Cinématique

En 1999, la NASA a perdu Mars Climate Orbiter, un vaisseau spatial de 125 millions de dollars, car une équipe a fourni des données de propulseur en livres-seconde et une autre les a interprétées comme des newton-seconde. La trajectoire calculée du sond était erronée d'environ 170 km, et il s'est consumé dans l'atmosphère martienne. La cinématique – la description soignée de la position d'un objet et de ses variations – semble simple, mais chaque unité ultérieure de ce cours repose sur la maîtrise exacte de celle-ci : les bonnes quantités, les bonnes directions et les bonnes unités.

La cinématique décrit le mouvement sans s'interroger sur ses causes. Deux types de quantités :

• Un scalaire possède uniquement une grandeur (module) : distance, vitesse, masse, temps, énergie.
• Un vecteur possède un module et une direction : position, déplacement, vitesse, accélération, force.

Un vecteur est représenté par une flèche dont la longueur est proportionnelle à son module. En une dimension, la direction correspond simplement à un signe : choisir une direction positive, et tout ce qui pointe dans le sens opposé est négatif. Ainsi, une vitesse de $-3\ \text{m/s}$ signifie 3 m/s dans la direction négative – et non « une vitesse inférieure à zéro ».

Dans ce cours fondé sur l’analyse mathématique, vous décomposez les vecteurs en composantes et les additionnez composante par composante. Le cours de physique C écrit les vecteurs à l’aide des vecteurs unitaires $\hat{i}$, $\hat{j}$ et $\hat{k}$, de longueur un et dirigés selon $x$, $y$ et $z$ :

Un vecteur résultant est la somme des composantes : $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}=(A_x+B_x)\hat{i}+(A_y+B_y)\hat{j}$. Un vecteur peut également être donné par son module et sa direction ; on convertit avec $A_x=A\cos\theta$, $A_y=A\sin\theta$ et $\tan\theta=A_y/A_x$. Le vecteur position d'un point est $\vec{r}$, et $\hat{r}$ est le vecteur unitaire pointant dans la même direction.

Exemple expliqué (addition de vecteurs). $\vec{A}=3\hat{i}+4\hat{j}$ m et $\vec{B}=6\ \text{m}$ à $30^\circ$ sous l'axe $+x$. Trouver $\vec{A}+\vec{B}$. $\vec{B}=6\cos30^\circ\,\hat{i}-6\sin30^\circ\,\hat{j}=5.2\hat{i}-3.0\hat{j}$ m. $\vec{C}=(3+5.2)\hat{i}+(4-3.0)\hat{j}=8.2\hat{i}+1.0\hat{j}$ m. $|\vec{C}|=\sqrt{8.2^2+1.0^2}=8.3$ m à $\tan^{-1}(1.0/8.2)=7^\circ$ au-dessus de $+x$. Additionner les modules ($5+6=11$ m) serait incorrect.

Dans le modèle du point matériel, on néglige la taille, la forme et les parties internes d'un objet et on le traite comme un point unique portant sa masse (et sa charge). Une voiture, une planète ou une balle peuvent toutes être considérées comme des objets lorsque seul leur mouvement global importe.

Le déplacement est le changement de position, $\Delta x=x-x_0$. Il ne dépend que des points de départ et d'arrivée : parcourir une fois un circuit de 400 m donne une distance de 400 m, mais votre déplacement est nul.

Les valeurs moyennes utilisent uniquement le début et la fin d'un intervalle de temps :

Un objet est en accélération dès que sa vitesse change en module, en direction, ou les deux – une voiture virant à vitesse constante de 50 km/h est en accélération.

Lorsque l'intervalle de temps tend vers zéro, la valeur moyenne approche celle à un instant précis. La vitesse instantanée et l'accélération instantanée sont donc des dérivées :

En inversant cela, intégrer pour retrouver la vitesse et la position :

Ainsi, la vitesse moyenne est $\Delta x/\Delta t$ sur un intervalle, tandis que la vitesse instantanée est la dérivée à un moment donné – la pente de la tangente sur un graphique $x$–$t$, et ce qu'affiche un compteur de vitesse (en tant que module).

Exemple expliqué (différenciation). Une particule se déplace selon $x(t)=2t^3-3t^2$ (mètres). Différencier pour obtenir la vitesse et l'accélération :

À $t=2\ \text{s}$, $v=24-12=12\ \text{m/s}$ et $a=24-6=18\ \text{m/s}^2$. La particule est momentanément au repos lorsque $v=0$ : $6t(t-1)=0$, donc à $t=0$ et $t=1$ s. Entre ces instants $v<0$, elle se déplace en sens inverse. Sa vitesse moyenne de $t=0$ à $t=2$ s est $\dfrac{x(2)-x(0)}{2}=\dfrac{4-0}{2}=2\ \text{m/s}$ – très différente de la vitesse instantanée 12 m/s à la fin. Ce lien avec le calcul différentiel et intégral – et non seulement les formules à constante-$a$ – distingue la physique C.

Exemple résolu (intégration). Une particule part du repos à l'origine avec $a(t)=6t$. Intégrer : $v=\int_0^t 6t\,dt=3t^2$ et $x=\int_0^t 3t^2\,dt=t^3$. À $t=2\ \text{s}$, $v=12\ \text{m/s}$ et $x=8\ \text{m}$. Si elle avait commencé à $x_0=5$ m avec $v_0=-4$ m/s, alors $v=3t^2-4$ et $x=5-4t+t^3$ : les conditions initiales sont les constantes d'intégration.

Le mouvement peut être représenté par des diagrammes de trajectoire, des graphiques, des équations, des tableaux et des descriptions textuelles ; les questions à réponse libre vous demandent de passer d'un mode de représentation à un autre.

• Sur un graphique position–temps, la pente de la tangente ($dx/dt$) correspond à la vitesse instantanée.
• Sur un graphique vitesse–temps, la pente représente l'accélération et l'aire sous la courbe correspond au déplacement : $\Delta x=\int_{t_1}^{t_2}v\,dt$. L'aire située sous l'axe des temps compte comme un déplacement négatif.
• Sur un graphique accélération–temps, l'aire représente la variation de vitesse : $\Delta v=\int_{t_1}^{t_2}a\,dt$.

Les pentes sont des dérivées ; les aires sont des intégrales – ce sont deux opérations inverses ici.

Pour une accélération constante, intégrer $a$ deux fois donne les trois équations cinématiques, qui s'appliquent dans n'importe quelle direction unique :

Choisissez l'équation qui exclut la grandeur que vous ne connaissez pas et dont vous n'avez pas besoin. Utilisez-les uniquement lorsque $a$ est constant ; si $a$ dépend du temps, intégrez.

Le cas le plus important à accélération-$a$ constante est la chute libre : près de la surface terrestre, tout objet, lourd ou léger, accélère vers le bas à $g$ dès que la résistance de l'air devient négligeable. Sur l'examen AP, utilisez $g\approx10\ \text{m/s}^2$ chaque fois qu'une valeur numérique est requise (9.8 est également accepté).

Exemple résolu (aire sous un graphique). Un chariot part du repos. Son accélération est $a=2.0\ \text{m/s}^2$ pendant 4.0 s, puis $a=-1.0\ \text{m/s}^2$ pendant 6.0 s. Aire sous le graphique $a$–$t$ : $\Delta v=2.0(4.0)+(-1.0)(6.0)=8.0-6.0=2.0$ m/s, donc la vitesse finale est 2.0 m/s. Pour le déplacement, utilisez le graphique $v$–$t$ : $v$ augmente de 0 à 8.0 m/s, puis diminue jusqu'à 2.0 m/s. Aire $=\tfrac12(4.0)(8.0)+\tfrac12(8.0+2.0)(6.0)=16+30=46$ m.

Exemple détaillé (chute libre). Une pierre est lancée verticalement vers le haut à 15 m/s depuis le bord d’une falaise de 20 m de haut et atterrit à son pied. Prenez le sens ascendant comme positif, $a=-10\ \text{m/s}^2$, et $\Delta y=-20$ m.

donc $t=4.0$ s (la racine négative n'a pas de sens physique). Vitesse d'impact : $v^2=15^2+2(-10)(-20)=625$, soit $v=-25$ m/s – 25 m/s vers le bas.

Exemple détaillé (quand $a$ n’est pas constant). Des élèves lâchent un filtre à café et ajustent sa vitesse au modèle $v=A\left(1-e^{-Bt}\right)$, avec $A=2.0$ m/s et $B=5.0\ \text{s}^{-1}$.

1. Accélération : $a=\dfrac{dv}{dt}=ABe^{-Bt}$. À $t=0$, $a=AB=10\ \text{m/s}^2$ : au départ, elle est en chute libre. À $t=0.20$ s, $a=10e^{-1}\approx3.7\ \text{m/s}^2$.
2. Comme $t\to\infty$, $e^{-Bt}\to0$, donc $v\to A=2.0$ m/s : $A$ est la vitesse terminale, et l'accélération tend vers zéro.
3. Position (en partant de $x=0$) : $x=\displaystyle\int_0^t A\left(1-e^{-Bt'}\right)dt'=At-\dfrac{A}{B}\left(1-e^{-Bt}\right)$.

Les équations cinématiques donneraient des résultats erronés ici, car $a$ varie. Si vous ne disposez que d'un graphique $v$–$t$, déterminez $a$ à un instant donné en traçant la tangente à ce point et en calculant sa pente, en utilisant deux points éloignés sur cette tangente.

Mesurer $g$ avec un graphique linéaire. Une bille est lâchée sans vitesse initiale depuis plusieurs hauteurs $h$, et le temps de chute $t$ est mesuré. Puisque $h=\tfrac12gt^2$, un graphique de $h$ en fonction de $t^2$ est une droite passant par l'origine de pente $\tfrac12g$.

1. Tracez $h$ (axe vertical) en fonction de $t^2$ (axe horizontal) et tracez la droite de meilleure ajustement. Ne reliez pas les points entre eux.
2. Pente calculée à partir de deux points sur la droite, bien espacés : $\dfrac{1.60-0.40}{0.326-0.082}\approx4.92\ \text{m/s}^2$.
3. $g=2\times\text{slope}\approx9.84\ \text{m/s}^2$.
4. Erreur relative $=\dfrac{|\text{experimental}-\text{accepted}|}{\text{accepted}}\times100=\dfrac{|9.84-9.81|}{9.81}\times100\approx0.3\%$ %.

Choisissez les axes de sorte que la relation attendue devienne $y=mx$ (ou $y=mx+c$) ; indiquez ensuite quelle grandeur physique correspond à la pente. Pour réduire l'incertitude, prenez plusieurs lectures à chaque hauteur et faites-en la moyenne, tout en couvrant une large gamme de hauteurs.

Tout mouvement est mesuré par rapport à un référentiel – un point de vue doté de son propre origine et de ses propres axes. Le référentiel choisi détermine la direction et la grandeur des vitesses que vous mesurez : un passager marchant vers l'avant à 1 m/s dans un train se déplaçant à 30 m/s a une vitesse de 31 m/s par rapport au sol.

Les mesures effectuées dans un référentiel sont converties vers un autre par addition vectorielle ou soustraction :

Lisez les indices comme une chaîne : « A par rapport à B » plus « B par rapport à C » donne « A par rapport à C ». De même, $\vec{v}_{B/A}=-\vec{v}_{A/B}$. Cela permet de résoudre des problèmes de bateaux traversant des rivières, d'avions dans le vent et de passagers dans des véhicules en mouvement – les problèmes de mouvement relatif.

Un référentiel inertiel est un référentiel qui n'accélère pas. Des observateurs situés dans différents référentiels inertiels mesurent des vitesses différentes mais la même accélération pour un objet, car une vitesse de référentiel constante disparaît lors de la dérivation. Sauf indication contraire, supposez que votre référentiel est inertiel.

Exemple résolu (traversée perpendiculaire). Un bateau se déplace à $5.0\ \text{m/s}$ par rapport à l'eau. Le courant de la rivière est de $3.0\ \text{m/s}$ et la largeur du fleuve est de 80 m. Le pilote souhaite accoster directement en face. Le bateau doit pointer partiellement contre le courant pour que la composante en amont de sa vitesse annule le courant : $5.0\sin\theta=3.0$, donc $\theta=37^\circ$ en amont de la trajectoire perpendiculaire. Sa vitesse transversale est de $5.0\cos37^\circ=4.0$ m/s, et la traversée dure $\dfrac{80}{4.0}=20$ s. S'il pointait directement vers l'autre rive, il la traverserait en $\dfrac{80}{5.0}=16$ s mais atterrirait $3.0\times16=48$ m en aval.

En deux ou trois dimensions, la position est un vecteur $\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}$, et la vitesse et l'accélération sont ses dérivées successives. Le mouvement est analysé en le décomposant en composantes et en traitant chacune avec la cinématique unidimensionnelle indépendamment :

• la vitesse et l'accélération peuvent varier selon chaque direction et ne doivent pas être constantes ;
• une variation dans une direction n'affecte pas le mouvement dans une direction perpendiculaire : une balle lâchée et une balle tirée horizontalement depuis la même hauteur touchent le sol simultanément.

Exemple détaillé (calcul différentiel en 2 dimensions). $\vec{r}(t)=\big(2t^2\big)\hat{i}+\big(4t-t^3\big)\hat{j}$ (mètres). En dérivant chaque composante : $\vec{v}=4t\,\hat{i}+(4-3t^2)\,\hat{j}$ et $\vec{a}=4\,\hat{i}-6t\,\hat{j}$. À $t=1\ \text{s}$ : $\vec{v}=4\hat{i}+1\hat{j}$, donc la valeur de la vitesse est $\sqrt{17}\approx4.1\ \text{m/s}$ : aucune nouvelle notion de physique, juste une dérivée par composante.

Pour un mouvement de projectile idéal sous gravité uniforme avec négligence de la résistance de l'air, l'accélération est nulle horizontalement et constante verticalement : $a_x=0$ (vitesse horizontale constante) et $a_y=-g$. Les deux mouvements sont liés uniquement par le temps $t$, et la trajectoire est une parabole.

Exemple résolu (lancement sur terrain plat). Une balle est lancée à $20\ \text{m/s}$, $30^{\circ}$ au-dessus de l'horizontale ($g=10\ \text{m/s}^2$). Les composantes sont $v_{0x}=20\cos30^{\circ}=17.3\ \text{m/s}$ et $v_{0y}=20\sin30^{\circ}=10\ \text{m/s}$. Le mouvement vertical fixe le temps : durée totale du vol $=\dfrac{2v_{0y}}{g}=\dfrac{20}{10}=2.0\ \text{s}$, hauteur maximale $=\dfrac{v_{0y}^2}{2g}=5.0\ \text{m}$, et portée $=v_{0x}\times2.0=35\ \text{m}$.

Exemple résolu (lancement depuis une hauteur). Une balle quitte une table haute de 1.25 m à 3.0 m/s. À quelle distance de la table atterrit-elle, et quelle est sa vitesse à l'impact ? Vertical : $1.25=\tfrac12(10)t^2$, soit $t=0.50$ s. Horizontal : $x=3.0\times0.50=1.5$ m. À l'atterrissage $v_x=3.0$ m/s et $v_y=-10\times0.50=-5.0$ m/s, soit $v=\sqrt{3.0^2+5.0^2}=5.8$ m/s à $\tan^{-1}(5.0/3.0)=59^\circ$ sous l'horizontale.

Répondez à chaque question avant de lire les réponses ci-dessous.

1. Une particule se déplace avec $x(t) = 2t^3 - 6t^2 + 4$ (m, s). Déterminez $v(t)$ et $a(t)$, les instants où elle est au repos et son accélération au plus tardif de ces instants.
2. Une particule a $a(t) = 6t$ m/s², $v(0) = 2$ m/s et $x(0) = 0$. Déterminez $v$ et $x$ à $t = 2$ s.
3. Une balle est lancée horizontalement à $15$ m/s depuis une falaise de $20$ m de haut. Déterminez le temps de vol et la distance horizontale parcourue.
4. Un bateau se dirige plein nord à $4$ m/s par rapport à l’eau pour traverser une rivière de $80$ m de large qui coule vers l’est à $3$ m/s. Déterminez sa vitesse par rapport au sol, le temps de traversée et la distance en aval de son point d’arrivée.
5. La vitesse d’un chariot augmente régulièrement de $0$ à $10$ m/s en $5$ s, puis reste constante pendant $5$ s. Déterminez son déplacement.

1. $v = 6t^2 - 12t$, $a = 12t - 12$. Au repos lorsque $6t(t - 2) = 0$ : $t = 0$ et $t = 2$ s. $a(2) = 12$ m/s².
2. $v = 3t^2 + 2$, donc $v(2) = 14$ m/s. $x = t^3 + 2t$, donc $x(2) = 12$ m.
3. $t = \sqrt{2(20)/9.8} = 2.02$ s; $x = 15 \times 2.02 = 30.3$ m.
4. $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ m/s ; $t = 80 \div 4 = 20$ s ; dérive de $= 3 \times 20 = 60$ m.
5. Aire sous le graphique $v$-$t$ : $\tfrac12(5)(10) + 5(10) = 75$ m.

• Décomposer chaque vecteur en composantes avant de les ajouter – ne jamais additionner directement les modules à un angle.
• En Physics C, on attend l'utilisation du calcul différentiel : la vitesse est $\vec v=\tfrac{d\vec r}{dt}$ et l'accélération $\vec a=\tfrac{d\vec v}{dt}$ ; inverser avec l'intégration et inclure les conditions initiales.
• Utiliser $g\approx10\ \text{m/s}^2$ sauf indication contraire.
• Vérifier et contrôler les unités et traiter la direction avec des signes (choisir un axe positif et y rester fidèle).
• Lire les graphiques dans les deux sens : la pente donne la dérivée suivante, la surface donne la variation de la quantité précédente.
• Dans les problèmes de mouvement relatif, écrire la chaîne d'indices $\vec v_{A/C}=\vec v_{A/B}+\vec v_{B/C}$ avant de substituer.
• Utiliser le produit scalaire pour les quantités de type travail et le produit vectoriel pour le couple et le moment cinétique (unités ultérieures).
• Esquisser les vecteurs – un diagramme repère les erreurs de signe et de direction que l'algèbre cache.

Erreurs courantes

• Oublier la constante d'intégration. $v(t) = v_0 + \int_0^t a(t\prime)\,dt\prime$ et $x(t) = x_0 + \int_0^t v(t\prime)\,dt\prime$ : les conditions initiales appartiennent à la réponse.
• Trouver la vitesse moyenne à partir de la distance totale. La vitesse moyenne est le déplacement divisé par le temps ; la distance donne la vitesse scalaire moyenne.
• Dire qu'un projectile a une vitesse nulle au sommet. Seule $v_y$ est nulle ; $v_x$ reste inchangée tout au long du mouvement.
• Utiliser les équations à accélération constante lorsque $a$ dépend du temps. Différenciez ou intégrez plutôt.
• Additionner les vitesses relatives comme des scalaires. $\vec v_{A/G} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/G}$ est une somme vectorielle ; dessinez le triangle.
• Penser que la vitesse nulle implique une accélération nulle. Au sommet d'un lancer vertical $v=0$ mais $a=-g$.