Cette fiche couvre le Sujet 8, Probabilités. Les parties marquées (Étendu) ne sont testées que dans les examens Étendus ; tout le reste est pour les deux niveaux.
Probabilité
Mathématiques IGCSE · Sujet 8
7:31
Probabilité
Il va pleuvoir demain ? Le bus sera-t-il en retard ? Ce dieu tirera-t-il un six ? Presque rien dans la vie n'est certain, et presque rien n'est impossible. La plupart des choses se situent…
Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés
8.1
L'échelle des probabilités
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Comprendre et utiliser l'échelle de probabilité de 0 à 1. | La notation des probabilités n'est pas requise. Les probabilités doivent être données sous forme de fraction, décimal ou pourcentage. Les problèmes peuvent nécessiter l'utilisation d'informations provenant de tableaux, graphiques ou diagrammes de Venn (limité à deux ensembles). |
| 2 Calculer la probabilité d'un événement unique. | |
| 3 Comprendre que la probabilité qu'un événement ne se produise pas = 1 – la probabilité que l'événement se produise. | ex. La probabilité qu'un jeton soit bleu est 0.8. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas bleu ? |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Comprendre et utiliser l'échelle de probabilité de 0 à 1. | $\text{P}(A)$ est la probabilité de $A$ |
| 2 Comprendre et utiliser la notation probabiliste. | $\text{P}(A')$ est la probabilité de ne pas $A$ |
| 3 Calculer la probabilité d'un événement unique. | Les probabilités doivent être données sous forme de fraction, décimal ou pourcentage. Les problèmes peuvent nécessiter l'utilisation d'informations provenant de tableaux, de graphiques ou de diagrammes de Venn. |
| 4 Comprendre que la probabilité qu'un événement ne se produise pas = 1 – la probabilité que l'événement se produise. | ex. $\text{P}(B) = 0.8$, trouver $\text{P}(B')$ |
Source : Programme Cambridge International
Probabilité 概率 mesure la probabilité qu'un événement 事件 se produise. Elle s'étend sur une échelle de $0$ (impossible) à $1$ (certain), et peut s'écrire sous forme de fraction, décimal ou pourcentage. Nous notons $\text{P}(A)$ pour la probabilité de l'événement $A$.
Pour des issues 结果 également probables,
$$\text{P}(\text{event}) = \frac{\text{number of favourable outcomes}}{\text{total number of outcomes}}.$$
La probabilité qu'un événement ne se produise pas est
$$\text{P}(A') = 1 - \text{P}(A).$$
Exemple résolu. Un sac contient $3$ jetons rouges et $5$ jetons bleus. Trouvez la probabilité de ne pas tirer un jeton rouge.
$$\text{P}(\text{red}) = \frac{3}{8}, \qquad \text{P}(\text{not red}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.$$
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L'échelle des probabilités
Faites glisser le marqueur de 0 (impossible) à 1 (certain) pour placer un événement sur l'échelle de probabilité.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | 概率 | gài lǜ |
| event/ɪˈvent/ | 事件 | shì jiàn |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | 结果 | jié guǒ |
8.2
Fréquence relative et fréquence attendue
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Comprendre la fréquence relative comme une estimation de la probabilité. | ex. : utiliser les résultats d'expériences avec un spinner pour estimer la probabilité d'un résultat donné. |
| 2 Calculer les fréquences attendues. | ex. : utiliser une probabilité pour estimer une valeur attendue à partir d'une population. Inclut la compréhension de ce que signifient équitable, biaisé et aléatoire. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Comprendre la fréquence relative comme une estimation de la probabilité. | ex. : utiliser les résultats d'expériences avec un spinner pour estimer la probabilité d'un résultat donné. |
| 2 Calculer les fréquences espérées. | ex. utiliser la probabilité pour estimer une valeur attendue à partir d'une population. |
| Comprend la compréhension de ce qui signifie juste, biaisé et aléatoire. |
Source : Programme Cambridge International
Lorsque les issues ne sont pas également probables, effectuez une expérience. La fréquence relative 相对频率 estime la probabilité :
$$\text{relative frequency} = \frac{\text{number of times it happened}}{\text{total number of trials}}.$$
Plus vous faites de trials, meilleure est l'estimation. Un objet juste 公平 donne des chances égales ; un objet avec biais 偏倚 ne le fait pas ; aléatoire 随机 signifie que chaque issue survient par hasard.
La fréquence attendue 期望频数是您预期在一个事件在 $n$ trials中发生的次数：
$$\text{expected frequency} = \text{P}(\text{event}) \times n.$$
Exemple résolu. La probabilité de lancer un six est $\tfrac{1}{6}$. Combien de six sont attendus lors de $300$ lancers ?
$$\frac{1}{6} \times 300 = 50.$$
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Probabilité aux dés
Lancez les deux dés nombreuses fois : les barres commencent par être sinueuses mais se stabilisent dans le triangle théorique culminant à 7 — la probabilité expérimentale convergeant vers la théorie.
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | 相对频率 | xiāng duì pín lǜ |
| fair/feə/ | 公平 | gōng píng |
| bias/ˈbaɪəs/ | 偏倚 | piān yǐ |
| random/ˈrændəm/ | 随机 | suí jī |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | 期望频数 | qī wàng pín shuò |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | 组合事件 | zǔ hé shì jiàn |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | 独立事件 | dú lì shì jiàn |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | 互斥 | hù chì |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | 样本空间图 | yàng běn kōng jiān tú |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | 维恩图 | wéi ēn tú |
8.3
Événements combinés
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Calculer la probabilité d'événements combinés en utilisant, le cas échéant : • diagrammes d'espace échantillonnal • diagrammes de Venn • diagrammes arborescents. | Les événements combinés concerneront uniquement des remplacements. |
| Les diagrammes de Venn seront limités à deux ensembles. | |
| Dans les diagrammes arborescents, les résultats seront inscrits à l'extrémité des branches et les probabilités sur le côté des branches. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Calculer la probabilité d'événements combinés en utilisant, le cas échéant : • diagrammes de l'espace échantillonnal • diagrammes de Venn | Les événements combinés peuvent être avec ou sans remise. |
| La notation $\text{P}(A \cap B)$ et $\text{P}(A \cup B)$ peut être utilisée dans le contexte des diagrammes de Venn. | |
| • diagrammes en arbre. | Sur les diagrammes en arbre, les issues sont écrites à la fin des branches et les probabilités sur le côté des branches. |
Source : Programme Cambridge International
Pour deux événements ou plus ensemble (événements combinés 组合事件), deux règles aident :
- ET (les deux se produisent) : multipliez les probabilités — lorsque les événements sont indépendants 独立事件 (l'un n'affecte pas l'autre).
- OU (l'un ou l'autre se produit) : additionnez les probabilités — lorsque les événements sont mutuellement exclusifs 互斥 (ils ne peuvent pas se produire simultanément).
Trois images vous aident à organiser le travail.
Diagrammes d'espace échantillonnal
Un diagramme d'espace échantillonnal 样本空间图 est un tableau ou une grille listant chaque issue possible — utile pour deux dés ou deux roues de fortune. Comptez les issues que vous voulez sur le total.
Diagrammes de Venn
Un diagramme de Venn 维恩图 classe les issues dans des ensembles superposés. De celui-ci, vous pouvez lire $\text{P}(A \cap B)$ (dans les deux) et $\text{P}(A \cup B)$ (dans l'un ou l'autre).
Diagrammes en arbre
Un diagramme en arbre 树状图 montre chaque étape sous forme d'un ensemble de branches. Écrivez la probabilité sur chaque branche et l'issue à la fin. Multipliez le long des branches, puis additionnez les chemins que vous voulez.
Exemple résolu (avec remise). Du sac ($3$ rouges, $5$ bleus), un jeton est tiré, remis, puis un second est tiré. C'est avec remise 有放回, donc les chances ne changent pas. Trouvez la probabilité de deux rouges.
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}.$$
Exemple résolu (sans remise, Étendu). Maintenant, le premier jeton n'est pas remis — tirage sans remise 无放回. Après avoir retiré un rouge, il reste $2$ rouges sur $7$ :
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}.$$
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Arbre de probabilité
Multipliez les probabilités le long de chaque branche ; les quatre résultats ajoutés valent toujours 1.
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Événements combinés
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Combinez deux événements : le modèle en aire montre ET (chevauchement) contre OU (union).
Vocabulaire
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| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | 树状图 | shù zhuàng tú |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | 有放回 | yǒu fàng huí |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | 无放回 | wú fàng huí |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | 条件概率 | tiáo jiàn gài lǜ |
8.4
Probabilité conditionnelle (Étendu)
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Calculer la probabilité conditionnelle en utilisant des diagrammes de Venn, des diagrammes en arbre et des tableaux. | La connaissance de la notation, $\text{P}(A|B)$, et des formules relatives à la probabilité conditionnelle n'est pas requise. |
Source : Programme Cambridge International
Probabilité conditionnelle 条件概率 est la probabilité qu'un événement se produise étant donné que另一个 a déjà eu lieu. Lisez-la dans un diagramme de Venn, un tableau à double entrée ou un diagramme en arbre en ne regardant que la partie correspondant à la condition.
Exemple résolu. Dans une classe de $30$, $18$ étudient le français et, parmi eux, $7$ étudient aussi l'allemand. Un élève étudiant le français est choisi au hasard. Quelle est la probabilité qu'il étudie aussi l'allemand ?
Regardez uniquement les $18$ élèves qui étudient le français :
$$\text{P}(\text{German} \mid \text{French}) = \frac{7}{18}.$$
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Arbres de probabilité
Modifiez les probabilités des branches et lisez les probabilités combinées et conditionnelles sur l'arbre.
8.4
Conseils d'examen
- Toute probabilité est comprise entre $0$ et $1$, et la somme des probabilités de toutes les issues est $1$.
- Pour "et" (les deux événements) multipliez les probabilités ; pour "ou" (l'un ou l'autre événement) additionnez-les. Sur un diagramme en arbre, multipliez le long des branches.
- Attention au sans remise : la seconde probabilité change car un élément a déjà été retiré.
- Fréquence attendue = probabilité × nombre d'essais.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.