Ce document couvre le Sujet 5, Mensuration (mesure de longueur, d'aire et de volume). Le contenu de base et étendu ici est presque identique. Lors de l'examen, certaines formules sont données dans la Liste des formules, mais il faut quand même les apprendre toutes.
Mensuration
Mathématiques IGCSE · Sujet 5
7:47
Mensuration
La Grande Pyramide de Giza se dresse depuis quatre mille cinq cents ans. Combien de pierre contient-elle ? Environ deux millions cinq cent mille mètres cubes — et un…
Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés
5.1
Unités de mesure
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Utiliser les unités métriques de masse, longueur, aire, volume et capacité dans des situations pratiques et convertir des quantités en unités plus grandes ou plus petites. | Les unités incluent : • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. La conversion entre unités comprend : • entre différentes unités d'aire, ex. : $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • entre unités de volume et de capacité, ex. : $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
Source : Programme Cambridge International
Nous utilisons des unités métriques 公制 pour la masse 质量 (g, kg), la longueur 长度 (mm, cm, m, km), l'aire 面积, le volume 体积 et la capacité 容量 (ml, litres — l'espace à l'intérieur d'un contenant).
Pour convertir des unités, faire attention aux carrés et cubes :
- Longueur : $1\text{ m} = 100\text{ cm}$.
- Aire : $1\text{ m}^{2} = 100^{2} = 10\,000\text{ cm}^{2}$.
- Volume : $1\text{ m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000\text{ cm}^{3}$.
- Capacité : $1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^{3}$, donc $1\text{ m}^{3} = 1000$ litres.
Exemple résolu. Convertir $3\text{ m}^{2}$ en $\text{cm}^{2}$.
$$3 \times 10\,000 = 30\,000\text{ cm}^{2}.$$
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Choix d'unité lab
Choisissez l'unité qui correspond à l'échelle de mesure.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| metric/ˈmetrɪk/ | 公制 | gōng zhì |
| mass/mæs/ | 质量 | zhì liàng |
| volume/ˈvɒljuːm/ | 体积 | tǐ jī |
| capacity/kəˈpæsɪti/ | 容量 | róng liàng |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | 周长 | zhōu cháng |
5.2
Périmètre et aire des figures de base
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Effectuer des calculs impliquant le périmètre et l'aire d'un rectangle, triangle, parallélogramme et trapèze. | Sauf pour l'aire d'un triangle, les formules ne sont pas fournies. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Effectuer des calculs impliquant le périmètre et l'aire d'un rectangle, triangle, parallélogramme et trapèze. | Sauf pour l'aire d'un triangle, les formules ne sont pas données. |
Source : Programme Cambridge International
Le périmètre 周长 est la distance totale sur le contour d'une figure. L'aire est la quantité d'espace plat à l'intérieur. Ici $b$ est la base 底 et $h$ est la hauteur 高 perpendiculaire.
| Figure | Aire |
|---|---|
| rectangle 矩形 | $\text{length} \times \text{width}$ |
| triangle 三角形 | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| parallélogramme 平行四边形 | $b \times h$ |
| trapèze 梯形 | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, où $a$ et $b$ sont les deux côtés parallèles |
Exemple résolu. Un trapèze a des côtés parallèles $6\text{ cm}$ et $10\text{ cm}$, et une hauteur $4\text{ cm}$. Trouver son aire.
$$\tfrac{1}{2}(6 + 10) \times 4 = \tfrac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32\text{ cm}^{2}.$$
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Laboratoire sur le mise à l'échelle de l'aire
surface = côté^2
Changez la longueur du côté et voyez pourquoi l'aire croît quadratiquement.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| length/leŋθ/ | 长度 | cháng dù |
| area/ˈeərɪə/ | 面积 | miàn jī |
| base/beɪs/ | 底 | dǐ |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | 矩形 | jǔ xíng |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | 三角形 | sān jiǎo xíng |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | 平行四边形 | píng xíng sì biān xíng |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | 梯形 | tī xíng |
5.3
Cercles
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Effectuer des calculs impliquant la circonférence et l'aire d'un cercle. | Les réponses peuvent être demandées en termes de $\pi$. |
| 2 Effectuer des calculs impliquant la longueur d'arc et l'aire de secteur comme fractions de la circonférence et de l'aire d'un cercle, où l'angle du secteur est un facteur de $360^\circ$. | Les formules sont données dans la Liste des formules. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Effectuer des calculs impliquant la circonférence et l'aire d'un cercle. | Les réponses peuvent être demandées en fonction de $\pi$. Les formules sont données dans la Liste des formules. |
| 2 Effectuer des calculs impliquant la longueur d'arc et l'aire de secteur comme fractions de la circonférence et de l'aire d'un cercle. | Inclut les secteurs mineurs et majeurs. |
Source : Programme Cambridge International
Pour un cercle 圆 avec un rayon 半径 $r$ (et un diamètre 直径 $d = 2r$) :
$$\text{circumference} = 2\pi r = \pi d, \qquad \text{area} = \pi r^{2}.$$
La circonférence 圆周 est la distance autour du cercle.
Exemple résolu. Un cercle a un rayon $7\text{ cm}$. Trouver sa circonférence et son aire (laisser $\pi$ dans la réponse).
$$\text{circumference} = 2\pi \times 7 = 14\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \pi \times 7^{2} = 49\pi\text{ cm}^{2}.$$
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | 圆 | yuán |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | 半径 | bàn jìng |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | 直径 | zhí jìng |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | 圆周 | yuán zhōu |
5.3
Arcs et secteurs
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Effectuer des calculs impliquant la circonférence et l'aire d'un cercle. | Les réponses peuvent être demandées en termes de $\pi$. |
| 2 Effectuer des calculs impliquant la longueur d'arc et l'aire de secteur comme fractions de la circonférence et de l'aire d'un cercle, où l'angle du secteur est un facteur de $360^\circ$. | Les formules sont données dans la Liste des formules. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Effectuer des calculs impliquant la circonférence et l'aire d'un cercle. | Les réponses peuvent être demandées en fonction de $\pi$. Les formules sont données dans la Liste des formules. |
| 2 Effectuer des calculs impliquant la longueur d'arc et l'aire de secteur comme fractions de la circonférence et de l'aire d'un cercle. | Inclut les secteurs mineurs et majeurs. |
Source : Programme Cambridge International
Un arc 弧 est une partie de la circonférence. Un secteur 扇形 est une « tranche de pizza » entre deux rayons. Si l'angle du secteur est $\theta$, l'arc et le secteur représentent cette fraction $\dfrac{\theta}{360}$ du cercle entier :
$$\text{arc length} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r, \qquad \text{sector area} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}.$$
Une petite tranche est un petit secteur 小扇形 ; le grand reste est un grand secteur 大扇形.
Exemple résolu. Trouver la longueur d'arc 弧长 et l'aire d'un secteur avec un angle $90^{\circ}$ et un rayon $8\text{ cm}$.
La fraction est $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, donc
$$\text{arc} = \tfrac{1}{4} \times 2\pi \times 8 = 4\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \tfrac{1}{4} \times \pi \times 8^{2} = 16\pi\text{ cm}^{2}.$$
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Arcs & secteurs
s = rθ · A = ½r²θ
Un angle ou un rayon plus grand signifie un arc plus long et une aire de secteur plus grande.
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Longueur d'arc et aire d'un secteur
Modifiez l'angle et le rayon et lisez la longueur d'arc et l'aire du secteur — une fraction du cercle entier.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| arc/ɑːk/ | 弧 | hú |
| sector/ˈsektə/ | 扇形 | shàn xíng |
| minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/ | 小扇形 | xiǎo shàn xíng |
| major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/ | 大扇形 | dà shàn xíng |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | 弧长 | hú zhǎng |
5.4
Aire de surface et volume des solides
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Effectuer des calculs et résoudre des problèmes impliquant la surface et le volume d'un : • parallélépipède • prisme • cylindre • sphère • pyramide • cône. | Les réponses peuvent être demandées en termes de $\pi$. Les formules suivantes sont données dans la Liste des formules : • surface courbe d'un cylindre • surface courbe d'un cône • surface d'une sphère • volume d'un prisme • volume d'une pyramide • volume d'un cylindre • volume d'un cône • volume d'une sphère. Le terme prisme fait référence à tout solide avec une section transversale uniforme, ex. : un secteur cylindrique. |
Source : Programme Cambridge International
L'aire de surface 表面积 est l'aire totale de toutes les faces extérieures. Le volume est l'espace intérieur. Pour ces solides ($r$ = rayon, $h$ = hauteur) :
| Solide | Volume | Aire de surface |
|---|---|---|
| parallélépipède rectangle 长方体 | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | additionner les six faces |
| prisme 棱柱 | (aire de la section transversale 横截面) $\times$ longueur | — |
| cylindre 圆柱 | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (aire latérale 侧面积) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| pyramide 棱锥 | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| cône 圆锥 | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (latéral) $+\, \pi r^{2}$, où $l$ est la hauteur oblique 斜高 |
| sphère 球 | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
Exemple résolu. Un cylindre a un rayon $5\text{ cm}$ et une hauteur $10\text{ cm}$. Trouver son volume et son aire de surface totale (en fonction de $\pi$).
$$\text{volume} = \pi \times 5^{2} \times 10 = 250\pi\text{ cm}^{3}.$$
$$\text{surface area} = 2\pi(5)(10) + 2\pi(5)^{2} = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^{2}.$$
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Laboratoire sur le mise à l'échelle du volume
la surface latérale croît avec l'échelle^2
Changez l'échelle de longueur et voyez le volume augmenter plus vite que la surface.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| height/haɪt/ | 高 | gāo |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | 表面积 | biǎo miàn jī |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | 长方体 | cháng fāng tǐ |
| prism/ˈprɪzəm/ | 棱柱 | léng zhù |
| cross-section/krɒs ˈsekʃn/ | 横截面 | héng jié miàn |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | 圆柱 | yuán zhù |
| curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | 侧面积 | cè miàn jī |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | 棱锥 | léng zhuī |
| cone/kəʊn/ | 圆锥 | yuán zhuī |
| slant height/slænt haɪt/ | 斜高 | xié gāo |
| sphere/sfɪə/ | 球 | qiú |
5.5
Formes composées et parties de formes
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Effectuer des calculs et résoudre des problèmes impliquant les périmètres et aires de : • formes composées • parties de formes. | Les réponses peuvent être demandées en termes de $\pi$. |
| 2 Effectuer des calculs et résoudre des problèmes impliquant les surfaces et volumes de : • solides composés • parties de solides. | Ex. : trouver le volume de la moitié d'une sphère. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Effectuer des calculs et résoudre des problèmes impliquant les périmètres et aires de : • formes composées • parties de formes. | Les réponses peuvent être demandées en termes de $\pi$. |
| 2 Effectuer des calculs et résoudre des problèmes impliquant les aires de surface et les volumes de : • solides composés • parties de solides. | ex. trouver l'aire de surface et le volume d'un tronc de pyramide/cône. |
Source : Programme Cambridge International
Une forme composée 组合图形 est constituée par l'assemblage ou la découpe de formes simples. Divisez-la en parties que vous connaissez, puis additionnez ou soustrayez.
Pour les « parties » d'un cercle ou d'un solide, prenez la bonne fraction. Par exemple, un hémisphère 半球 (moitié d'une sphère) a un volume
$$\tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{2}{3}\pi r^{3}.$$
Un tronc de cône/piramide 平截头体 est un cône ou une pyramide dont le sommet a été coupé ; trouvez son volume en soustrayant le petit cône supérieur du cône entier.
Exemple résolu. Trouver l'aire d'une forme composée d'un rectangle $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ avec un demi-cercle de diamètre $5\text{ cm}$ sur une extrémité.
Le demi-cercle a un rayon $2.5\text{ cm}$ :
$$\text{area} = 8 \times 5 + \tfrac{1}{2}\pi (2.5)^{2} = 40 + 3.125\pi \approx 49.8\text{ cm}^{2}.$$
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chemin des formes composées
Décomposez une forme composée en simples parties, puis recomposez-les.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/ | 组合图形 | zǔ hé tú xíng |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | 半球 | bàn qiú |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | 平截头体 | píng jié tóu tǐ |
5.5
Conseils d'examen
- Associez la formule à la forme : l'aire d'un cercle est $\pi r^2$, la circonférence est $\pi d$ (ou $2\pi r$) — ne les mélangez pas.
- Gardez les unités cohérentes, et rappelez-vous que les unités d'aire sont au carré et celles de volume au cube (ex. $1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$).
- Pour un arc ou un secteur, prenez la fraction $\frac{\theta}{360}$ de la circonférence ou de l'aire totale.
- L'aire de surface est la somme de toutes les faces — dessinez le patron si vous hésitez. Laissez une réponse en fonction de $\pi$ uniquement si la question le permet.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.