Mathématiques IGCSE

Vous devez connaître les noms des différents types de nombres. Les examinateurs attribuent des points pour leur utilisation correcte.

Nombres de compte et entiers

• nombres naturels 自然数 — les nombres de compte $1, 2, 3, 4, \dots$
• entiers 整数 — nombres entiers, positifs, négatifs ou zéro : $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

Facteurs et multiples

• Un facteur 因数 d’un nombre le divise exactement, sans reste 余数. Les facteurs de $18$ sont $1, 2, 3, 6, 9, 18$.
• Un multiple 倍数 d’un nombre est ce nombre multiplié par un entier. Les multiples de $6$ sont $6, 12, 18, 24, \dots$
• Un facteur commun 公因数 de deux nombres est un facteur des deux.
• Un multiple commun 公倍数 de deux nombres est un multiple des deux.

Nombres premiers, carrés et cubes

• Un nombre premier 质数 a exactement deux facteurs : $1$ et lui-même. Les premiers nombres premiers sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ Notez que $1$ n’est pas premier.
• Un nombre carré 平方数 est un entier multiplié par lui-même : $1, 4, 9, 16, 25, \dots$
• Un nombre cube 立方数 utilise un entier trois fois : $1, 8, 27, 64, \dots$

Rationnels, irrationnels et réciproques

• Un nombre rationnel 有理数 peut s’écrire sous forme de fraction 分数 $\frac{a}{b}$ de deux entiers. Exemples : $\frac{3}{4}$, $5$, $0.7$.
• Un nombre irrationnel 无理数 ne peut pas s’écrire ainsi. Exemples : $\pi$ et $\sqrt{2}$.
• Le réciproque 倒数 d’un nombre est $1$ divisé par ce nombre. Le réciproque de $4$ est $\frac{1}{4}$ ; le réciproque de $0.25$ est $4$ ; le réciproque de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$.

Facteurs premiers, P GCD et P PPCM

Tout entier supérieur à $1$ est premier, ou peut s’écrire comme un produit 乘积 de nombres premiers. Pour écrire un nombre comme un produit de ses facteurs premiers 质因数, continuez de diviser par le plus petit nombre premier possible.

Exemple résolu. Écrivez $72$ comme un produit de ses facteurs premiers.

Le plus grand commun diviseur (PGCD) 最大公因数 de deux nombres est le plus grand facteur qu’ils partagent. Le plus petit commun multiple (PPCM) 最小公倍数 est le plus petit multiple qu’ils partagent. Les facteurs premiers offrent une méthode rapide.

Exemple résolu. Trouvez le PGCD et le PPCM de $72$ et $120$.

D’abord, écrivez chacun comme un produit de nombres premiers :

• PGCD : prenez la puissance la plus basse de chaque nombre premier présent dans les deux : $2^{3} \times 3 = 24$.
• PPCM : prenez la puissance la plus haute de chaque nombre premier présent : $2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 360$.

Un ensemble 集合 est une collection d’objets. Chaque objet de l’ensemble est un élément 元素 de l’ensemble. Vous devez connaître cette notation :

Un diagramme de Venn 维恩图 représente chaque ensemble par un cercle dans un rectangle (l’ensemble universel). Le niveau Core utilise deux ensembles ; le niveau Extended peut en utiliser trois.

Exemple résolu. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.

• $A = \{2,4,6,8,10\}$ et $B = \{3,6,9\}$.
• $A \cap B = \{6\}$ — le seul nombre dans les deux.
• $A \cup B = \{2,3,4,6,8,9,10\}$ — les nombres dans l’un ou l’autre ensemble.
• $n(A \cup B) = 7$.

Vous pouvez aussi voir un ensemble écrit comme une règle, par ex. $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ signifie "toutes les valeurs $x$ telles que $1 \leqslant x \leqslant 5$".

• Une puissance 幂 (aussi appelée indice 指数, pluriel indices) indique combien de fois multiplier un nombre par lui-même : $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
• Une racine carrée 平方根 d'un nombre donne ce nombre lorsqu'il est élevé au carré : $\sqrt{169} = 13$ car $13^{2} = 169$.
• Une racine cubique 立方根 fonctionne de la même manière pour les cubes : $\sqrt[3]{8} = 2$ car $2^{3} = 8$.

Vous devriez pouvoir rappeler les carrés de $1^2$ à $15^2$ (et leurs racines), ainsi que les cubes de $1, 2, 3, 4, 5$ et $10$.

Exemple résolu. Calculez $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.

Lorsque vous multipliez ou divisez des puissances de la même base 底数, utilisez ces règles :

Quelques puissances spéciales :

(Les puissances fractionnaires comme $a^{\frac{m}{n}}$ sont Étendues.)

Exemples résolus.

• $2^{-3} \times 2^{4} = 2^{-3+4} = 2^{1} = 2.$
• $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64.$
• $2^{3} \div 2^{4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$
• $7^{-2} = \dfrac{1}{7^{2}} = \dfrac{1}{49}.$
• $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9.$
• $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4}.$

Notation scientifique 科学记数法 écrit un nombre sous la forme $A \times 10^{n}$, où $1 \leqslant A < 10$ et $n$ est un entier. Elle est utilisée pour les nombres très grands ou très petits.

Pour convertir, comptez combien de places la virgule se déplace :

• $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^{6}$ — la virgule se déplace $6$ places vers la gauche, donc la puissance est positive.
• $0.00072 = 7.2 \times 10^{-4}$ — la virgule se déplace $4$ places vers la droite, donc la puissance est négative.

Exemple résolu. Calculez $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.

Multipliez les nombres du début et additionnez les puissances :

Un radical 根式 est une racine qui est irrationnelle, comme $\sqrt{5}$. Laissez-le sous sa forme exacte au lieu d'arrondir. Deux règles utiles :

Simplifiez un radical en extrayant le plus grand facteur carré.

Exemple résolu. Simplifiez $\sqrt{20}$ et $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.

Rationaliser le dénominateur 分母有理化 signifie retirer un radical du bas d'une fraction (le dénominateur 分母). Multipliez le haut et le bas par une valeur qui élimine le radical.

Exemple résolu. Rationalisez $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.

Une fraction possède un numérateur 分子 (en haut) et un dénominateur (en bas).

• fraction propre 真分数 : numérateur plus petit que le dénominateur, par ex. $\frac{3}{4}$.
• fraction impropre 假分数 : numérateur égal ou plus grand, par ex. $\frac{7}{4}$.
• nombre mixte 带分数 : un nombre entier plus une fraction, par ex. $1\frac{3}{4}$.

Passer de l'impropre au mixte : $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ car $7 \div 4 = 1$ reste $3$.

Une décimale 小数 utilise la valeur positionnelle après un point. Un pourcentage 百分比 signifie "sur $100$", donc $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.

Conversion entre formes

Écrire une fraction sous sa forme la plus simple 最简形式 en divisant le haut et le bas par leur PGCD : $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (les deux divisés par $6$).

Décimales périodiques (Étendu)

Une décimale périodique 循环小数 répète les mêmes chiffres indéfiniment. Des points marquent la partie répétitive : $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ et $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$

Pour transformer une décimale périodique en fraction, multipliez afin que les parties répétitives s'alignent, puis soustrayez.

Exemple résolu. Écrivez $0.1\dot{7}$ sous forme de fraction.

Posons $x = 0.1777\ldots$. Seules les $7$ se répètent, donc utilisez $10x$ et $100x$ :

Ordre des opérations

Travaillez dans cet ordre — l'ordre des opérations 运算顺序 : parenthèses d'abord, puis indices (puissances et racines), ensuite multiplier et diviser (de gauche à droite), enfin ajouter et soustraire (de gauche à droite).

Exemple résolu. Calculez $-6 \times -3 + 7 \times 2$.

Faites d'abord les multiplications : $-6 \times -3 = 18$ et $7 \times 2 = 14$. Ensuite additionnez : $18 + 14 = 32$.

Nombres négatifs

• Ajouter un négatif : $5 + (-3) = 5 - 3 = 2$.
• Soustraire un négatif : $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.
• Multiplier ou diviser : mêmes signes donnent un positif ; signes différents donnent un négatif. Donc $-6 \times -3 = 18$ mais $-12 \div 4 = -3$.

Un changement de température de $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ à $3\,{}^{\circ}\text{C}$ est une hausse de $8\,{}^{\circ}\text{C}$.

Calculs avec des fractions

• Multiplier : multiplier les hauts, multiplier les bas : $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$.
• Diviser : multiplier par l'inverse de la deuxième fraction : $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
• Ajouter ou soustraire : utiliser un dénominateur commun (le PPCM des bas).

Exemple résolu. Calculez $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, en donnant la réponse sous sa forme la plus simple.

Changez le nombre mixte en fraction impropre, puis utilisez le dénominateur $15$ :

Utilisez ces symboles pour comparer les nombres selon leur magnitude 大小 (taille) :

Pour classer une liste mixte, changez chaque valeur en décimale d'abord.

Exemple résolu. Placez $34\%$, $\frac{1}{3}$ et $\frac{3}{10}$ dans l'ordre, du plus petit au plus grand.

En décimales : $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. Donc l'ordre est

Trouver un pourcentage d'un montant. $15\%$ de $\$80 = 0.15 × 80 = \$12$.

Écrire un montant comme pourcentage d'un autre. Une note de $18$ sur $25$ est $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.

Augmentation ou diminution en pourcentage utilise

Exemple résolu. Un prix passe de $\$40$ à $\$50$. Trouvez l'augmentation en pourcentage.

Le changement est $\$10$, so $\frac{10}{40} × 100% = 25%$ augmentation.

Un moyen rapide est un multiplicateur 乘数. Pour augmenter de $15\%$, multipliez par $1.15$ ; pour diminuer de $15\%$, multipliez par $0.85$.

Intérêts simples et composés

Intérêt 利息 est de l'argent payé pour emprunter ou épargner. Le capital 本金 est le montant initial.

• Intérêt simple 单利 paie le même montant chaque année, calculé uniquement sur le capital :
  $$I = \frac{P \times r \times t}{100},$$
  où $P$ est le capital, $r$ est le taux annuel (en pourcentage) et $t$ est le nombre d'années.
• Intérêt composé 复li ajoute l'intérêt de chaque année, donc l'année suivante gagne de l'intérêt sur un total plus grand :
  $$\text{final value} = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{t}.$$

Exemple résolu. Trouvez la valeur de $\$500$ saved at $4%$ compound interest for $3 années.

Pourcentages inverses (Étendu)

Un problème de pourcentage inverse 逆百分比 donne le montant après un changement et demande l'original. Pour résoudre, divisez par le multiplicateur — ne retirez pas simplement le pourcentage.

Exemple résolu. Un manteau coûte $\$60$ after a $20%$ augmentation. Trouvez le prix original.

$\$60$ is $120%$ of the original, so the original price is $60 ÷ 1.2 = \$50$.

Lorsqu'une quantité change du même pourcentage à chaque période de temps, elle montre une croissance exponentielle 指数增长 (elle devient plus grande) ou une décroissance exponentielle 指数衰减 (elle devient plus petite). Utilisez la formule composée. La dépréciation 折旧, où quelque chose comme une voiture perd de la valeur chaque année, est une décroissance.

Exemple résolu. Une voiture vale $\$20 000$ loses $15%$ of its value each year. Find its value after $4 années.

Le multiplicateur est $0.85$, donc

Un rapport 比 compare des quantités, écrit comme $a:b$. Simplifiez-le comme une fraction en divisant par le PGCD : $20:30:40 = 2:3:4$.

Partager selon un rapport. Partagez $\$48$ in the ratio $3:5$.

Le nombre total de parts est $3 + 5 = 8$. Une part vaut $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 × 6 = \$18$ et $5 \times 6 = \$30$.

Proportion 比例 signifie que deux rapports sont égaux. Utilisez-le pour les recettes, les échelles 比例尺 et pour trouver le meilleur rapport qualité-prix.

Exemple résolu. $3$ stylos coûtent $\$1.80$. Find the cost of $7$ l'unité.

Un stylo coûte $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 \times 0.60 = \$4.20$.

Un taux 比率 compare deux quantités mesurées en unités différentes, comme le prix par kilogramme ou la distance par heure.

Vitesse moyenne 平均速度 utilise

Exemple résolu. Un cycliste parcourt $45\text{ km}$ en $3$ heures $45$ minutes. Trouvez la vitesse moyenne.

D'abord, convertissez le temps en heures : $3$ h $45$ min $= 3.75$ h. Ensuite

Les autres taux fonctionnent de la même manière. La densité 密度 se calcule à partir de la masse 质量 et du volume 体积 :

D'autres exemples incluent le débit, la consommation de carburant et la densité de population 人口密度. Si un taux nécessite une formule spéciale (comme la pression 压强), l'énoncé vous la donnera.

Arrondis

• chiffres après la virgule (d.p.) 小数位 : chiffres comptés après la virgule. $3.14159$ à $2$ d.p. donne $3.14$.
• chiffres significatifs (s.f.) 有效数字 : chiffres comptés à partir du premier chiffre non nul. $5764$ à $1$ s.f. donne $6000$ ; $0.004067$ à $2$ s.f. donne $0.0041$.

Règle : regardez le chiffre suivant. S'il est $5$ ou plus, arrondissez vers le haut ; s'il est inférieur, arrondissez vers le bas.

Estimations

Pour estimer 估算 une réponse, arrondissez chaque nombre à $1$ s.f., puis effectuez le calcul.

Exemple résolu. Estimez $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.

Une valeur arrondie pourrait vraiment être n'importe quelle valeur qui s'arrondit à celle-ci. La valeur minimale est la borne inférieure 下界 ; la maximale est la borne supérieure 上界. Pour une valeur arrondie à l'unité près, les bornes se situent à demi-unité de chaque côté.

Exemple résolu. Une hauteur $h$ mesure $635\text{ m}$, correct au mètre près. Donnez les bornes.

Donc la limite inférieure est $634.5\text{ m}$ et la limite supérieure est $635.5\text{ m}$.

Limites dans les calculs (Étendu)

Combinez les limites pour obtenir la limite souhaitée.

Exemple résolu. Un rectangle mesure $8\text{ cm}$ sur $5\text{ cm}$, chaque côté étant arrondi au centimètre près. Trouvez la plus grande aire 面积 possible.

Utilisez les limites supérieures des deux côtés : $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (La plus petite aire utilise les limites inférieures : $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)

Pour une quantité divisée telle que $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, la vitesse maximale provient de la distance maximale divisée par le temps minimal.

• $60$ secondes $= 1$ minute, $60$ minutes $= 1$ heure, $24$ heures $= 1$ jour, et $1$ année $= 365$ jours.
• L'horloge en 24 heures écrit une heure sous quatre chiffres : $3.15$ p.m. s'écrit $15\,15$.

Exemple résolu. Un film commence à $19\,35$ et dure $70$ minutes. Trouvez l'heure de fin.

$70$ min $= 1$ h $10$ min. Ajouter $1$ heure donne $20\,35$ ; ajouter $10$ minutes donne $20\,45$.

Pour les horaires et les problèmes de fuseau horaire 时区, ajoutez ou soustrayez la différence de temps entre les lieux.

Travaillez avec l'argent comme des décimales ordinaires, mais donnez les réponses à $2$ chiffres après la virgule (donc $\$4.8$ is written $\$4.80$).

Conversion monétaire. Utilisez le taux de change 汇率 comme multiplicateur.

Exemple résolu. Le taux de change est $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$ en euros, et convertissez $€138$ en dollars.

• Ne pas arrondir en cours de calcul. Gardez la valeur complète et arrondissez uniquement la réponse finale.
• Entrez le temps comme une décimale d'heure : $2$ heures $30$ minutes correspond à $2.5$ heures, pas à $2.30$.
• Interprétez l'affichage en contexte : pour l'argent, $4.8$ signifie $\$4.80$; in time, $3.25$ hours means $3$ hours $15$ minutes.

• Suivez BIDMAS (parenthèses, puissances, division/multiplication, addition/soustraction) dans l'ordre, et rappelez-vous qu'un négatif multiplié par un négatif donne un positif.
• En écriture scientifique, le nombre devant est compris entre 1 et 10 ; un petit nombre (comme $0.0004$) a une puissance négative de 10.
• Une variation en pourcentage se calcule sur le montant original. Pour un pourcentage inverse, divisez par le multiplicateur (par ex. $\div 1.2$ annule une augmentation de $20\%$).
• Ne pas arrondir en cours de calcul — gardez la valeur complète et arrondissez uniquement à la fin, à la précision demandée par l'énoncé (chiffres après la virgule ou chiffres significatifs).
• Pour les limites de précision, une valeur arrondie à l'unité près peut varier jusqu'à $0.5$ de chaque côté (donc $8$ signifie $7.5 \le x < 8.5$).

En algèbre 代数, nous utilisons des lettres pour représenter des nombres. Une lettre dont la valeur peut changer est une variable 变量. Substituer 代入 signifie remplacer une lettre par un nombre.

Exemple résolu. Trouvez la valeur de $3x^{2} - 2y$ lorsque $x = 4$ et $y = 5$.

Un terme 项 est une partie unique d'une expression 表达式, comme $5a$ ou $-9b$. Les termes semblables 同类项 ont exactement les mêmes lettres ; vous pouvez les additionner ou les soustraire. Le nombre devant la lettre est le coefficient 系数.

Exemple résolu. Simplifier $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.

Regroupez les termes semblables : $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. Donc la réponse est

Développer 展开 signifie multiplier hors des parenthèses 括号. Multipliez chaque terme à l'intérieur par le terme à l'extérieur ; pour deux parenthèses, multipliez chaque terme du premier par chaque terme du second.

Exemples résolus.

Pour trois parenthèses (Étendu), développez d'abord deux, puis multipliez par le troisième :

Factoriser 因式分解 est l'inverse du développement : écrivez l'expression comme un produit de parenthèses. Sortez toujours le facteur commun 公因式 en premier.

Exemple résolu. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, car $3x$ divise les deux termes.

Les modèles suivants sont Étendus.

Par groupes (quatre termes) : sortez un facteur commun de chaque paire.

Différence de deux carrés 平方差 : $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.

Carré parfait 完全平方 : $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.

Expressions quadratiques 二次 $ax^{2} + bx + c$ : trouvez deux nombres qui multiplient pour donner $a \times c$ et s'additionnent pour donner $b$, puis séparez le terme central.

Exemple résolu. Factorisez $2x^{2} + 7x + 3$.

Ici $a \times c = 6$ et $b = 7$. Les nombres $1$ et $6$ conviennent. Séparez et regroupez :

Pour $ax^{3} + bx^{2} + cx$, sortez d'abord le $x$ commun : $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.

Compléter le carré 配方法 réécrit $x^{2} + bx + c$ sous la forme $(x + p)^{2} + q$. Prenez la moitié du coefficient de $x$, élevez-le au carré, puis équilibrez.

Exemple résolu. Écrivez $x^{2} + 6x + 1$ sous forme complétée au carré.

La moitié de $6$ est $3$, et $3^{2} = 9$ :

Lorsque le $x^{2}$ a un coefficient, sortez-le d'abord des deux premiers termes :

Une fraction algébrique 分式 a de l'algèbre au numérateur ou au dénominateur. Additionnez et soustrayez en utilisant un dénominateur commun ; multipliez et divisez comme avec des fractions ordinaires.

Exemples résolus.

Pour simplifier une expression rationnelle 有理式, factorisez le numérateur et le dénominateur, puis simplifiez les parenthèses communes.

Les lois des indices 指数 fonctionnent aussi avec des lettres : $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$, et $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.

Exemples résolus.

Vous pouvez également résoudre de simples équations à indices en écrivant les deux côtés avec la même base 底数.

Exemple résolu. Résolvez $2^{x} = 32$. Puisque $32 = 2^{5}$, vous obtenez $x = 5$.

Une équation 方程 dit que deux expressions sont égales. Pour résoudre une équation linéaire 一次, effectuez la même opération des deux côtés jusqu'à ce que l'inconnue 未知数 soit seule.

Exemple résolu. Résoudre $5 - 2x = 3(x + 7)$.

Équations fractionnaires (Étendu)

Une équation fractionnaire 分式方程 a l'inconnue au dénominateur. Multipliez les deux côtés par le dénominateur pour l'éliminer.

Exemple résolu. Résoudre $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.

Systèmes d'équations simultanées

Les équations simultanées 联立方程 sont deux équations résolues ensemble. Pour deux équations linéaires, additionnez ou soustrayez pour éliminer une lettre.

Exemple résolu. Résolvez $2x + y = 7$ et $3x - y = 8$.

L'addition élimine $y$ : $5x = 15$, donc $x = 3$. Ensuite $y = 7 - 2(3) = 1$.

Pour une équation linéaire et une équation quadratique (Étendu), substituez la linéaire dans la courbe.

Exemple résolu. Résolvez $y = x + 2$ et $y = x^{2}$.

donnant $x = 2$ (donnant $y = 4$) ou $x = -1$ (donnant $y = 1$).

Résolution des équations du second degré (Étendu)

Il existe trois méthodes.

• Par factorisation : $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ ou $x = -3$.
• En complétant le carré : $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• Par la formule quadratique 求根公式, qui est donnée dans l'examen :
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

Exemple résolu (formule). Résoudre $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Ici $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$ :

Changer de sujet

Changer de sujet 公式变形 d'une formule signifie la réarranger pour qu'une lettre choisie soit seule d'un côté.

Exemple résolu. Mettre $r$ en évidence dans $A = \pi r^{2}$ (Étendu, à cause de la puissance).

Quand la lettre apparaît deux fois (Étendu), regrouper ces termes et factoriser. Pour mettre $x$ en évidence dans $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ :

Une inégalité 不等式 utilise $<$, $>$, $\leqslant$ ou $\geqslant$. La résoudre comme une équation, mais inverser le signe si on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Exemple résolu. Résoudre $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.

Ajouter $2$ à toutes les parties, puis diviser par $3$ :

Sur une droite numérique 数轴, utiliser un cercle ouvert pour $<$ ou $>$ (valeur non incluse) et un cercle fermé pour $\leqslant$ ou $\geqslant$ (valeur incluse).

Régions (Étendu)

Une inégalité à deux lettres décrit une région 区域 du graphique. Tracer la ligne frontière (pointillée pour $<$ ou $>$, pleine pour $\leqslant$ ou $\geqslant$) et hacher le côté indésirable. On peut aussi demander de lister les inégalités définissant une région donnée.

Une suite 数列 est une liste de nombres suivant une règle. La règle terme à terme 递推规则 indique comment obtenir le terme suivant à partir du précédent.

Pour trouver la règle du terme en position $n$ (le $n$ème terme), observer comment les termes changent.

Suite linéaire (les termes augmentent toujours de la même quantité). La différence est le multiple de $n$.

Exemple résolu. Trouver le $n$ème terme de $2, 5, 8, 11, \dots$

Les termes augmentent de $3$, donc commencer par $3n$. Puisque $3 \times 1 = 3$ mais le premier terme est $2$, soustraire $1$ : le $n$ème terme est $3n - 1$.

Suite quadratique (les différences elles-mêmes changent de la même quantité). La deuxième différence égale $2 \times$ le coefficient de $n^{2}$.

Exemple résolu. Trouver le $n$ème terme de $2, 5, 10, 17, \dots$

Les premières différences sont $3, 5, 7$ ; la deuxième différence est $2$, donc la partie $n^{2}$ est $1n^{2}$. En soustrayant $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) à la suite, il reste $1, 1, 1, 1$. Donc le $n$ème terme est $n^{2} + 1$.

Une suite cubique 三次 comme $1, 8, 27, 64, \dots$ a un $n$ème terme $n^{3}$. Une suite exponentielle 指数数列 comme $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplie par un nombre fixe à chaque étape ; ici le $n$ème terme est $2 \times 3^{\,n-1}$.

Deux quantités sont en proportionnalité directe 正比例 si l'une est toujours un multiple fixe de l'autre : $y \propto x$ signifie $y = kx$, où $k$ est une constante 常数. Elles sont en proportionnalité inverse 反比例 si l'une augmente quand l'autre diminue : $y \propto \dfrac{1}{x}$ signifie $y = \dfrac{k}{x}$. Le symbole $\propto$ se lit « est proportionnel à ». On peut aussi avoir proportionnalité au carré, racine carrée, cube ou racine cubique.

Exemple résolu. $y$ est en proportionnalité directe avec $x$, et vaut $y = 12$ lorsque $x = 3$. Trouver $y$ lorsque $x = 7$.

Trouver d'abord $k$ : $12 = k \times 3$, donc $k = 4$ et $y = 4x$. Ensuite $y = 4 \times 7 = 28$.

La pente 斜率 (raideur) d'un graphique montre un taux de variation 变化率.

• Un graphe de déplacement 行程图 (graphique distance–temps) a une pente égale à la vitesse ; une partie plate signifie que l'objet ne bouge pas.
• Un graphe de conversion 换算图 est une ligne droite utilisée pour convertir entre deux unités (par exemple, miles et kilomètres).

Graphiques vitesse-temps (Étendu)

Sur un graphique vitesse-temps, la pente est l'accélération 加速度 (ou la décélération 减速度 si la vitesse diminue), et l'aire 面积 sous le graphique est la distance 距离 parcourue.

Exemple résolu. Une voiture accélère depuis l'arrêt jusqu'à $20\text{ m/s}$ en $8\text{ s}$, puis maintient $20\text{ m/s}$ pendant $12\text{ s}$. Trouver l'accélération et la distance totale.

Accélération $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. La distance est l'aire : un triangle plus un rectangle,

Pour tracer un graphique, faire une table de valeurs 数值表 : choisir des valeurs de $x$, calculer $y$, puis tracer les coordonnées 坐标 et les relier avec une courbe lisse.

Les points où un graphique croise l'axe $x$ (l'axe horizontal axial) sont les racines 根 — les solutions de $y = 0$.

On peut résoudre une équation en lisant un graphique. Le point d'intersection 交点 d'une droite et d'une courbe donne la solution des deux équations ensemble.

Pour la croissance exponentielle 指数增长 et la décroissance exponentielle 指数衰减, le graphique de $y = a\,b^{x} + c$ monte (ou descend) de plus en plus vite et s'aplatit vers une ligne horizontale.

Un esquisse rapide doit montrer la bonne forme et les caractéristiques clés : où elle croise les axes, toute symétrie 对称, et toute ligne vers laquelle la courbe s'approche sans jamais la toucher.

Pour une parabole, compléter le carré donne le point de retournement 转折点 (le point le plus bas ou le plus haut). Par exemple $y = (x + 3)^{2} - 8$ a son point de retournement à $(-3, -8)$.

Une asymptote 渐近线 est une ligne vers laquelle la courbe s'approche de plus en plus sans jamais la toucher — par exemple, l'axe $x$ pour $y = \dfrac{a}{x}$, ou la ligne $y = b$ pour $y = a\,r^{x} + b$.

La différentiation 微分 trouve la pente d'une courbe à tout point. On peut l'estimer en traçant une tangente 切线 (une ligne qui touche juste la courbe) et en mesurant sa pente.

La règle exacte : si $y = ax^{n}$, alors la dérivée 导数是

Différencier une somme terme par terme.

Exemple résolu. Oui $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, alors $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.

Un point stationnaire 驻点 (point de retournement) est où la pente est zéro, donc poser $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$.

Exemple résolu. Trouver le point de retournement de $y = x^{2} - 6x + 5$.

Le point de retournement est $(3, -4)$. Pour déterminer si un point de retournement est un maximum 最大值 ou un minimum 最小值, vérifier le signe de la pente de chaque côté, ou utiliser la dérivée seconde (positive signifie un minimum).

Une fonction 函数 transforme chaque entrée en une sortie unique. Nous écrivons $f(x)$, par exemple $f(x) = 3x - 5$, donc $f(2) = 1$. L'ensemble des entrées autorisées est le domaine 定义域 ; l'ensemble des sorties possibles est l'image 值域.

La fonction inverse 反函数 $f^{-1}(x)$ annule la fonction. Pour la trouver, écrire $y = f(x)$, inverser les rôles, et mettre $x$ en évidence.

Exemple résolu. Trouver l'inverse de $f(x) = 3x - 5$.

Une fonction composée 复合函数 applique une fonction après l'autre : $gf(x)$ signifie « faire $f$ d'abord, puis $g$ ».

Exemple résolu. Oui $f(x) = 2x$ et $g(x) = x + 3$, alors

• Quand on développe les parenthèses, multiplier chaque terme et surveiller les signes, surtout avec un moins devant : $-(x - 3) = -x + 3$.
• Pour résoudre une équation, faire la même chose des deux côtés. Quand on multiplie ou divise une inégalité par un nombre négatif, inverser le signe.
• Factoriser complètement : sortir d'abord le plus grand commun diviseur, puis chercher une différence de deux carrés ou un motif quadratique.
• Un quadratique a généralement deux solutions — donner les deux. Vérifier si la question demande la factorisation, la formule, ou de compléter le carré.
• Lors de la substitution dans une formule, mettre chaque valeur entre parenthèses d'abord, pour que les signes et les puissances soient corrects.

Un point sur un graphique est décrit par ses coordonnées 坐标, parfois appelées coordonnées cartésiennes, notées $(x, y)$. Le premier nombre est la valeur horizontale et le second est la valeur verticale.

• Les deux lignes numériques sont les axes 坐标轴 : l'axe horizontal 水平 $x$-axe et l'axe vertical 竖直 $y$-axe.
• Ils se croisent à l'origine 原点, le point $(0, 0)$.
• Les axes divisent la grille en quatre quadrants 象限.

Ainsi, le point $(3, -2)$ se trouve en allant $3$ vers la droite et $2$ vers le bas.

La plupart des droites peuvent s'écrire sous la forme

où $m$ est la pente 斜率 (raideur) et $c$ est l'ordonnée à l'origine 截距 — la valeur $y$ où la droite coupe l'axe $y$.

• Une droite de type $x = k$ (par exemple $x = 3$) est verticale.
• Une droite de type $y = k$ (par exemple $y = 3$) est horizontale.

Une droite peut aussi être donnée sous la forme $ax + by = c$. Réarrangez-la en $y = mx + c$ pour lire la pente et l'ordonnée à l'origine.

Exemple résolu. Trouvez la pente et l'ordonnée à l'origine $y$ de $5x + 4y = 8$.

Donc la pente est $-\tfrac{5}{4}$ et l'ordonnée à l'origine $y$ est $2$.

La pente mesure la raideur d'une droite :

Une pente positive monte vers la droite ; une pente négative descend vers la droite.

Exemple résolu. Trouvez la pente de la droite passant par $(1, 2)$ et $(4, 11)$.

Pour tracer $y = mx + c$, la méthode la plus rapide consiste à :

1. Marquer l'ordonnée à l'origine $c$ sur l'axe $y$.
2. Utiliser la pente pour trouver d'autres points (pour $m = 3$, allez $1$ vers la droite et $3$ vers le haut).
3. Relier les points par une ligne droite.

Vous pouvez également faire un petit tableau de valeurs 数值表 : choisissez deux ou trois valeurs $x$, calculez $y$, et tracez les points.

Si vous connaissez la pente $m$ et un point sur la droite, remplacez le point dans $y = mx + c$ pour trouver $c$.

Exemple résolu. Une droite a une pente $3$ et passe par $(1, 2)$. Trouvez son équation.

L'équation est donc $y = 3x - 1$. (Si on vous donne deux points, trouvez d'abord la pente, puis faites cela.)

Un segment de droite 线段 est la portion droite entre deux points.

Pour trouver la longueur 长度 du segment entre $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$, utilisez le théorème de Pythagore 勾股定理 sur les écarts horizontal et vertical :

Pour trouver le milieu 中点 (le point exactement au centre), faites la moyenne des coordonnées :

Exemple résolu. Trouvez la longueur et le milieu du segment reliant $(1, 2)$ à $(4, 6)$.

Des droites parallèles 平行 ne se rencontrent jamais, donc elles ont la même pente.

Exemple résolu. Trouvez l'équation de la droite parallèle à $y = 4x - 1$ qui passe par $(1, -3)$.

La pente est aussi $4$. Remplacez le point :

donc la droite est $y = 4x - 7$.

Deux droites sont perpendiculaires 垂直 si elles se coupent à un angle droit 直角. Le produit de leurs pentes est $-1$ :

En mots : inverser la fraction et changer le signe.

Exemple résolu. Trouvez la pente d'une droite perpendiculaire à $2y = 3x + 1$.

Réarranger : $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, donc la pente est $\tfrac{3}{2}$. La pente perpendiculaire est $-\tfrac{2}{3}$.

Médiatrice

La médiatrice 垂直平分线 d'un segment le coupe en deux à angle droit. Pour trouver son équation : obtenez le milieu, puis utilisez la pente perpendiculaire passant par ce milieu.

Exemple résolu. Trouvez la médiatrice du segment reliant $(-3, 8)$ et $(9, -2)$.

• Milieu : $\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2} \right) = (3, 3)$.
• Pente du segment : $\frac{-2 - 8}{9 - (-3)} = \frac{-10}{12} = -\tfrac{5}{6}$.
• Pente perpendiculaire : $\frac{6}{5}$.

Passant par $(3, 3)$ : $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. Donc la médiatrice est

• La droite est $y = mx + c$ : $m$ est la pente et $c$ est l'endroit où la droite coupe l'axe $y$.
• Pente = (changement en $y$) ÷ (changement en $x$). Gardez les deux coordonnées dans le même ordre en haut et en bas.
• Les droites parallèles ont la même pente ; les droites perpendiculaires ont des pentes dont le produit est $-1$ (l'inverse négatif).
• Le milieu est la moyenne des coordonnées ; la distance entre deux points vient de Pythagore sur les différences.

Un coin où deux droites se rencontrent est un sommet 顶点. Deux droites sont parallèles 平行 si elles ne se rencontrent jamais, et perpendiculaires 垂直 si elles se coupent à angle droit. Les angles sont nommés selon leur taille :

Nous nommons un angle avec trois lettres, ex. l'angle $ABC$ est l'angle au point $B$.

Apprenez ces faits de base. Chacun est une raison valide en examen.

• Les angles autour d'un point s'additionnent à $360^{\circ}$.
• Les angles sur une ligne droite s'additionnent à $180^{\circ}$.
• Les angles opposés par le sommet 对顶角 (formés par deux droites sécantes) sont égaux.

Exemple résolu. Trois angles sur une ligne droite mesurent $x$, $50^{\circ}$ et $70^{\circ}$. Trouvez $x$.

Lorsqu'une droite traverse deux droites parallèles :

• Les angles correspondants 同位角 (en positions correspondantes, forme de "F") sont égaux.
• Les angles alternes-internes 内错角 (côtés opposés de la sécante, forme de "Z") sont égaux.
• Les angles consécutifs-internes 同旁内角 (forme de "C") s'additionnent à $180^{\circ}$ ; nous disons qu'ils sont supplémentaires 互补.

Exemple résolu. Une ligne droite traverse deux droites parallèles. Un angle mesure $110^{\circ}$. L'angle consécutif-interne $y$ satisfait $110 + y = 180$, donc $y = 70^{\circ}$.

Un triangle 三角形 a trois côtés et des angles s'additionnant à $180^{\circ}$.

Exemple résolu. Un triangle a des angles $x$, $2x$ et $90^{\circ}$. Trouvez $x$.

Un quadrilatère 四边形 a quatre côtés et des angles s'additionnant à $360^{\circ}$.

Un polygone 多边形 est une forme à côtés droits. Un polygone régulier 正多边形 a tous ses côtés et tous ses angles égaux.

Pour un polygone ayant $n$ côtés :

L'angle intérieur 内角 et l'angle extérieur 外角 à chaque sommet s'additionnent pour faire $180^{\circ}$.

Exemple résolu. Trouver chaque angle intérieur d'un hexagone régulier.

L'angle extérieur est $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$, donc chaque angle intérieur est $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

• Une forme a une symétrie axiale 轴对称 si une ligne miroir la divise en deux moitiés identiques.
• Une forme a une symétrie rotationnelle 旋转对称 si elle coïncide avec elle-même lors d'une rotation. L'ordre correspond au nombre de fois qu'elle se superpose en un tour complet.

Pour les solides (Étendu), une tranche plane qui divise le solide en deux moitiés miroirs est un plan de symétrie 对称面, et un axe autour duquel on peut le faire tourner est un axe de symétrie 对称轴.

Utilisez-les pour trouver des angles inconnus, en indiquant toujours la raison.

Pour les deux niveaux :

• L'angle dans un demi-cercle est $90^{\circ}$.
• L'angle entre une tangente et un rayon est $90^{\circ}$.

Étendu (théorèmes I) :

• L'angle au centre est le double de l'angle à la circonférence (sur le même arc).
• Les angles dans le même segment sont égaux.
• Les angles opposés d'un quadrilatère cyclique 圆内接四边形 totalisent $180^{\circ}$.
• Le théorème du segment alternatif 弦切角定理 : l'angle entre une tangente et une corde est égal à l'angle dans l'autre segment.

Étendu (théorèmes II) : cordes égales sont à égale distance du centre ; la médiatrice d'une corde passe par le centre ; deux tangentes issues du même point extérieur ont la même longueur.

Exemple résolu. A, B, C sont sur un cercle. L'angle à la circonférence $ABC$ mesure $40^{\circ}$. Trouver l'angle $AOC$ au centre $O$.

L'angle au centre est le double de l'angle à la circonférence : $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.

Deux figures sont semblables 相似 si l'une est une agrandissement de l'autre : mêmes angles, et tous les côtés multipliés par le même facteur d'échelle 比例因子 $k$. (Les figures de même taille et même forme sont congruentes 全等.)

Pour les figures et solides semblables :

Exemple résolu. Deux solides semblables ont des longueurs dans le rapport $2 : 3$. Le plus petit a un volume de $40\text{ cm}^{3}$. Trouver le volume du plus grand.

Le rapport des volumes est $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$. Donc le volume du plus grand est $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$.

Une orientation 方位角 donne une direction sous la forme d'un angle à trois chiffres, mesuré horairement 顺时针 depuis le nord, de $000^{\circ}$ à $360^{\circ}$. Ainsi, l'est exact est $090^{\circ}$ et le sud exact est $180^{\circ}$.

Exemple résolu. L'orientation de $B$ depuis $A$ est $025^{\circ}$. Trouver l'orientation de $A$ depuis $B$.

L'orientation inverse (retour) diffère de $180^{\circ}$ : $025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$.

• Pour construire 作图 un triangle à partir de trois côtés donnés, tracer la base avec une règle, puis utiliser un compas 圆规 pour marquer chaque autre côté sous forme d'arc. Laisser les arcs de construction visibles.
• Un patron 展开图 est une forme plate qui se plie pour former un solide. On peut utiliser un patron pour calculer les aires.
• Un dessin à l'échelle 比例图 montre un objet réel plus petit (ou plus grand) selon une échelle fixe, comme $1\text{ cm}$ à $5\text{ m}$.

Solides courants 几何体 et leurs parties :

Une face plane d'un solide est une face 面, deux faces se rencontrent à une arête 棱, et l'ensemble de l'extérieur constitue sa surface 表面.

• Les angles sur une ligne droite s'additionnent à $180°$, autour d'un point à $360°$, et dans un triangle à $180°$. Indiquer une raison pour chaque étape d'un problème d'angles.
• Apprendre les théorèmes du cercle : l'angle au centre est le double de l'angle à la circonférence ; l'angle dans un demi-cercle est $90°$ ; les angles dans le même segment sont égaux ; les angles opposés d'un quadrilatère cyclique s'additionnent à $180°$.
• Les angles extérieurs de n'importe quel polygone s'additionnent à $360°$, et chaque angle intérieur + son angle extérieur = $180°$.
• Les orientations sont mesurées horairement depuis le nord et toujours écrites avec trois chiffres (ex. : $072°$).

Nous utilisons des unités métriques 公制 pour la masse 质量 (g, kg), la longueur 长度 (mm, cm, m, km), l'aire 面积, le volume 体积 et la capacité 容量 (ml, litres — l'espace à l'intérieur d'un contenant).

Pour convertir des unités, faire attention aux carrés et cubes :

• Longueur : $1\text{ m} = 100\text{ cm}$.
• Aire : $1\text{ m}^{2} = 100^{2} = 10\,000\text{ cm}^{2}$.
• Volume : $1\text{ m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000\text{ cm}^{3}$.
• Capacité : $1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^{3}$, donc $1\text{ m}^{3} = 1000$ litres.

Exemple résolu. Convertir $3\text{ m}^{2}$ en $\text{cm}^{2}$.

Le périmètre 周长 est la distance totale sur le contour d'une figure. L'aire est la quantité d'espace plat à l'intérieur. Ici $b$ est la base 底 et $h$ est la hauteur 高 perpendiculaire.

Exemple résolu. Un trapèze a des côtés parallèles $6\text{ cm}$ et $10\text{ cm}$, et une hauteur $4\text{ cm}$. Trouver son aire.