordonnée à l'origine ($y$) d'un graphique à partir d'une équation, ex. trouver la pente et l'ordonnée à l'origine ($y$) du graphique d'équation $5x + 4y = 8$. Les candidats sont attendus de donner des équations de droites sous une forme entièrement simplifiée. |
Source : Programme Cambridge International
La plupart des droites peuvent s'écrire sous la forme
$$y = mx + c,$$
où $m$ est la pente 斜率 (raideur) et $c$ est l'ordonnée à l'origine 截距 — la valeur $y$ où la droite coupe l'axe $y$.
- Une droite de type $x = k$ (par exemple $x = 3$) est verticale.
- Une droite de type $y = k$ (par exemple $y = 3$) est horizontale.
Une droite peut aussi être donnée sous la forme $ax + by = c$. Réarrangez-la en $y = mx + c$ pour lire la pente et l'ordonnée à l'origine.
Exemple résolu. Trouvez la pente et l'ordonnée à l'origine $y$ de $5x + 4y = 8$.
$$4y = -5x + 8 \;\Rightarrow\; y = -\tfrac{5}{4}x + 2.$$
Donc la pente est $-\tfrac{5}{4}$ et l'ordonnée à l'origine $y$ est $2$.
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y = mx + c
y = ax + b
Faites glisser la pente et l'ordonnée à l'origine. a est la pente (raideur) et b est l'endroit où la ligne croise l'axe y.
3.3
Pente
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Trouver la pente d'une droite. | À partir d'une grille uniquement. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Trouver la pente d'une droite. | |
| 2 Calculer la pente d'une droite à partir des coordonnées de deux points situés dessus. |
Source : Programme Cambridge International
La pente mesure la raideur d'une droite :
$$m = \frac{\text{change in } y}{\text{change in } x} = \frac{\text{rise}}{\text{run}}.$$
Une pente positive monte vers la droite ; une pente négative descend vers la droite.
Exemple résolu. Trouvez la pente de la droite passant par $(1, 2)$ et $(4, 11)$.
$$m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3.$$
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Gradient
y = ax + b
Le gradient a mesure la raideur — élévation sur course.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | 斜率 | xié lǜ |
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | 截距 | jié jù |
| table of values/ˈteɪbl ɒv ˈvæljuːz/ | 数值表 | shù zhí biǎo |
| line segment/laɪn ˈseɡmənt/ | 线段 | xiàn duàn |
3.2
Tracer un graphique linéaire
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Tracer des droites pour des équations linéaires. | Les équations seront données sous la forme $y = mx + c$ (ex. : $y = -2x + 5$), sauf si un tableau de valeurs est fourni. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Tracer des droites pour des équations linéaires. | Exemples : • $y = -2x + 5$ • $y = 7 - 4x$ • $3x + 2y = 5$. |
Source : Programme Cambridge International
Pour tracer $y = mx + c$, la méthode la plus rapide consiste à :
- Marquer l'ordonnée à l'origine $c$ sur l'axe $y$.
- Utiliser la pente pour trouver d'autres points (pour $m = 3$, allez $1$ vers la droite et $3$ vers le haut).
- Relier les points par une ligne droite.
Vous pouvez également faire un petit tableau de valeurs 数值表 : choisissez deux ou trois valeurs $x$, calculez $y$, et tracez les points.
3.5
Trouver l'équation d'une droite
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Interpréter et obtenir l'équation d'un graphique linéaire sous la forme $y = mx + c$. | Les questions peuvent : • utiliser et demander des droites sous les formes $y = mx + c$, $x = k$ • impliquer la recherche de l'équation lorsque le graphique est donné • demander la pente ou l'ordonnée à l'origine $y$ d'un graphique à partir d'une équation, ex. : trouver la pente et l'ordonnée à l'origine $y$ de la droite ayant l'équation $y = 6x + 3$. Les candidats sont attendus de donner les équations d'une droite sous leur forme entièrement simplifiée. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Interpréter et obtenir l'équation d'une droite. | Les questions peuvent : • utiliser et demander des droites sous différentes formes, ex. $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • impliquer la recherche de l'équation lorsque le graphique est donné • demander la pente ou l'ordonnée à l'origine ($y$) d'un graphique à partir d'une équation, ex. trouver la pente et l'ordonnée à l'origine ($y$) du graphique d'équation $5x + 4y = 8$. Les candidats sont attendus de donner des équations de droites sous une forme entièrement simplifiée. |
Source : Programme Cambridge International
Si vous connaissez la pente $m$ et un point sur la droite, remplacez le point dans $y = mx + c$ pour trouver $c$.
Exemple résolu. Une droite a une pente $3$ et passe par $(1, 2)$. Trouvez son équation.
$$y = 3x + c, \qquad 2 = 3(1) + c, \qquad c = -1.$$
L'équation est donc $y = 3x - 1$. (Si on vous donne deux points, trouvez d'abord la pente, puis faites cela.)
3.4
Longueur et milieu (Étendu)
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Calculer la longueur d'un segment de droite. | |
| 2 Trouver les coordonnées du milieu d'un segment de droite. |
Source : Programme Cambridge International
Un segment de droite 线段 est la portion droite entre deux points.
Pour trouver la longueur 长度 du segment entre $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$, utilisez le théorème de Pythagore 勾股定理 sur les écarts horizontal et vertical :
$$\text{length} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$
Pour trouver le milieu 中点 (le point exactement au centre), faites la moyenne des coordonnées :
$$\text{midpoint} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \; \frac{y_1 + y_2}{2} \right).$$
Exemple résolu. Trouvez la longueur et le milieu du segment reliant $(1, 2)$ à $(4, 6)$.
$$\text{length} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$
$$\text{midpoint} = \left( \frac{1 + 4}{2}, \; \frac{2 + 6}{2} \right) = (2.5, \, 4).$$
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Lab longueur et milieu
le milieu est à mi-chemin entre les extrémités
Bougez le long d'un segment et voyez le milieu comme étant à mi-chemin.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| length/leŋθ/ | 长度 | cháng dù |
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | 勾股定理 | gōu gǔ dìng lǐ |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | 中点 | zhōng diǎn |
3.6
Droites parallèles
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Trouver la pente et l'équation d'une droite parallèle à une droite donnée. | Ex. : trouver l'équation de la droite parallèle à $y = 4x - 1$ passant par $(1, -3)$. |
Source : Programme Cambridge International
Des droites parallèles 平行 ne se rencontrent jamais, donc elles ont la même pente.
Exemple résolu. Trouvez l'équation de la droite parallèle à $y = 4x - 1$ qui passe par $(1, -3)$.
La pente est aussi $4$. Remplacez le point :
$$-3 = 4(1) + c \;\Rightarrow\; c = -7,$$
donc la droite est $y = 4x - 7$.
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Parallèle & perpendiculaire
y = ax + b
Parallèle lignes partagent un gradient ; perpendiculaire gradients multiplient à −1.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 | píng xíng |
3.7
Droites perpendiculaires (Étendu)
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Trouver la pente et l'équation d'une droite perpendiculaire à une droite donnée. | Exemples : • trouver la pente d'une droite perpendiculaire à $2y = 3x + 1$ • trouver l'équation de la médiatrice de la droite reliant les points $(-3, 8)$ et $(9, -2)$. |
Source : Programme Cambridge International
Deux droites sont perpendiculaires 垂直 si elles se coupent à un angle droit 直角. Le produit de leurs pentes est $-1$ :
$$m_1 \times m_2 = -1, \qquad \text{so} \qquad m_2 = -\frac{1}{m_1}.$$
En mots : inverser la fraction et changer le signe.
Exemple résolu. Trouvez la pente d'une droite perpendiculaire à $2y = 3x + 1$.
Réarranger : $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, donc la pente est $\tfrac{3}{2}$. La pente perpendiculaire est $-\tfrac{2}{3}$.
Médiatrice
La médiatrice 垂直平分线 d'un segment le coupe en deux à angle droit. Pour trouver son équation : obtenez le milieu, puis utilisez la pente perpendiculaire passant par ce milieu.
Exemple résolu. Trouvez la médiatrice du segment reliant $(-3, 8)$ et $(9, -2)$.
- Milieu : $\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2} \right) = (3, 3)$.
- Pente du segment : $\frac{-2 - 8}{9 - (-3)} = \frac{-10}{12} = -\tfrac{5}{6}$.
- Pente perpendiculaire : $\frac{6}{5}$.
Passant par $(3, 3)$ : $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. Donc la médiatrice est
$$y = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{5}.$$
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 | chuí zhí |
| right angle/raɪt ˈæŋɡl/ | 直角 | zhí jiǎo |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | 垂直平分线 | chuí zhí píng fēn xiàn |
3.7
Conseils d'examen
- La droite est $y = mx + c$ : $m$ est la pente et $c$ est l'endroit où la droite coupe l'axe $y$.
- Pente = (changement en $y$) ÷ (changement en $x$). Gardez les deux coordonnées dans le même ordre en haut et en bas.
- Les droites parallèles ont la même pente ; les droites perpendiculaires ont des pentes dont le produit est $-1$ (l'inverse négatif).
- Le milieu est la moyenne des coordonnées ; la distance entre deux points vient de Pythagore sur les différences.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.