Limites et continuité

Pourquoi c’est important. Il y a environ 2,400 ans, le penseur grec Zénon soutenait qu’une coureuse ne peut jamais terminer une course : elle doit d’abord parcourir la moitié de la distance, puis la moitié de ce qui reste, puis la moitié de ce nouveau reste, et ainsi de suite indéfiniment. Selon lui, il est impossible d’achever une infinité d’étapes. Il a fallu plus de deux mille ans pour trouver la réponse : les distances $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots$ se rapprochent autant que l’on veut de $1$, donc leur limite est exactement $1$. Newton et Leibniz ont fondé le calcul infinitésimal sur cette idée dans les années 1660-1680, et Augustin-Louis Cauchy lui a donné une définition rigoureuse en 1821. Chaque dérivée et chaque intégrale de ce cours est une limite.

Le calcul est la mathématique du changement et de l'accumulation. Il répond à deux grandes questions : comment quelque chose change-t-il maintenant, et combien s'est accumulé jusqu'ici ? L'unité 1 construit l'unique outil sur lequel reposent ces deux questions – la limite.

Commencez par une énigme. Le compteur de vitesse d'une voiture affiche $60$ km/h. Que cela signifie-t-il à un instant précis ? La vitesse est la distance divisée par le temps. Mais à un seul instant, aucun temps ne s'écoule et aucune distance n'est parcourue, donc la fraction ressemble à $\tfrac{0}{0}$ – indéfinie.

• Le taux de variation moyen utilise un intervalle entier : le changement d'une quantité divisé par le changement d'une autre. Il se divise par zéro, et est donc indéfini, lorsque le changement en entrée serait nul.
• Le taux de variation instantané est ce que nous cherchons en un point. C'est la valeur vers laquelle le taux moyen tend lorsque l'intervalle se réduit vers une longueur nulle.

L'astuce consiste non pas à insérer zéro (indéfini), mais à observer vers quoi tend le taux moyen alors que l'intervall e devient de plus en plus petit. Cette valeur vers laquelle on tend est une limite. Ainsi, le calcul nous permet de décrire le changement à un instant – comme une limite des taux moyens sur des intervalles toujours plus courts. Cette unique idée alimente la dérivée (Unité 2) et, inversée, l'intégrale (Unité 6). Tout le reste de cette unité définit les limites avec soin et les calcule de manière fiable.

Étant donné une fonction $f$, la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $c$ est un nombre réel $R$ si $f(x)$ peut être rendu arbitrairement proche de $R$ en prenant $x$ suffisamment proche de $c$ – mais pas égal à $c$. On note

Les derniers mots sont au cœur d'une limite : elle décrit le comportement de $f$ près de $c$, et non la valeur en $c$. La fonction peut être indéfinie en $c$, ou définie mais égale à autre chose – la limite s'en moque.

Une limite peut être démontrée de trois façons : graphiquement, numériquement (un tableau), et analytiquement (algèbre). Savoir passer d'une représentation à l'autre est une compétence fondamentale.

(Note : la définition epsilon-delta d'une limite n'est pas testée à l'examen AP, c'est pourquoi ce document ne l'utilise pas.)

Un graphique est souvent le moyen le plus rapide de lire une limite. Pour trouver $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, faites glisser votre doigt le long de la courbe vers $x = c$ depuis chaque côté et demandez-vous : quelle hauteur la courbe approche-t-elle ?

• Tracez depuis la gauche (entrées inférieures à $c$) : cela donne la limite à gauche, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
• Tracez depuis la droite (entrées supérieures à $c$) : cela donne la limite à droite, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
• Ce sont les limites unilatérales. Si elles convergent toutes deux vers la même hauteur $R$, alors la limite bilatérale existe et $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Crucialement, ignorez le point lui-même. Les graphiques marquent la différence entre la limite et la valeur :

• Un cercle ouvert marque une hauteur que la courbe approche sans atteindre – un « trou ».
• Un cercle plein marque la valeur réelle $f(c)$.

Une limite n'existe pas (souvent notée DNE) lorsque les deux côtés diffèrent (un saut), lorsque la fonction est non bornée (croît sans limite), ou lorsqu'elle oscille près de $c$ avec des fluctuations qui ne convergent pas vers une valeur unique. L'oscillation seule n'empêche pas l'existence d'une limite : $x\sin(1/x)\to0$ lorsque $x\to0$. Par exemple :

Vérifiez l'échelle d'un graphique : une vue d'ensemble peut masquer un comportement important près d'un point, aussi confirmez avec l'algèbre lorsque c'est possible.

Comparaison expliquée : valeurs proches et point unique

Sur ce graphique créé par l'enseignant, lisez les hauteurs vers lesquelles on tend avant le point rempli.

Les deux limites unilatérales en 2 valent 2, donc la limite bilatérale est 2. Le point plein indique $f(2)=4$. Il s'agit d'une discontinuité amovible : définir $f(2)=2$ rend la fonction continue.

Ici, la limite à gauche en 0 est 1, la limite à droite est 3, et $f(0)=2$. L'inégalité des limites unilatérales signifie que la limite bilatérale n'existe pas. Aucun choix de $f(0)$ ne modifie les branches voisines ; le saut ne peut être éliminé par la modification d'un seul point.

Lorsque vous disposez de données ou d'une formule mais pas de graphique, un tableau de valeurs permet d'estimer une limite numériquement. Choisissez des entrées qui approchent $c$ des deux côtés et observez les sorties.

Par exemple, pour estimer $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (qui est $\tfrac{0}{0}$ en $x=2$) :

Les deux côtés marchent vers $4$, nous estimons donc que la limite est $4$. Un tableau ne fait que suggérer une valeur – c'est une estimation numérique, pas une preuve.

La plupart des limites sont trouvées analytiquement grâce aux théorèmes sur les limites. Si $\lim_{x\to c} f(x)$ et $\lim_{x\to c} g(x)$ existent tous deux, la limite d'une combinaison est la même combinaison des limites :

• Somme / différence : $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
• Produit : $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
• Quotient : $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, à condition que la limite du dénominateur ne soit pas $0$.
• Composée : si $g$ est continue en $\lim_{x\to c} f(x)$, alors $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

Règle pratique : pour une fonction construite à partir de polynômes, racines, etc., essayez d'abord la substitution directe – remplacez $x = c$. Si vous obtenez un nombre réel, c'est la limite. Les limites unilatérales obéissent aux mêmes théorèmes, lues dans un seul sens.

La substitution directe donne parfois la forme indéterminée $\tfrac{0}{0}$. Cela ne signifie pas que la limite échoue – cela signifie que vous devez réécrire la fonction sous une forme équivalente qui élimine le problème, puis substituer. Trois mouvements standards :

• Factoriser et simplifier une fonction rationnelle. Exemple : $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
• Multiplier par le conjugué pour simplifier une racine. Exemple : $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
• Utiliser des formes alternatives de fonctions trigonométriques (identités) pour simplifier.

Le facteur annulé explique pourquoi le graphique original avait un trou : les deux fonctions coïncident partout sauf en $x=c$, elles partagent donc la même limite là.

C'est une compétence, pas du nouveau contenu : choisissez le bon outil pour la limite devant vous.

1. Essayez d'abord la substitution directe. Une réponse réelle signifie que vous êtes fini.
2. Vous obtenez $\tfrac{0}{0}$ ? Réécrivez – factorisez et simplifiez, ou utilisez le conjugué, ou une identité trigonométrique – puis substituez.
3. Un nombre non nul sur $0$ (comme $\tfrac{5}{0}$) ? La limite est infinie ou DNE – vérifiez le signe de chaque côté (voir asymptotes verticales ci-dessous).
4. Quand $x\to\pm\infty$ ? Comparez les termes dominants (voir les limites à l'infini).
5. Piégé entre deux fonctions ? Le théorème des gendarmes (squeeze theorem) peut s'appliquer.

Le théorème des gendarmes (aussi appelé théorème de l'encadrement) permet de déterminer une limite en plaçant la fonction entre deux autres. Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ près de $c$, et

Les deux résultats célèbres démontrés ainsi, tous deux utilisés tout au long du calcul différentiel et intégral, sont :

Une autre compétence fondamentale : une même limite existe sous forme graphique, tabulaire et algébrique, et vous devez être capable de passer d'une représentation à l'autre. Un graphique montre la forme ainsi que les trous ou sauts ; un tableau fournit des preuves numériques ; l'algèbre donne une valeur exacte et une justification. Les bonnes réponses utilisent une représentation pour confirmer une autre.

Une fonction est discontinue en $c$ lorsque sa courbe y présente une « rupture ». Il en existe trois types courants :

• Discontinuité amovible – un seul trou. La limite bilatérale existe, mais le point est absent ou mal placé.
• Discontinuité de saut – les deux limites unilatérales existent mais diffèrent, donc la courbe saute.
• Discontinuité infinie – la fonction tend vers $\pm\infty$ à une asymptote verticale.

Comparaison résolue : classifier et justifier une réparation

En 2, $A(x)=(x^2-4)/(x-2)$ se simplifie en $x+2$ pour $x\ne 2$. Sa limite est 4 ; définir $A(2)=4$ élimine le trou. En revanche, $B(x)=1$ pour $x<2$ et 3 pour $x\ge 2$ a des limites unilatérales finies inégales 1 et 3. Changer $B(2)$ ne peut pas supprimer son saut. Pour $C(x)=1/(x-2)$, le côté gauche tend vers $-\infty$ et le côté droit vers $+\infty$ : une discontinuité infinie, sans limite finie utilisable comme réparation.

La continuité est définie par un test en trois parties. Une fonction $f$ est continue en $x=c$ exactement lorsque les trois conditions suivantes sont réunies :

En termes simples : le point existe, la limite existe, et les deux coïncident. Si l'une quelconque échoue, $f$ est discontinue en $c$. Ce test constitue la colonne vertébrale de presque toutes les questions sur la continuité, apprenez-le comme une liste de vérification.

Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle. Vous vérifiez rarement point par point, car de grandes familles de fonctions sont continues sur leurs domaines :

Les fonctions polynomiales, rationnelles, en puissance, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques sont continues en tout point de leur domaine.

Ainsi, une fonction rationnelle est continue partout sauf là où son dénominateur s'annule ; $\ln x$ est continue pour $x>0$ ; etc. Connaître cela permet de déclarer la continuité rapidement et correctement.

Si la limite existe en un trou, la discontinuité est amovible : redéfinissez la fonction en ce point unique pour qu'elle soit égale à la limite, et le graphique sera réparé. Formellement, attribuez la valeur manquante à $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

Pour une fonction définie par morceaux, la continuité à une frontière $x=c$ exige que les deux morceaux se rejoignent : la valeur du morceau de gauche, la valeur du morceau de droite et $f(c)$ doivent être toutes égales. C'est un type fréquent d'examen – vous résolvez pour un paramètre (une constante inconnue) qui fait correspondre les morceaux :

Exemple résolu. Trouver la constante $k$ qui rend cette fonction continue en $x=2$ :

• Limite à gauche : $\displaystyle \lim_{x\to 2^-}(kx+1) = 2k+1$.
• Limite à droite et valeur : $\displaystyle \lim_{x\to 2^+}(x^2-k) = f(2) = 4-k$.
• Égaliser : $2k+1 = 4-k$, donc $3k=3$ et $k=1$.

Vérification : avec $k=1$, les deux branches donnent $3$ en $x=2$, donc les trois conditions du critère de continuité sont satisfaites.

La notion de limite s'étend aux limites infinies. Lorsqu'une fonction croît sans borne près de $x=c$, nous notons $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Cela décrit une asymptote verticale en $x=c$ : la courbe s'approche de la droite verticale $x=c$ tout en tendant vers $\pm\infty$.

Cela se produit lorsqu'un nombre non nul est divisé par quelque chose qui tend vers $0$, comme au niveau d'une racine du dénominateur qui ne s'annule pas. Vérifiez toujours chaque côté séparément – les deux côtés peuvent partir dans des directions opposées (l'un vers $+\infty$, l'autre vers $-\infty$).

Exemple résolu. Trouver $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1}$ et $\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1}$.

La substitution donne $\tfrac{3}{0}$ : un nombre non nul sur $0$, donc chaque limite latérale est infinie. Déterminer le signe de chaque côté :

• Pour $x$ juste en dessous de $1$ (essayez $x=0.99$) : numérateur $\approx 3$, dénominateur $=-0.01$, un petit nombre négatif. Donc $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1} = -\infty$.
• Pour $x$ juste au-dessus de $1$ (essayez $x=1.01$) : numérateur $\approx 3$, dénominateur $=+0.01$. Donc $\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1} = +\infty$.

La droite $x=1$ est une asymptote verticale, et la limite double n'existe pas.

Nous pouvons aussi faire croître l'entrée : les limites à l'infini décrivent le comportement final d'une fonction lorsque $x\to\pm\infty$. Si les sorties convergent vers une valeur finie $L$, alors $y=L$ est une asymptote horizontale.

Pour une fonction rationnelle, comparez les degrés du numérateur et du dénominateur :

• degré supérieur < degré inférieur $\Rightarrow$ la limite est $0$ (asymptote $y=0$);
• degré du numérateur = degré du dénominateur $\Rightarrow$ la limite est le rapport des coefficients dominants ;
• degré supérieur > degré inférieur $\Rightarrow$ la fonction est non bornée (pas d'asymptote horizontale).

Exemple résolu. Trouver $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-5x}{6x^2+1}$.

Les degrés sont égaux ($2$ et $2$), donc la limite est le rapport des coefficients dominants. Pour montrer pourquoi, divisez chaque terme par $x^2$ :

Ainsi, $y=\tfrac{1}{2}$ est une asymptote horizontale.

Plus généralement, nous comparons les magnitudes relatives (taux de croissance relatifs) des fonctions : loin à l'origine, une exponentielle l'emporte sur tout polynôme, et un polynôme l'emporte sur tout logarithme. À l'examen, « quand $t\to\infty$ tend vers l'infini, quelle grandeur est plus grande / où le taux se stabilise-t-il ? » s'explique par une limite en l'infini.

Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence – il garantit qu'une valeur existe sans indiquer où elle se trouve :

Si $f$ est continue sur l'intervalle fermé $[a,b]$, et $d$ est un nombre quelconque entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un nombre $c$ dans $(a,b)$ tel que $f(c)=d$.

Une courbe ininterrompue ne peut pas sauter une hauteur entre ses extrémités – elle doit passer par chacune d'elles.

Compétence d'examen – comment justifier avec le TVI. Ces questions apparaissent presque chaque année (par exemple, « Doit-il exister une valeur $c$ telle que $R(c)=155$ ? » ou « Y a-t-il un instant où $r'(t)=-6$ ? »). Une justification pleine note comporte trois étapes :

1. Énoncer la continuité. Dire que la fonction est continue sur $[a,b]$ (souvent parce qu'elle est dérivable ou donnée comme continue).
2. Montrer que $d$ est encadré. Calculer les valeurs aux deux extrémités et montrer que la cible $d$ se situe entre elles, par ex. $f(a) < d < f(b)$.
3. Conclure par nom. « Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une $c$ dans $(a,b)$ telle que $f(c)=d$. »

Omettre l'énoncé de continuité, ou ne pas montrer que $d$ est entre les extrémités, fait perdre les points – le théorème exige les deux conditions.

Exemple résolu. Montrer que $f(x)=x^3-x-1$ admet une racine entre $x=1$ et $x=2$.

1. $f$ est un polynôme, donc il est continu sur $[1,2]$.
2. $f(1)=1-1-1=-1$ et $f(2)=8-2-1=5$, donc $f(1) < 0 < f(2)$.
3. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une $c$ dans $(1,2)$ telle que $f(c)=0$.

Le théorème ne précise ni où se trouve $c$ ni combien de telles valeurs existent (ici $c\approx 1.32$, trouvé avec une calculatrice).

Erreurs courantes concernant le TVI.

• L'appliquer à une fonction qui n'est pas continue sur tout l'intervalle : $g(x)=\tfrac{1}{x}$ a $g(-1)=-1$ et $g(1)=1$, mais $g$ ne jamais $0$, car $g$ est discontinu en $x=0$.
• En le lisant à l'envers : une fonction $f$ continue peut atteindre une hauteur en dehors de $[f(a),f(b)]$ aussi, et peut atteindre $d$ plus d'une fois. Le théorème promet seulement au moins un $c$ pour chaque $d$ entre les valeurs aux extrémités.

• Une limite décrit ce que $f(x)$ s'approche, ce qui ne doit pas nécessairement être égal à $f(a)$ — la limite bilatérale n'existe que si les deux côtés coïncident.
• Essayez d'abord la substitution directe ; pour une forme $\tfrac00$, factorisez et simplifiez ou rationalisez avant de substituer.
• Une fonction est continue en $a$ lorsque la limite existe, $f(a)$ est défini, et qu'ils sont égaux.
• Utilisez le Théorème des Valeurs Intermédiaires pour garantir une racine : une fonction continue qui change de signe sur $[a,b]$ prend toutes les valeurs intermédiaires.
• Lire les asymptotes horizontales à partir du comportement aux bornes (limites en $\pm\infty$) et les asymptotes verticales aux zéros du dénominateur qui subsistent après simplification des facteurs communs ; vérifier les limites latérales.

Erreurs fréquentes.

• Dire qu’une limite n’existe pas parce que $f(a)$ n’est pas défini. Un trou dans la courbe n’empêche pas la limite d’exister.
• S’arrêter à $\tfrac00$ et écrire « $0$ » ou « non défini ». $\tfrac00$ indique qu’il faut factoriser, rationaliser ou simplifier ; ce n’est pas une réponse.
• Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires sans préciser que la fonction est continue sur l’intervalle fermé : à l’examen, la justification ne rapporte aucun point sans cette précision.
• Écrire $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$ puis considérer la limite comme un nombre. Une limite infinie décrit un comportement non borné (une asymptote verticale) ; la limite n’existe pas en tant que nombre réel.
• Chercher une asymptote horizontale en substituant un grand nombre au lieu de comparer les termes dominants.

Entraînement. Les questions 3 et 4 suivent le style de parties récentes à réponse libre (théorème des valeurs intermédiaires à partir d’un tableau ; théorème des gendarmes avec deux fonctions d’encadrement).

1. Calculez $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$.
2. Trouvez $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$.
3. Une fonction continue $f$ vérifie $f(1)=4$, $f(3)=-2$ et $f(5)=6$. Quel est le nombre minimal de solutions que $f(x)=0$ doit avoir sur $1\le x\le 5$ ? Justifiez votre réponse.
4. Pour tout $x$ proche de $1$, $2x+1 \le k(x) \le x^2+2$. Calculez $\displaystyle\lim_{x\to 1}k(x)$ et indiquez ce qu’il faut savoir d’autre pour conclure que $k$ est continue en $x=1$.
5. Soit $f(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-x-2}$. Déterminez toutes les asymptotes verticales, les asymptotes horizontales et les discontinuités éliminables.
6. Déterminez $k$ pour que la fonction définie par $f(x)=x^2+k$ pour $x<2$ et $f(x)=3x-1$ pour $x\ge 2$ soit continue en $x=2$.

Réponses.

1. Factorisez : $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ pour $x\ne3$, donc la limite est $6$.
2. $\dfrac{\sin 3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}\to 3\cdot 1 = 3$.
3. Au moins deux. $f$ est continue sur $[1,3]$ et $[3,5]$ ; $f(1)=4>0>-2=f(3)$ et $f(3)=-2<0<6=f(5)$, donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un zéro dans $(1,3)$ et un autre dans $(3,5)$.
4. Les deux bornes valent $3$ en $x=1$ (et $x^2+2-(2x+1)=(x-1)^2\ge0$), donc, d’après le théorème des gendarmes, $\lim_{x\to1}k(x)=3$. $k$ n’est continue en $1$ que si l’on a également $k(1)=3$.
5. $f(x)=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$. Discontinuité éliminable (trou) en $x=2$, où la limite vaut $\tfrac{2\cdot4}{3}=\tfrac83$ ; asymptote verticale $x=-1$ ; asymptote horizontale $y=2$ (rapport des coefficients dominants).
6. La limite à gauche $4+k$ doit être égale à $f(2)=5$, donc $k=1$.