Le calcul AP AB couvre les limites et la continuité, la différentiation et ses applications, l'intégration et l'accumulation de changement, les équations différentielles, ainsi que les applications de l'intégration incluant les aires et les volumes. Il correspond à peu près à un semestre de calcul universitaire.
L'examen porte autant sur le sens que sur la méthode. On vous demandera ce qu'une dérivée signifie en contexte — avec des unités — et de justifier un maximum ou un point d'inflexion par le signe de la dérivée, et non par simple inspection d'un graphique.
Le théorème fondamental du calcul est la colonne vertébrale du cours. Comprendre qu'il s'agit de « l'intégrale d'un taux donne le changement total » rend les questions d'accumulation lisibles.
Les notes traitent chaque unité dans l'ordre, avec les théorèmes énoncés tel que l'examen attend qu'ils soient cités. Les anciens FRQs (questions à développement) accompagnés des critères de notation sont dans la bibliothèque — les notes AP AB vont souvent à la justification écrite, c'est pourquoi les solutions expliquées détaillent le raisonnement au lieu de s'arrêter à la réponse finale.
Introduction au calcul différentiel : Le changement peut-il se produire à un instant précis ?
Programme
Compréhension fondamentale (CHA-1) : Le calcul différentiel nous permet de généraliser les connaissances sur le mouvement à divers problèmes impliquant le changement.
Objectif d'apprentissage CHA-1.A : Interpréter le taux de changement instantané en termes de taux de changement moyen sur des intervalles contenant cet instant.
CHA-1.A.1 Le calcul différentiel utilise les limites pour comprendre et modéliser le changement dynamique.
CHA-1.A.2 Puisque le taux de changement moyen divise le changement d'une variable par le changement d'une autre, le taux de changement moyen est indéfini à un point où le changement de la variable indépendante serait nul.
CHA-1.A.3 Le concept de limite nous permet de définir le taux de changement instantané en termes de taux de changement moyens.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Le calcul est la mathématique du changement 变化 et de l'accumulation 累积. Il répond à deux grandes questions : à quelle vitesse quelque chose change-t-il maintenant, et combien s'est accumulé jusqu'à présent ? L'Unité 1 construit l'outil unique sur lequel reposent ces deux questions : la limite 极限.
Commencez par une énigme. Le compteur de vitesse d'une voiture affiche $60$ km/h. Que cela signifie-t-il à un instant précis 瞬间 ? La vitesse est une distance divisée par un temps. Mais à un instant unique, aucun temps ne passe et aucune distance n'est parcourue, donc la fraction ressemble à $\tfrac{0}{0}$ – indéfinie.
Le taux de variation moyen 平均变化率 utilise un intervalle 区间 complet : le changement d'une quantité divisé par le changement d'une autre. Il divise par zéro, et est donc indéfini, lorsque le changement en entrée serait nul.
Le taux de variation instantané 瞬时变化率 est ce que nous cherchons en un point. C'est la valeur vers laquelle le taux de variation tend 趋近 lorsque l'intervalle se réduit vers une longueur nulle.
L'idée ingénieuse n'est pas de substituer zéro (indéfini), mais d'observer vers quoi tend le taux de variation moyen lorsque l'intervalle devient de plus en plus petit. Cette valeur vers laquelle on tend est une limite. Ainsi, le calcul nous permet de décrire le changement à un instant précis – comme la limite de taux moyens sur des intervalles de plus en plus courts. Cette seule idée alimente la dérivée 导数 (Unité 2) et, inversée, l'intégrale 积分 (Unité 6). Tout le reste de cette unité définit les limites avec soin et les calcule de manière fiable.
Explorer
Explorer le taux de changement à un instant
y = ax³ + bx² + cx + d
Glissez le point le long de la courbe. La droite tangente est la limite des taux moyens de plus en plus courts — sa pente est le taux de changement instantané$\frac{dy}{dx}$ à ce point.
instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/
瞬时变化率
shùn shí biàn huà lǜ
approaches/əˈprəʊtʃɪz/
趋近
qū jìn
derivative/dɪˈrɪvətɪv/
导数
dǎo shù
integral/ˈɪntɪɡrəl/
积分
jī fēn
arbitrarily/ˌɑːbɪˈtrerɪli/
任意地
rèn yì dì
sufficiently/səˈfɪʃəntli/
足够
zú gòu
behavior/bɪˈheɪvjə/
行为
xíng wéi
graphically/ˈɡræfɪkli/
用图象
yòng tú xiàng
numerically/njuːˈmerɪkli/
用数值
yòng shù zhí
analytically/ˌænəˈlɪtɪkli/
用解析式
yòng jiě xī shì
left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/
左极限
zuǒ jí xiàn
right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/
右极限
yòu jí xiàn
one-sided limits/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪts/
单侧极限
dān cè jí xiàn
open circle/ˈəʊpən ˈsɜːkl/
空心圆
kōng xīn yuán
1.2
Définir les limites et utiliser la notation des limites
Programme
Compréhension durable (LIM-1) : Le raisonnement basé sur des définitions, des théorèmes et des propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur les limites.
Objectif d'apprentissage LIM-1.A : Représenter analytiquement les limites en utilisant la notation correcte.
LIM-1.A.1 Étant donné une fonction $f$, la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $c$ est un nombre réel $R$ si $f(x)$ peut être rendu arbitrairement proche de $R$ en choisissant $x$ suffisamment proche de $c$ (mais sans être égal à $c$). Si la limite existe et est un nombre réel, la notation courante est $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
Énoncé d'exclusion : La définition epsilon-delta d'une limite n'est pas évaluée à l'examen AP Calculus AB ou BC. Cependant, les enseignants peuvent inclure ce sujet dans le cours s'ils disposent de temps.
Objectif d'apprentissage LIM-1.B : Interpréter les limites exprimées en notation analytique.
LIM-1.B.1 Une limite peut s'exprimer de multiples façons, y compris graphiquement, numériquement et analytiquement.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une courbe de pont lisse : les limites décrivent la valeur qu'atteint un graphique lorsque l'on fait zoomer
Étant donné une fonction $f$, la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $c$ est un nombre réel $R$ si $f(x)$ peut être rendu arbitrairement 任意地 proche de $R$ en prenant $x$suffisamment 足够 proche de $c$ – mais pas égal à$c$. Nous écrivons
$$\lim_{x \to c} f(x) = R$$
et le lisons : « la limite de $f(x)$, lorsque $x$ tend vers $c$, est égale à $R$. »
Les derniers mots sont au cœur d'une limite : ils décrivent le comportement 行为 de $f$près de$c$, et non la valeur en$c$. La fonction peut être indéfinie en $c$, ou définie mais égale à autre chose – la limite s'en moque.
Une limite peut être montrée de trois manières : graphiquement 用图象, numériquement 用数值 (un tableau), et analytiquement 用解析式 (algèbre). Apprendre à passer d'une représentation à l'autre est une compétence fondamentale.
(Note : la définition epsilon-delta d'une limite n'est pas testée à l'examen AP, c'est pourquoi ce document ne l'utilise pas.)
1.3
Estimer des valeurs de limites à partir de graphiques
Programme
Compréhension durable (LIM-1) : Le raisonnement basé sur des définitions, des théorèmes et des propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur les limites.
Objectif d'apprentissage LIM-1.C : Estimer les limites de fonctions.
LIM-1.C.1 Le concept de limite inclut les limites latérales.
LIM-1.C.2 Des informations graphiques sur une fonction peuvent être utilisées pour estimer ses limites.
LIM-1.C.3 En raison de problèmes d'échelle, les représentations graphiques de fonctions peuvent omettre un comportement important de la fonction.
LIM-1.C.4 Une limite peut ne pas exister pour certaines fonctions à des valeurs particulières de $x$. Certaines manières dont la limite pourrait ne pas exister sont si la fonction n'est pas bornée, si la fonction oscille près de cette valeur, ou si la limite par la gauche n'est pas égale à la limite par la droite.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Un graphique est souvent le moyen le plus rapide de lire une limite. Pour trouver $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, faites glisser votre doigt le long de la courbe vers $x = c$ depuis chaque côté et demandez-vous : quelle hauteur la courbe approche-t-elle ?
Tracez depuis la gauche (entrées inférieures à $c$) : cela donne la limite à gauche 左极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
Tracez depuis la droite (entrées supérieures à $c$) : cela donne la limite à droite 右极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
Ce sont les limites latérales 单侧极限. Si les deux tendent vers la même hauteur $R$, alors la limite bilatérale existe et $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.
Crucialement, ignorez le point lui-même. Les graphiques marquent la différence entre la limite et la valeur :
Un cercle ouvert 空心圆 marque une hauteur que la courbe approche mais n'atteint pas – un « trou » 空洞.
Un cercle fermé 实心圆 marque la valeur réelle $f(c)$.
Ainsi, une courbe peut approcher $R = 3$ des deux côtés (la limite est $3$) tandis qu'un point plein est situé à la hauteur $5$ (valeur $f(c) = 5$). La limite est $3$ ; elles ne doivent pas nécessairement correspondre.
Le cercle ouvert représente la hauteur que la courbe approche (la limite) ; le point plein représente la valeur réelle $f(2)$ – elles ne doivent pas nécessairement coïncider.
Une limite n'existe pas (souvent notée DNE) lorsque les deux côtés diffèrent (un saut 跳跃), lorsque la fonction est non bornée 无界 (croît sans limite), ou lorsqu'elle oscille 振荡 indéfiniment près de $c$. Par exemple :
Surveillez l'échelle 比例 d'un graphique : une vue éloignée peut masquer un comportement important près d'un point, confirmez donc avec l'algèbre si possible.
Explorer
Lire une limite sur le graphique
y = ax² + bx + c
La limite lorsque $x\to c$ est la hauteur vers laquelle la courbe tend des deux côtés — il s'agit de là où la fonction va, pas de sa valeur à $c$. Suivez la courbe vers un $x$ et lisez la $y$ qu'elle approche.
Estimer des valeurs de limites à partir de tableaux
Programme
Compréhension durable (LIM-1) : Le raisonnement basé sur des définitions, des théorèmes et des propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur les limites.
Objectif d'apprentissage LIM-1.C : Estimer les limites de fonctions.
LIM-1.C.5 Des informations numériques peuvent être utilisées pour estimer les limites.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Lorsque vous avez des données ou une formule mais pas d'image, un tableau 表格 de valeurs estime une limite numériquement. Choisissez des entrées qui se rapprochent de $c$ des deux côtés et observez les sorties.
Par exemple, pour estimer $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (qui est $\tfrac{0}{0}$ en $x=2$) :
$x$
$1.9$
$1.99$
$1.999$
$\to 2 \leftarrow$
$2.001$
$2.01$
$2.1$
$f(x)$
$3.9$
$3.99$
$3.999$
?
$4.001$
$4.01$
$4.1$
Les deux côtés marchent vers $4$, nous estimons donc que la limite est $4$. Un tableau ne fait que suggérer une valeur – c'est une estimation numérique, pas une preuve.
Déterminer des limites à l'aide des propriétés algébriques des limites
Programme
Compréhension durable (LIM-1) : Le raisonnement basé sur des définitions, des théorèmes et des propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur les limites.
Objectif d'apprentissage LIM-1.D : Déterminer les limites de fonctions à l'aide des théorèmes sur les limites.
LIM-1.D.1 Les limites latérales peuvent être déterminées analytiquement ou graphiquement.
LIM-1.D.2 Les limites de sommes, différences, produits, quotients et fonctions composées peuvent être trouvées en utilisant les théorèmes sur les limites.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La plupart des limites sont trouvées analytiquement à l'aide de théorèmes sur les limites 极限定理. Si $\lim_{x\to c} f(x)$ et $\lim_{x\to c} g(x)$ existent toutes deux, la limite d'une combinaison est la même combinaison des limites :
Produit :$\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
Quotient :$\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, à condition que la limite du dénominateur ne soit pas $0$.
Fonction composée 复合函数 : si $g$ est continue en $\lim_{x\to c} f(x)$, alors $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.
La règle pratique : pour une fonction construite à partir de polynômes, racines, etc., essayez d'abord la substitution directe 直接代入 – insérez $x = c$. Si vous obtenez un nombre réel, c'est la limite. Les limites latérales obéissent aux mêmes théorèmes, lues uniquement dans un sens.
1.6
Déterminer des limites à l'aide de manipulations algébriques
Programme
Compréhension durable (LIM-1) : Le raisonnement basé sur des définitions, des théorèmes et des propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur les limites.
Objectif d'apprentissage LIM-1.E : Déterminer les limites de fonctions en utilisant des expressions équivalentes pour la fonction ou le théorème des gendarmes.
LIM-1.E.1 Il peut être nécessaire ou utile de réarranger les expressions sous des formes équivalentes avant d'évaluer les limites.
Exemples illustratifs pour LIM-1.E.1 :
Factorisation et division des facteurs communs des fonctions rationnelles
Multiplication par une expression impliquant le conjugué d'une somme ou différence afin de simplifier les fonctions impliquant des radicaux
Utilisation des formes alternatives des fonctions trigonométriques
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La substitution directe donne parfois la forme indéterminée 未定式$\tfrac{0}{0}$. Cela ne signifie pas que la limite échoue – cela signifie que vous devez réécrire la fonction sous une forme équivalente 等价形式 qui élimine le problème, puis effectuer la substitution. Trois mouvements standards :
Factoriser et simplifier 因式分解并约分 une fonction rationnelle 有理函数. Exemple : $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
Multiplier par le conjugué 共轭 pour simplifier une racine 根式. Exemple : $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
Utiliser des formes alternatives de fonctions trigonométriques (identités) pour simplifier.
Le facteur annulé explique pourquoi le graphique original avait un trou : les deux fonctions coïncident partout sauf en $x=c$, elles partagent donc la même limite là.
1.7
Choisir des procédures pour déterminer des limites
Programme
Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence de sélectionner une procédure appropriée pour déterminer les limites. Les élèves doivent avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs à la détermination des limites.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
C'est une compétence, pas du nouveau contenu : choisissez le bon outil pour la limite devant vous.
Essayez d'abord la substitution directe. Une réponse réelle signifie que vous êtes fini.
Vous obtenez $\tfrac{0}{0}$ ? Réécrivez – factorisez et simplifiez, ou utilisez le conjugué, ou une identité trigonométrique – puis substituez.
Un nombre non nul sur $0$ (comme $\tfrac{5}{0}$) ? La limite est infinie ou DNE – vérifiez le signe de chaque côté (voir asymptotes verticales ci-dessous).
Lorsque $x\to\pm\infty$ ? Comparez les termes dominants (voir limites à l'infini).
Piégé entre deux fonctions ? Le théorème des gendarmes (squeeze theorem) peut s'appliquer.
Déterminer des limites à l'aide du théorème des gendarmes
Programme
Compréhension durable (LIM-1) : Le raisonnement basé sur des définitions, des théorèmes et des propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur les limites.
Objectif d'apprentissage LIM-1.E : Déterminer les limites de fonctions en utilisant des expressions équivalentes pour la fonction ou le théorème des gendarmes.
LIM-1.E.2 La limite d'une fonction peut être trouvée en utilisant le théorème des gendarmes.
Exemples illustratifs pour LIM-1.E.2 : Le théorème des gendarmes peut être utilisé pour montrer $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Le théorème des gendarmes 夹逼定理 (aussi appelé théorème de l'encadrement) trouve une limite en encadrant la fonction entre deux autres. Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ près de $c$, et
$$\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L,$$
alors $f$ est coincée vers le même endroit : $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.
Les deux résultats célèbres démontrés ainsi, tous deux utilisés tout au long du calcul différentiel et intégral, sont :
La courbe $f$ est encadrée entre $g$ et $h$. Puisque les deux bornes convergent vers $L$, $f$ n'a pas d'autre choix que de tendre vers $L$.
1.9
Relier les multiples représentations des limites
Programme
Ce sujet vise à se concentrer sur la connexion des représentations. Les élèves doivent avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs aux limites et traduire des informations mathématiques à partir d'une seule représentation ou à travers plusieurs représentations.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une autre compétence fondamentale : une même limite existe sous forme graphique, tabulaire et algébrique, et vous devez être capable de passer d'une représentation à l'autre. Un graphique montre la forme ainsi que les trous ou sauts ; un tableau fournit des preuves numériques ; l'algèbre donne une valeur exacte et une justification. Les bonnes réponses utilisent une représentation pour confirmer une autre.
1.10
Explorer les types de discontinuités
Programme
Compréhension fondamentale (LIM-2) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur la continuité.
Objectif d'apprentissage LIM-2.A : Justifier des conclusions sur la continuité en un point à l'aide de la définition.
LIM-2.A.1 Les types de discontinuités incluent les discontinuités supprimables, les discontinuités de saut et les discontinuités dues aux asymptotes verticales.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une fonction est discontinue 间断 en $c$ lorsque son graphique « se brise » à cet endroit. Il existe trois types :
Discontinuité amovible 可去间断 – un seul trou. La limite bilatérale existe, mais le point est absent ou mal placé.
Discontinuité de saut 跳跃间断 – les deux limites unilatérales existent mais diffèrent, donc la courbe effectue un saut.
Discontinuité infinie 无穷间断 – la fonction explose vers $\pm\infty$ sur une asymptote verticale 垂直渐近线.
Trois façons dont un graphique peut se briser : un trou amovible, un saut et une discontinuité infinie (asymptote).
1.11
Définir la continuité en un point
Programme
Compréhension fondamentale (LIM-2) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur la continuité.
Objectif d'apprentissage LIM-2.A : Justifier des conclusions sur la continuité en un point à l'aide de la définition.
LIM-2.A.2 Une fonction $f$ est continue en $x = c$ si et seulement si $f(c)$ existe, $\lim_{x \to c} f(x)$ existe et $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La continuité est définie par un test en trois parties. Une fonction $f$ est continue 连续 en $x=c$ si et seulement si les trois conditions suivantes sont réunies :
En termes simples : le point existe, la limite existe, et les deux coïncident. Si l'une quelconque échoue, $f$ est discontinue en $c$. Ce test constitue la colonne vertébrale de presque toutes les questions sur la continuité, apprenez-le comme une liste de vérification.
1.12
Confirmer la continuité sur un intervalle
Programme
Compréhension fondamentale (LIM-2) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur la continuité.
Objectif d'apprentissage LIM-2.B : Déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est continue.
LIM-2.B.1 Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.
LIM-2.B.2 Les fonctions polynomiales, rationnelles, puissance, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques sont continues en tous points de leur domaine.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une fonction est continue sur un intervalle 在区间上 continue si elle est continue en chaque point de cet intervalle. Vous ne vérifiez rarement point par point, car de grandes familles de fonctions sont continues sur leur domaine de définition :
Les polynômes, rationnels, puissances, exponentielles 指数, logarithmes 对数 et fonctions trigonométriques 三角 sont continues en chaque point de leur domaine.
Ainsi, une fonction rationnelle est continue partout sauf là où son dénominateur s'annule ; $\ln x$ est continue pour $x>0$ ; etc. Connaître cela permet de déclarer la continuité rapidement et correctement.
1.13
Supprimer les discontinuités
Programme
Compréhension fondamentale (LIM-2) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur la continuité.
Objectif d'apprentissage LIM-2.C : Déterminer les valeurs de $x$ ou résoudre pour les paramètres qui rendent les fonctions discontinues continues, si possible.
LIM-2.C.1 Si la limite d'une fonction existe à une discontinuité de son graphe, il est possible de supprimer cette discontinuité en définissant ou redéfinissant la valeur de la fonction à ce point, afin qu'elle égale la valeur de la limite de la fonction lorsque $x$ approche de ce point.
LIM-2.C.2 Afin qu'une fonction définie par morceaux soit continue à une frontière de la partition de son domaine, la valeur de l'expression définissant la fonction d'un côté de la frontière doit être égale à la valeur de l'expression définissant l'autre côté de la frontière, ainsi qu'à la valeur de la fonction à la frontière.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Si la limite existe en un trou, la discontinuité est amovible : redéfinissez la fonction en ce point unique pour qu'elle soit égale à la limite, et le graphique sera réparé. Formellement, attribuez la valeur manquante à $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.
Pour une fonction définie par morceaux 分段函数, la continuité à une frontière $x=c$ exige que les deux morceaux se rencontrent : la valeur du morceau gauche, la valeur du morceau droit et $f(c)$ doivent tous être égaux. C'est un type courant d'examen – vous résolvez pour un paramètre 参数 (une constante inconnue) qui fait correspondre les morceaux :
Relier les limites infinies et les asymptotes verticales
Programme
Compréhension fondamentale (LIM-2) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur la continuité.
Objectif d'apprentissage LIM-2.D : Interpréter le comportement des fonctions à l'aide de limites impliquant l'infini.
LIM-2.D.1 Le concept de limite peut être étendu pour inclure les limites infinies.
LIM-2.D.2 Le comportement asymptotique et non borné des fonctions peut être décrit et expliqué à l'aide de limites.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
L'idée de limite s'étend aux limites infinies 无穷极限. Lorsqu'une fonction croît sans borne près de $x=c$, nous notons $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Cela décrit une asymptote verticale en $x=c$ : le graphique longe la droite verticale $x=c$ et part vers $\pm\infty$.
Cela se produit lorsqu'un nombre non nul est divisé par quelque chose qui tend vers $0$, comme au niveau d'une racine du dénominateur qui ne s'annule pas. Vérifiez toujours chaque côté séparément – les deux côtés peuvent partir dans des directions opposées (l'un vers $+\infty$, l'autre vers $-\infty$).
Près d'une asymptote verticale, le graphique longe la droite $x=c$. Ici, le côté gauche descend vers $-\infty$ et le côté droit monte vers $+\infty$, donc la limite bilatérale n'existe pas.
Explorer
Explorer les limites infinies et les asymptotes verticales
y = a/(x − b) + c
Avec $y=\dfrac{a}{x-b}+c$, observez la courbe exploser vers $\pm\infty$ près de $x=b$. L'asymptote verticale est la ligne $x=b$ où réside la limite infinie — les deux côtés peuvent aller dans des directions opposées.
Relier les limites à l'infini et les asymptotes horizontales
Programme
Compréhension fondamentale (LIM-2) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés peut être utilisé pour justifier des affirmations sur la continuité.
Objectif d'apprentissage LIM-2.D : Interpréter le comportement des fonctions à l'aide de limites impliquant l'infini.
LIM-2.D.3 Le concept de limite peut être étendu pour inclure les limites à l'infini.
LIM-2.D.4 Les limites à l'infini décrivent le comportement aux extrémités.
LIM-2.D.5 Les grandeurs relatives des fonctions et leurs taux de variation peuvent être comparés à l'aide de limites.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Nous pouvons aussi laisser l'entrée croître : les limites à l'infini 无穷远处的 limites décrivent le comportement terminal 末端行为 d'une fonction lorsque $x\to\pm\infty$. Si les sorties se stabilisent vers une valeur finie $L$, alors $y=L$ est une asymptote horizontale 水平渐近线.
Lorsque $x\to+\infty$, la courbe s'aplatit vers la droite $y=L$. L'asymptote horizontale enregistre ce comportement terminal.
Pour une fonction rationnelle, comparez les degrés 次数 du numérateur et du dénominateur :
degré supérieur < degré inférieur $\Rightarrow$ la limite est $0$ (asymptote $y=0$);
degré supérieur = degré inférieur $\Rightarrow$ la limite est le rapport des coefficients dominants 首项系数之比;
degré supérieur > degré inférieur $\Rightarrow$ la fonction est non bornée (pas d'asymptote horizontale).
De manière plus générale, nous comparons les magnitudes relatives 相对大小 (taux de croissance relatifs) des fonctions : loin de l'origine, une exponentielle l'emporte sur n'importe quel polynôme, et un polynôme l'emporte sur n'importe quel logarithme. Aux examens, « lorsque $t\to\infty$, quelle quantité est plus grande / où le taux se stabilise ? » se répond avec une limite à l'infini.
Explorer
Explorer les limites à l'infini et les asymptotes horizontales
y = a/(x − b) + c
Suivez la courbe loin vers la droite et la gauche. Lorsque $x\to\pm\infty$, les sorties se stabilisent vers $c$, de sorte que $y=c$ est une asymptote horizontale — la valeur finie de la limite à l'infini.
ratio of the leading coefficients/ˈreɪʃɪəʊ ɒvðə ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənts/
首项系数之比
shǒu xiàng xì shù zhī bǐ
relative magnitudes/ˈrelətɪv ˈmæɡnɪtjuːdz/
相对大小
xiāng duì dà xiǎo
Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/
介值定理
jiè zhí dìng lǐ
existence theorem/eɡˈzɪstəns ˈθɪərəm/
存在性定理
cún zài xìng dìng lǐ
1.16
Utiliser le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
Programme
Compréhension durable (FUN-1) : Les théorèmes d'existence nous permettent de tirer des conclusions sur le comportement d'une fonction sur un intervalle sans localiser précisément ce comportement.
Objectif d'apprentissage FUN-1.A : Expliquer le comportement d'une fonction sur un intervalle à l'aide du Théorème des Valeurs Intermédiaires.
FUN-1.A.1 Oui $f$ est une fonction continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$ et si $d$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors le Théorème des Valeurs Intermédiaires garantit qu'il existe au moins un nombre $c$ entre $a$ et $b$, tel que $f(c) = d$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Le Théorème des Valeurs Intermédiaires 介值定理 est un théorème d'existence 存在性定理 – il garantit l'existence d'une valeur sans indiquer où celle-ci se trouve :
Signes opposés de f(a) et f(b) piégent une racine entre a et b
Oui $f$ est continue sur l'intervalle fermé $[a,b]$, et $d$ est un nombre quelconque entre$f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un nombre $c$ dans $(a,b)$ tel que $f(c)=d$.
Une courbe ininterrompue ne peut pas sauter une hauteur entre ses extrémités – elle doit passer par chacune d'elles.
Une courbe continue de $(a,f(a))$ à $(b,f(b))$ doit traverser chaque hauteur $d$ intermédiaire au moins une fois.
Compétence d'examen – comment justifier avec le TVI. Ces questions apparaissent presque chaque année (par exemple, « Doit-il exister une valeur $c$ telle que $R(c)=155$ ? » ou « Y a-t-il un moment où $r'(t)=-6$ ? »). Une justification pleine note nécessite trois étapes :
Énoncer la continuité. Dire que la fonction est continue sur $[a,b]$ (souvent parce qu'elle est dérivable ou donnée comme continue).
Montrer que $d$ est encadré. Calculer les valeurs aux deux extrémités et montrer que la cible $d$ se situe entre elles, par ex. $f(a) < d < f(b)$.
Conclure par nom. « Par le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe un $c$ dans $(a,b)$ tel que $f(c)=d$. »
Omettre l'énoncé de continuité, ou ne pas montrer que $d$ est entre les extrémités, fait perdre les points – le théorème exige les deux conditions.
Exemple résolu. Évaluer $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$. La substitution directe donne $\tfrac{0}{0}$ (forme indéterminée), donc factoriser : $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ pour $x\ne 3$. Ensuite, $\lim_{x\to 3}(x+3)=6$. Le graphique présente une discontinuité amovible (un trou) en $x=3$ — la limite existe bien que la fonction y soit non définie.
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Pourquoi une courbe continue ne peut pas sauter une valeur
y = ax³ + bx² + cx + d
Le Théorème des valeurs intermédiaires : une fonction continue sur $[a,b]$ prend toute $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$ à un certain point à l'intérieur. Une courbe ininterrompue ne peut pas sauter une hauteur — elle doit la traverser.
1.16
Conseils d'examen
Une limite décrit ce que $f(x)$s'approche, ce qui ne doit pas nécessairement être égal à $f(a)$ — la limite bilatérale n'existe que si les deux côtés coïncident.
Essayez d'abord la substitution directe ; pour une forme $\tfrac00$, factorisez et simplifiez ou rationalisez avant de substituer.
Une fonction est continue en $a$ lorsque la limite existe, $f(a)$ est défini, et qu'ils sont égaux.
Utilisez le Théorème des Valeurs Intermédiaires pour garantir une racine : une fonction continue qui change de signe sur $[a,b]$ prend toutes les valeurs intermédiaires.
Lisez les asymptotes horizontales à partir du comportement terminal (limites en $\pm\infty$) et les asymptotes verticales là où le dénominateur (et non le numérateur) s'annule.
2
Dérivation : Définition et propriétés fondamentales
Compréhension durable (CHA-2) : Les dérivées nous permettent de déterminer les taux de variation à un instant en appliquant des limites aux connaissances sur les taux de variation sur des intervalles.
Objectif d'apprentissage CHA-2.A : Déterminer les taux de variation moyens à l'aide de quotients de différence.
CHA-2.A.1 Les quotients de différence $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ expriment le taux de variation moyen d'une fonction sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-2.B : Représenter la dérivée d'une fonction comme la limite d'un quotient de différence.
CHA-2.B.1 Le taux de variation instantané d'une fonction à $x=a$ peut s'exprimer par $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ou $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, à condition que la limite existe. Ce sont des formes équivalentes de la définition de la dérivée et sont notées $f'(a)$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Un montagnes russes sur une côte ascendante : la dérivée mesure le taux de variation instantané de position
*La dérivée par définition
L'Unité 1 a posé les bases de la limite. L'Unité 2 l'utilise pour définir la dérivée 导数 – le taux de variation exact en un point.
Le taux de variation instantané est la pente de la tangente en un point
Sur un intervalle, le taux de variation moyen est un taux de variation moyenné 差商. Deux formes équivalentes apparaissent :
La première utilise un pas de taille $h$ à partir de $a$ ; la seconde utilise deux points $x$ et $a$. Toutes deux calculent $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ sur l'intervalle.
Le taux de variation instantané 瞬时 en $x=a$ est ce vers quoi tend le taux de variation moyenné lorsque l'intervalle se réduit vers zéro. Cette limite est la dérivée en $a$, notée $f'(a)$ :
Glissez le point : la sécante passant par deux points proches penche vers la tangente à mesure qu'ils fusionnent. La pente de la tangente est la dérivée — le taux de changement instantané.
Compréhension durable (CHA-2) : Les dérivées nous permettent de déterminer les taux de variation à un instant en appliquant des limites aux connaissances sur les taux de variation sur des intervalles.
Objectif d'apprentissage CHA-2.B : Représenter la dérivée d'une fonction comme la limite d'un quotient de différence.
CHA-2.B.2 La dérivée de $f$ est la fonction dont la valeur à $x$ est $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, à condition que cette limite existe.
CHA-2.B.3 Pour $y=f(x)$, les notations pour la dérivée incluent $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ et $y'$.
CHA-2.B.4 La dérivée peut être représentée graphiquement, numériquement, analytiquement et verbalement.
Objectif d'apprentissage CHA-2.C : Déterminer l'équation d'une ligne tangente à une courbe à un point donné.
CHA-2.C.1 La dérivée d'une fonction à un point est la pente de la ligne tangente à un graphe de la fonction à ce point.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Laissez le point $a$ varier et la dérivée devient une nouvelle fonction :
$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
C'est la définition de la dérivée (parfois appelée dériver « par définition » 用定义求导). Sa valeur en chaque $x$ est le taux de variation instantané à cet endroit.
Les notations 记号 courantes pour la dérivée de $y=f(x)$ sont :
$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$
La dérivée peut être représentée graphiquement, numériquement, analytiquement et verbalement – soyez prêt à passer d'une représentation à l'autre.
Sens géométrique. La dérivée en un point est la pente 斜率 de la tangente 切ine à la courbe en cet endroit. Ainsi, la tangente en $x=a$ passe par $\big(a, f(a)\big)$ avec une pente $f'(a)$ :
$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$
Écrire cette équation est une tâche classique d'examen, gardez la forme point-pente prête.
Lorsque $Q$ glisse vers $P$, la pente de chaque sécante (un taux moyen) approche la pente de la tangente – la dérivée $f'(a)$.
Compréhension durable (CHA-2) : Les dérivées nous permettent de déterminer les taux de variation à un instant en appliquant des limites aux connaissances sur les taux de variation sur des intervalles.
Objectif d'apprentissage CHA-2.D : Estimer les dérivées.
CHA-2.D.1 La dérivée à un point peut être estimée à partir d'informations données dans des tableaux ou des graphes.
CHA-2.D.2 La technologie peut être utilisée pour calculer ou estimer la valeur d'une dérivée d'une fonction à un point.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Vous n'avez pas toujours de formule. Lorsqu'une fonction est donnée par un tableau 表格 ou un graphique, estimez la dérivée $f'(a)$ avec un taux de variation moyenné sur un petit intervalle autour de $a$. Un tableau avec des valeurs de part et d'autre de $a$ donne la meilleure estimation :
$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$
La technologie (une calculatrice) peut également estimer une dérivée en un point.
Compétence d'examen (apparaît presque chaque année). Des questions telles que « Approximer $M'(7.5)$ en utilisant le taux de changement moyen de $M$ sur l'intervalle $5 \le t \le 10$ » demandent exactement ce quotient différentiel. Présentez la configuration :
$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$
La note complète nécessite les nombres insérés et les unités correctes 单位 (unités de sortie par unité d'entrée), car elles proviennent de modèles du monde réel.
Compréhension durable (FUN-2) : Reconnaître que la dérivée d'une fonction peut aussi être une fonction nous permet de développer des connaissances sur les comportements liés des deux.
Objectif d'apprentissage FUN-2.A : Expliquer la relation entre la dérivabilité et la continuité.
FUN-2.A.1 Si une fonction est dérivable à un point, alors elle est continue à ce point. En particulier, si un point n'est pas dans le domaine de $f$, alors il n'est pas dans le domaine de $f'$.
FUN-2.A.2 Une fonction continue peut ne pas être dérivable à un point de son domaine.
Exemples illustratifs pour FUN-2.A.2 :
Les limites gauche et droite du quotient de différence ne sont pas égales, comme dans $f(x)=|x|$ à $x=0$.
La tangente est verticale et n'a pas de pente, comme dans $f(x)=\sqrt[3]{x}$ à $x=0$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La différentiabilité est plus forte que la continuité. La relation clé :
Oui $f$ est différentiable 可导 en un point, alors $f$ est continue 连续 en ce point.
Donc la différentiabilité implique la continuité. L'inverse est faux : une fonction continue peut ne pas être différentiable. Deux façons dont cela se produit :
Un coin 尖点 : les limites du quotient de différence gauche et droite divergent, comme avec $f(x)=|x|$ en $x=0$.
Une tangente verticale : la pente est infinie (aucun nombre réel), comme avec $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$.
Deux façons dont une fonction continue n'est pas différentiable : un coin et une tangente verticale
Aussi, un point en dehors du domaine de $f$ ne peut pas être dans le domaine de $f'$. Utilisez la contraposée à l'examen : si $f$ n'est pas continue en $a$, alors $f$ n'est pas différentiable en $a$.
2.5
La règle de puissance
Programme
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.A : Calculer les dérivées de fonctions familières.
FUN-3.A.1 L'application directe de la définition de la dérivée et de règles spécifiques peut être utilisée pour calculer la dérivée pour des fonctions de la forme $f(x)=x^{r}$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
À partir d'ici, nous utilisons des règles au lieu de la définition par limite à chaque fois. La règle de puissance 幂法则 s'applique à toute puissance de $x$ :
$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$
Elle fonctionne pour les puissances entières, les puissances négatives ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) et les racines ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – réécrivez comme une puissance d'abord, puis appliquez la règle.
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Une fonction puissance et sa pente qui s'alourdit
y = ax³ + bx² + cx + d
La règle de puissance$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ abaisse l'exposant comme facteur. Pour $x^3$, la pente augmente rapidement lorsque $x$ sort de 0 — la courbe s'alourdit.
2.6
Règles de constante, somme, différence et multiple constant
Programme
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.A : Calculer les dérivées de fonctions familières.
FUN-3.A.2 Les sommes, différences et multiples constants de fonctions peuvent être dérivés en utilisant des règles de dérivation.
FUN-3.A.3 La règle de la puissance combinée avec les propriétés de somme, différence et multiple constant peut être utilisée pour trouver les dérivées pour des fonctions polynomiales.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Ces règles vous permettent de dériver terme par terme :
Constante :$\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (une constante ne change pas).
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.A : Calculer les dérivées de fonctions familières.
FUN-3.A.4 Des règles spécifiques peuvent être utilisées pour trouver les dérivées des fonctions sinus, cosinus, exponentielle et logarithmique.
Compris essential (LIM-3) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés permet de déterminer une limite.
Objectif d'apprentissage LIM-3.A : Interpréter une limite comme une définition de la dérivée.
LIM-3.A.1 Dans certains cas, reconnaître une expression correspondant à la définition de la dérivée d'une fonction dont on connaît la dérivée offre une stratégie pour déterminer une limite.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Apprenez ces quatre dérivées fondamentales par cœur :
$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$
$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$
Notez le signe moins sur la dérivée du cosinus, et que $e^{x}$ est sa propre dérivée.
Une limite qui est vraiment une dérivée (LIM-3.A.1). Parfois, une limite cache la définition d'une dérivée connue. Si vous reconnaissez
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
pour une fonction $f$ dont vous connaissez la dérivée, évaluez simplement $f'(a)$. Par exemple, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.
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La forme de sin x (dont la pente est cos x)
y = asin(bx + c) + d
La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$ : la pente de la courbe sinus est maximale lorsque le sinus croise zéro et nulle à ses sommets. Observez la courbe pour sentir où sa pente est raide ou plate.
2.8
La règle du produit
Programme
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.B : Calculer les dérivées de produits et de quotients de fonctions dérivables.
FUN-3.B.1 Les dérivées de produits de fonctions dérivable s'obtiennent en utilisant la règle du produit.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La règle du produit sous forme de rectangle en croissance
Le produit de deux fonctions n'est pas dérivé en multipliant les dérivées. Utilisez la règle du produit 乘积法则 :
$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$
"Dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second." Exemple :
Les questions d'examen construisent souvent une nouvelle fonction à partir de pièces données, par ex. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, et vous demandent de combiner les règles tout en lisant des valeurs dans un tableau.
"Bas fois la dérivée du haut, moins haut fois la dérivée du bas, le tout divisé par le bas au carré." L'ordre compte à cause du signe moins, écrivez donc soigneusement le numérateur. Exemple :
$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$
2.10
Dérivées de tan x, cot x, sec x et csc x
Programme
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.B : Calculer les dérivées de produits et de quotients de fonctions dérivables.
FUN-3.B.3 Réarranger les fonctions tangente, cotangente, sécante et cosécante à l'aide d'identités permet la différentiation en utilisant des règles de dérivation.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La règle du quotient : dériver une fraction
Les autres dérivées trigonométriques ne sont pas mémorisées séparément – on les réécrit avec des identités 恒等式 et on applique la règle du quotient (ou du produit). Par exemple, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, donc la règle du quotient donne
$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$
La même méthode (écrire $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) donne $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ et $-\csc x\cot x$.
Dérivées d'ordre supérieur. Dériver $f'$ à nouveau donne la dérivée seconde 二阶导数$f''(x)$ (ou $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – le taux de variation du taux de variation. Une partie d'examen comme "Trouver $k''(3)$" signifie simplement dériver deux fois, puis substituer. Vous pouvez aussi estimer une dérivée seconde à partir d'un tableau en appliquant la méthode du taux de variation moyen aux valeurs de $f'$.
Exemple résolu. Dériver $f(x)=x^2\sin x$ avec la règle du produit$(uv)'=u'v+uv'$ : prendre $u=x^2$ ($u'=2x$) et $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), donnant $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Lisez toujours d'abord la structure – un produit nécessite la règle du produit, pas la règle de puissance appliquée séparément à chaque facteur.
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.C : Calculer les dérivées de compositions de fonctions dérivable.
FUN-3.C.1 La règle de la chaîne fournit un moyen de dériver des fonctions composées.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La règle de composition
L'unité 2 a dérivé des fonctions simples. L'unité 3 dérive des fonctions construites à l'intérieur d'autres fonctions. La règle de composition 链式法则 dérive une fonction composée 复合函数$f\big(g(x)\big)$ :
"Dérivée de la fonction externe (en laissant l'interne tel quel), fois la dérivée de l'interne." La dérivée interne $g'(x)$ est la pièce que les étudiants oublient le plus, alors posez toujours "qu'est-ce qui est à l'intérieur, et quelle est sa dérivée ?" Exemple :
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
En notation de Leibniz, avec $y=f(u)$ et $u=g(x)$, la règle s'écrit $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – l'intermédiaire $du$ semble "s'annuler." Les questions d'examen donnent souvent un tableau pour $f$, $g$, $f'$, $g'$ et demandent $h'(a)$ où $h(x)=f\big(g(x)\big)$ ; évaluez $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ en lisant des valeurs.
Exemple résolu. Dériver $h(x)=(2x^2+1)^5$. La fonction externe est "(quelque chose)$^5$", l'interne est $2x^2+1$ :
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.D : Calculer les dérivées de fonctions définies implicitement.
FUN-3.D.1 La règle de la chaîne est à la base de la dérivation implicite.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Certaines courbes sont définies implicitemement – par une équation en $x$ et $y$ qui n'est pas résolue pour $y$, telle que $x^2+y^2=25$. La différentiation implicite 隐函数求导 trouve $\dfrac{dy}{dx}$ sans résoudre pour $y$ d'abord. C'est simplement la règle de composition, traitant $y$ comme une fonction de $x$.
La méthode : dériver les deux côtés par rapport à $x$ ; chaque fois que vous dérivez un terme $y$, multipliez par $\dfrac{dy}{dx}$ (la règle de composition) ; puis résolvez algébriquement pour $\dfrac{dy}{dx}$. Pour $x^2+y^2=25$ :
Exemple résolu. Trouver la tangente au cercle $x^2+y^2=25$ au point $(3,4)$. D'après ci-dessus $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ là-bas, donc la tangente est
$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$
Remarquez que la tangente est perpendiculaire au rayon, comme la géométrie le promet – un bon contrôle de cohérence.
La différentiation implicite donne la tangente à un cercle, perpendiculaire au rayon
Compétence d'examen – "Montrer que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Cette consigne exacte apparaît chaque année (par ex. "Montrer que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Puisque la cible est donnée, vous devez montrer chaque étape algébrique proprement : dériver les deux côtés, utiliser les règles du produit/composition sur les termes mixtes $xy$, rassembler tous les termes $\dfrac{dy}{dx}$ d'un côté, factoriser, et diviser. Une ligne finale correcte qui saute l'algèbre rapporte peu de points. Les parties suivantes demandent ensuite une tangente, ou où la tangente est horizontale ($\tfrac{dy}{dx}=0$, donc le numérateur est $0$) ou verticale (le dénominateur est $0$).
3.3
Dérivation des fonctions inverses
Programme
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.E : Calculer les dérivées des fonctions réciproques et trigonométriques réciproques.
FUN-3.E.1 La règle de la chaîne et la définition d'une fonction réciproque peuvent être utilisées pour trouver la dérivée d'une fonction réciproque, à condition que cette dérivée existe.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Oui $g$ est la fonction inverse 反函数 de $f$ (donc $f(g(x))=x$), la règle de composition lie leurs dérivées :
En mots : la dérivée de l'inverse en un point est le reciproque 倒数 de la dérivée de la fonction originale au point correspondant. Un dispositif d'examen courant donne un tableau et un point $(a,b)$ sur $f$ (donc $(b,a)$ est sur $g$), puis demande $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
La fonction inverse est l'image miroir de la fonction dans la droite y = x
Exercice résolu. Supposons $f(2)=5$ et $f'(2)=3$, et que $g$ est l'inverse de $f$. Parce que $(2,5)$ se trouve sur $f$, le point $(5,2)$ se trouve sur $g$, et
$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$
Les graphiques de $f$ et $g$ sont images miroirs l'un de l'autre par rapport à $y=x$, donc leurs pentes aux points correspondants sont réciproques.
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Une exponentielle et son inverse, le logarithme
y = a·e^(bx) + c
Les fonctions inverses sont des images miroir à travers $y=x$, et leurs pentes sont réciproques : $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Là où l'une est raide, son inverse est peu raide.
3.4
Dérivation des fonctions trigonométriques inverses
Programme
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.E : Calculer les dérivées des fonctions réciproques et trigonométriques réciproques.
FUN-3.E.2 L'application de la règle de la chaîne avec la définition d'une fonction réciproque, ou la formule de la dérivée d'une fonction réciproque, permet de trouver les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La même idée donne les dérivées des fonctions trigonométriques inverses 反三角函数. Les trois que vous devriez connaître :
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Combinez-les avec la règle de composition lorsque l'argument est lui-même une fonction, par ex. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
3.5
Sélection des procédures pour calculer des dérivées
Programme
Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence consistant à sélectionner une procédure appropriée pour calculer des dérivées. Les élèves doivent avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs au calcul des dérivées.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Un sujet de compétence : les vraies dérivées mélangent plusieurs règles, lisez donc la structure de l'expression d'abord, de l'extérieur vers l'intérieur.
Est-ce une somme ? Dérivez terme par terme.
Un produit ou un quotient ? Appliquez cette règle, et attendez à utiliser la règle de composition à l'intérieur.
Une composition (quelque chose à l'intérieur de quelque chose) ? Règle de composition.
Nommez l'opération la plus externe, appliquez sa règle, et récurez vers l'intérieur. La propreté évite les erreurs de signe et de tenue de registre qui coûtent des points.
3.6
Calculer des dérivées d'ordre supérieur
Programme
Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.
Objectif d'apprentissage FUN-3.F : Déterminer les dérivées d'ordre supérieur d'une fonction.
FUN-3.F.1 La dérivation de $f'$ produit la dérivée seconde $f''$, à condition que la dérivée de $f'$ existe ; répéter ce processus produit des dérivées d'ordre supérieur de $f$.
FUN-3.F.2 Les dérivées d'ordre supérieur sont représentées par diverses notations. Pour $y = f(x)$, les notations de la dérivée seconde incluent $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ et $y''$. Les dérivées d'ordre supérieur peuvent être désignées $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ ou $f^{(n)}(x)$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Dériver $f'$ produit la dérivée seconde 二阶导数$f''$ ; répéter donne des dérivées d'ordre supérieur. Les notations :
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
La dérivée seconde mesure comment la pente change ; elle guide la convexité/concavité 凹凸性 et l'accélération dans les unités ultérieures. Pour trouver $f''$ implicitement, dériver l'expression pour $\dfrac{dy}{dx}$ à nouveau (avec les règles du quotient et de composition), puis substituer $\dfrac{dy}{dx}$ à nouveau.
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Pente de la pente : la dérivée seconde
y = ax³ + bx² + cx + d
Différencier à nouveau donne la dérivée seconde — le taux auquel la pente change. Là où la pente de la tangente augmente elle-même, la courbe se courbe vers le haut (concave vers le haut).
3.6
Conseils d'examen
Utilisez la règle de composition pour les fonctions composées – dériver l'extérieur, puis multiplier par la dérivée de l'intérieur (le facteur le plus oublié).
Pour la différentiation implicite, dériver les deux côtés par rapport à $x$ et attacher $\tfrac{dy}{dx}$ chaque fois que $y$ est dérivé, puis résoudre.
Obtenir la dérivée seconde en dérivant deux fois (vitesse → accélération).
Combiner les règles avec précaution dans les expressions imbriquées (chaîne à l'intérieur d'un produit, etc.).
Le graphe de la fonction réciproque est la réflexion par rapport à $y=x$ ; sa pente est le reciprocal de celle de la fonction originale au point correspondant.
Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.
Objectif d'apprentissage CHA-3.A : Interpréter la signification d'une dérivée dans un contexte.
CHA-3.A.1 La dérivée d'une fonction peut être interprétée comme le taux de variation instantané par rapport à sa variable indépendante.
CHA-3.A.2 La dérivée peut être utilisée pour exprimer des informations sur les taux de variation dans des contextes appliqués.
CHA-3.A.3 L'unité de mesure de $f'(x)$ est l'unité de mesure de $f$ divisée par l'unité de mesure de $x$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une fois que vous savez calculer des dérivées, vous les utilisez pour décrire le monde réel. La dérivée $f'(x)$est le taux de changement instantané de $f$ par rapport à son entrée. Lire et rapporter ce taux correctement est une compétence évaluée.
Les unités comptent. L'unité de $f'(x)$ est l'unité de $f$ divisée par l'unité de $x$. Si $C(t)$ est un nombre d'acres et $t$ est en semaines, alors $C'(t)$ est en acres par semaine. À l'examen, « En utilisant des unités correctes, interprétez la signification de $g'(140)$ » demande une phrase complète : la valeur, la quantité, le mot de taux « par », et le moment. Par exemple : « $g'(140)=2.3$ signifie qu'à $x=140$, la quantité augmente d'environ $2.3$ unités par unité de $x$. »
4.2
Mouvement Rectiligne : Position, Vitesse et Accélération
Programme
Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.
Objectif d'apprentissage CHA-3.B : Calculer des taux de variation dans des contextes appliqués.
CHA-3.B.1 La dérivée peut être utilisée pour résoudre des problèmes de mouvement rectiligne impliquant la position, la vitesse scalaire, la vitesse vectorielle et l'accélération.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Pour une particule se déplaçant sur une ligne, trois fonctions du temps sont liées par la dérivation :
Sur un graphique vitesse-temps, l'aire est le déplacement et la pente est l'accélération
position 位置$s(t)$;
velocity 速度$v(t)=s'(t)$ – signé ; son signe donne la direction;
acceleration 加速度$a(t)=v'(t)=s''(t)$.
Lectures clés (parties fréquentes de l'examen) :
La particule est au repos 静止 lorsque $v(t)=0$.
Elle se déplace vers la droite/en haut quand $v(t)>0$ et vers la gauche/en bas quand $v(t)<0$ ; elle change de direction où $v$ change de signe.
Vitesse 速率 est $|v(t)|$. La vitesse est croissante quand $v$ et $a$ ont le même signe (la particule accélère), et décroissante quand ils ont des signes opposés.
Exemple résolu. Une particule se déplace avec $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Puis $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, donc elle est au repos en $t=1$ et $t=3$, et change de direction à chaque fois. À $t=2$, $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (se déplaçant vers la gauche) et $a(2)=6(2)-12=0$ ; juste après, $a>0$ tandis que $v<0$, donc elle ralentit là. Distinuez soigneusement entre la vitesse (qui a une direction) et la vitesse scalaire (qui n'en a pas) – l'examen teste cette différence exacte.
Un parc de montagnes russes est le calcul différentiel que l'on peut ressentir : la vitesse est la dérivée de la position, et l'accélération est la dérivée de la vitesse
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La vitesse est la pente de la position
y = ax³ + bx² + cx + d
Pour un mouvement en ligne droite, la vitesse est la dérivée (pente) de la position et l'accélération est la dérivée de la vitesse. Glissez le point pour lire la vitesse instantanée.
Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.
Objectif d'apprentissage CHA-3.C : Interpréter les taux de variation dans des contextes appliqués.
CHA-3.C.1 La dérivée peut être utilisée pour résoudre des problèmes impliquant des taux de variation dans des contextes appliqués.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La même idée de dérivée modélise toute quantité changeante : un réservoir qui se vide, une population qui s'étend, une tasse qui refroidit. Chaque fois qu'un problème dit « le taux auquel... », il décrit une dérivée. Lisez les unités pour savoir de quel taux de quelle quantity vous disposez, puis interprétez dans le contexte.
4.4
Introduction aux Taux Liés
Programme
Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.
Objectif d'apprentissage CHA-3.D : Calculer des taux de variation liés dans des contextes appliqués.
CHA-3.D.1 La règle de la chaîne est à la base de la dérivation de variables dans un problème de taux de variation lié par rapport à la même variable indépendante.
CHA-3.D.2 D'autres règles de dérivation, telles que la règle du produit et la règle du quotient, peuvent également être nécessaires pour dériver toutes les variables par rapport à la même variable indépendante.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Taux liés : une échelle glissante
Dans un problème de taux liés 相关变化率, plusieurs quantités changent ensemble au fil du temps, et vous connaissez certains taux mais voulez en trouver un autre. Le moteur est la règle de la chaîne : dérivez une relation par rapport au temps $t$. Chaque variable devient une fonction de $t$, donc chaque dérivée ajoute un facteur « $\,/\,dt$ ». Les règles du produit et du quotient peuvent aussi être nécessaires.
Un ballon montant : les taux liés relient la rapidité avec laquelle le rayon, le volume et la hauteur changent ensemble
Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.
Objectif d'apprentissage CHA-3.E : Interpréter les taux de variation liés dans des contextes appliqués.
CHA-3.E.1 La dérivée peut être utilisée pour résoudre des problèmes de taux de variation liés, c'est-à-dire trouver le taux de variation d'une quantité en la reliant à d'autres quantités dont les taux de variation sont connus.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une procédure fiable – et un modèle plein score sur l'examen :
Nommez les variables et notez les taux donnés et le taux inconnu (ex. « $\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/jour, trouver $\dfrac{dV}{dt}$ »).
Écrivez une équation reliant les quantités (souvent une formule géométrique ou de volume).
Dérivez les deux côtés par rapport à $t$ (règle de la chaîne) – avant de substituer les nombres.
Substituez les valeurs connues à l'instant d'intérêt, et résolvez pour le taux inconnu.
Énoncez la réponse avec des unités et le bon signe (une quantité décroissante a un taux négatif).
Exemple résolu. De l'air est pompé dans un ballon sphérique dont le volume croît à $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. À quelle vitesse le rayon croît-il quand $r=5\ \text{cm}$ ? Partez de $V=\tfrac43\pi r^3$ et dérivez par rapport à $t$d'abord :
Substituer $r=5$trop tôt est l'erreur classique – dérivez la relation générale, puis injectez les valeurs.
Un ballon gonflé relie dV/dt et dr/dt via la règle de la chaîne
4.6
Linéarité Locale et Linéarisation
Programme
Compris essentiel (CHA-3) : Les dérivées nous permettent de résoudre des problèmes du monde réel impliquant des taux de variation.
Objectif d'apprentissage CHA-3.F : Approximer une valeur sur une courbe en utilisant l'équation d'une tangente.
CHA-3.F.1 La tangente est la représentation graphique d'une approximation linéaire locale de la fonction près du point de tangence.
CHA-3.F.2 Pour une approximation par tangente, le comportement de la fonction près du point de tangence peut déterminer si la valeur de la tangente est une sous-estimation ou une surestimation de la valeur correspondante de la fonction.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Linéarité locale et linéarisation
Près d'un point de tangence, une courbe lisse ressemble à sa tangente – c'est la linéarité locale 局部线性. Ainsi, la tangente fournit une approximation linéaire 线性近似 (linéarisation) de la fonction près de ce point :
$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$
Utilisez-la pour estimer $f$ à un $x$ proche de $a$.
La tangente est la meilleure approximation linéaire de la courbe près du point de tangence
Exemple résolu. Estimez $\sqrt{4.1}$. Prenez $f(x)=\sqrt{x}$ et $a=4$ : $f(4)=2$ et $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $f'(4)=\dfrac14$. Puis $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (la valeur vraie est $2.0248\ldots$). Comme $\sqrt{x}$ est concave vers le bas, la tangente est au-dessus de la courbe, donc c'est une légère surestimation 高估 – justifiez surestimation/sous-estimation par le signe de $f''$.
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Approximer une courbe avec sa droite tangente
y = ax³ + bx² + cx + d
Linéarité locale : près d'un point, une courbe lisse ressemble à sa droite tangente, de sorte que la tangente donne une bonne approximation linéaire des valeurs voisines.
4.7
Règle de L'Hospital pour les Formes Indéterminées
Programme
Compris essentiel (LIM-4) : La règle de L'Hôpital permet de déterminer les limites de certaines formes indéterminées.
Objectif d'apprentissage LIM-4.A : Déterminer les limites de fonctions qui conduisent à des formes indéterminées.
LIM-4.A.1 Lorsque le rapport de deux fonctions tend vers $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ dans la limite, ces formes sont dites indéterminées.
Énoncé d'exclusion : Il existe de nombreuses autres formes indéterminées, telles que $\infty - \infty$ par exemple, mais celles-ci ne seront pas évaluées lors de l'examen AP Calculus AB ou BC. Cependant, les enseignants peuvent inclure ces sujets si le temps le permet.
LIM-4.A.2 Les limites des formes indéterminées $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ peuvent être évaluées en utilisant la règle de L'Hôpital.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Quand la substitution directe dans un quotient de limites donne la forme indéterminée 未定式$\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$, vous pouvez utiliser la Règle de L'Hospital 洛必达法则 :
à condition que la limite à droite existe. Dérivez le numérateur et le dénominateur séparément (ceci n'est pas la règle du quotient), puis essayez la limite à nouveau. Confirmez d'abord que la forme est bien $\tfrac{0}{0}$ ou $\tfrac{\infty}{\infty}$ – appliquer la règle à toute autre forme est une erreur.
Exemple résolu. Évaluez $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. La substitution donne $\tfrac00$, donc dérivez numérateur et dénominateur : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – confirmant la célèbre limite de l'Unité 1.
4.7
Conseils d'examen
Dans les problèmes de mouvement : la vitesse est la dérivée de la position, l'accélération est la dérivée de la vitesse ; la vitesse augmente quand la vitesse et l'accélération partagent un signe.
Pour les taux liés, dérivez l'équation liante par rapport au temps, puis substituez les valeurs données en dernier.
Utilisez la tangente pour une approximation linéaire près d'un point connu ; elle n'est précise que tout près.
Lisez le signe d'un taux : positif signifie que les quantités évoluent ensemble, négatif signifie qu'elles évoluent en sens inverse.
Énoncez toujours les unités et interprétez la réponse dans le contexte.
Compréhension durable (FUN-1) : Les théorèmes d'existence nous permettent de tirer des conclusions sur le comportement d'une fonction sur un intervalle sans localiser précisément ce comportement.
Objectif d'apprentissage FUN-1.B : Justifier des conclusions sur des fonctions en appliquant le théorème des accroissements finis sur un intervalle.
FUN-1.B.1 Si une fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ et dérivable sur l'intervalle $(a, b)$, alors le théorème des accroissements finis garantit l'existence d'un point dans cet intervalle ouvert où le taux de variation instantané est égal au taux de variation moyen sur l'intervalle.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Théorème des valeurs intermédiaires
Le Théorème des valeurs intermédiaires 中值定理 (MVT) relie le taux de changement moyen à un taux instantané :
Oui $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$, alors il existe au moins un point $c$ dans $(a,b)$ tel que
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
En mots : quelque part à l'intérieur de l'intervalle, le taux instantané égale le taux moyen. Géométriquement, certaines tangentes sont parallèles à la corde reliant les extrémités.
Théorème des valeurs intermédiaires : certaines tangentes sont parallèles à la sécante sur l'intervalle
Compétence d'examen. Comme le TVI, le MVT est un théorème d'existence, et les questions demandent de justifier. Plein score nécessite : (1) énoncer que $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$ ; (2) calculer le taux moyen $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ; (3) conclure « par le MVT, il existe un $c$ dans $(a,b)$ tel que $f'(c)$ soit égal à cette valeur. » Les deux hypothèses doivent être nommées.
Exemple résolu. Vérifiez le MVT pour $f(x)=x^2$ sur $[1,3]$. C'est un polynôme, donc continu et dérivable partout. Le taux moyen est $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$. Poser $f'(c)=2c=4$ donne $c=2$, qui se trouve bien dans $(1,3)$ – le point garanti.
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Le théorème des valeurs intermédiaires (MVT)
y = ax³ + bx² + cx + d
Le TMV garantit un point où la tangente est parallèle à la sécante — le taux instantané est égal au taux moyen quelque part à l'intérieur de l'intervalle.
Compréhension durable (FUN-1) : Les théorèmes d'existence nous permettent de tirer des conclusions sur le comportement d'une fonction sur un intervalle sans localiser précisément ce comportement.
Objectif d'apprentissage FUN-1.C : Justifier des conclusions sur des fonctions en appliquant le théorème des valeurs extrêmes.
FUN-1.C.1 Si une fonction $f$ est continue sur l'intervalle $(a, b)$, alors le Théorème des Valeurs Extrêmes garantit que $f$ possède au moins une valeur minimale et au moins une valeur maximale sur $[a, b]$.
FUN-1.C.2 Un point sur une fonction où la première dérivée est égale à zéro ou n'existe pas est un point critique de la fonction.
FUN-1.C.3 Tous les extrema locaux (relatifs) se produisent aux points critiques d'une fonction, bien que tous les points critiques ne soient pas des extrema locaux.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Sommet de montagne reflété dans un lac : extrema et points critiques marquent les valeurs maximales et minimales
Le Théorème des valeurs extrêmes 极值定理 (EVT) garantit l'existence d'extrema : une fonction continue sur un intervalle fermé $[a,b]$ atteint les deux un maximum absolu et un minimum absolu dessus.
Au maximum ou au minimum, la dérivée est zéro
Un point critique 临界点 est un point intérieur où $f'(x)=0$ou$f'(x)$ n'existe pas. Tous les extrema locaux (relatifs) 局部极值 se produisent aux points critiques – mais pas tous les points critiques sont des extrema. Donc les points critiques sont les candidats ; vous devez tester chacun.
5.3
Intervalles Croissants et Décroissants
Programme
Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.
Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.
FUN-4.A.1 La première dérivée d'une fonction peut fournir des informations sur la fonction et son graphique, y compris les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La première dérivée vous indique où $f$ monte ou descend :
$f'(x) > 0$ sur un intervalle $\Rightarrow$$f$ est croissante 递增 là-bas;
$f'(x) < 0$$\Rightarrow$$f$ est décroissante 递减.
Sur l'examen, « trouvez les intervalles où $f$ est croissante » signifie : trouvez les points critiques, testez ensuite le signe de $f'$ entre eux, et justifiez avec le signe de $f'$ (une raison énoncée, pas seulement un intervalle).
5.4
Test de la Première Dérivée
Programme
Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.
Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.
FUN-4.A.2 La première dérivée d'une fonction peut déterminer l'emplacement des extrema relatifs (locaux) de la fonction.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Pour classifier un point critique $x=c$ comme max local, min local, ni l'un ni l'autre, vérifiez comment $f'$ change de signe là :
$f'$ change de $+$ à $-$ en $c$$\Rightarrow$maximum local 极大值;
$f'$ change de $-$ à $+$ en $c$$\Rightarrow$minimum local 极小值;
$f'$ ne change pas de signe $\Rightarrow$ ni l'un ni l'autre.
Énoncez toujours le changement de signe comme votre justification.
Exemple résolu. Classer les points critiques de $f(x)=x^3-3x^2$. Ici $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, zéro en $x=0$ et $x=2$. Test des signes : $f'>0$ pour $x<0$, $f'<0$ sur $(0,2)$, et $f'>0$ pour $x>2$. Donc $f'$ passe d'$+\to-$ à $x=0$ (un maximum local, $f(0)=0$) et d'$-\to+$ à $x=2$ (un minimum local, $f(2)=-4$).
Où $f' > 0$ la courbe monte et où $f' < 0$ elle descend ; un maximum local se situe là où $f'$ passe de $+$ à $-$, un minimum local là où elle passe de $-$ à $+$.
5.5
Le test des candidats pour les extrema absolus
Programme
Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.
Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.
FUN-4.A.3 Les extrema absolus (globaux) d'une fonction sur un intervalle fermé ne peuvent se produire qu'aux points critiques ou aux extrémités.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Sur un intervalle fermé, les extrema absolus (globaux) ne se produisent qu'en points critiques ou aux extrémités. Le test des candidats :
Répertorier tous les points critiques dans $[a,b]$et les deux extrémités.
Évaluer $f$ à chaque candidat.
La plus grande valeur est le maximum absolu ; la plus petite est le minimum absolu.
Présenter le tableau des valeurs – la comparaison est l'argument.
5.6
Concavité et points d'inflexion
Programme
Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.
Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.
FUN-4.A.4 Le graphique d'une fonction est convexe (concave) sur un intervalle ouvert si la dérivée de la fonction est croissante (décroissante) sur cet intervalle.
FUN-4.A.5 La dérivée seconde d'une fonction fournit des informations sur la fonction et son graphique, y compris les intervalles de concavité ascendante ou descendante.
FUN-4.A.6 La dérivée seconde d'une fonction peut être utilisée pour localiser les points d'inflexion du graphique de la fonction originale.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La dérivée seconde décrit la courbure :
$f'' > 0$$\Rightarrow$$f$ est concave vers le haut 上凹 (courbe comme un bol ; $f'$ est croissante) ;
$f'' < 0$$\Rightarrow$$f$ est concave vers le bas 下凹 ($f'$ est décroissante).
Un point d'inflexion 拐点 est là où la concavité changement, c'est-à-dire où $f''$ change de signe (pas simplement où $f''=0$). Indiquer sa coordonnée $x$ et justifier par le changement de signe de $f''$.
La concavité vient du signe de la dérivée seconde ; elle s'inverse en un point d'inflexion
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Où la concavité bascule
y = ax³ + bx² + cx + d
La concavité est le signe de $f''$ : concave vers le haut retient l'eau, concave vers le bas la laisse couler. Un point d'inflexion est là où elle change.
5.7
Le test de la dérivée seconde
Programme
Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.
Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.
FUN-4.A.7 La dérivée seconde d'une fonction peut déterminer si un point critique est l'emplacement d'un maximum ou minimum relatif (local).
FUN-4.A.8 Lorsqu'une fonction continue possède un seul point critique sur un intervalle de son domaine et que ce point correspond à un extremum relatif (local) de la fonction sur cet intervalle, alors ce point critique correspond également à l'extremum absolu (global) de la fonction sur cet intervalle.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une autre façon de classifier un point critique $c$ où $f'(c)=0$ :
$f''(c) > 0$$\Rightarrow$ concave vers le haut $\Rightarrow$minimum local ;
$f''(c) < 0$$\Rightarrow$ concave vers le bas $\Rightarrow$maximum local ;
$f''(c) = 0$$\Rightarrow$ le test est non concluant – revenir au test de la dérivée première.
Cas particulier : si une fonction continue n'a qu'un seul point critique sur un intervalle et qu'il est un extremum local, ce point est aussi l'extremum absolu sur cet intervalle.
5.8
Tracer une fonction et ses dérivées
Programme
Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.
Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.
FUN-4.A.9 Les caractéristiques clés des fonctions et de leurs dérivées peuvent être identifiées et reliées à leurs représentations graphique, numérique et analytique.
FUN-4.A.10 Les informations graphiques, numériques et analytiques de $f'$ et $f''$ peuvent être utilisées pour prédire et expliquer le comportement de $f$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Les caractéristiques clés de $f$, $f'$ et $f''$ se reflètent mutuellement. Pour tracer ou lire des graphiques :
$f$ croissante $\Leftrightarrow$$f'$ au-dessus de l'axe ; $f$ a un max local $\Leftrightarrow$$f'$ traverse de $+$ à $-$.
$f$ concave vers le haut $\Leftrightarrow$$f'$ croissante $\Leftrightarrow$$f''$ au-dessus de l'axe ; $f$ a un point d'inflexion $\Leftrightarrow$$f'$ a un extremum local $\Leftrightarrow$$f''$ traverse zéro.
5.9
Relier f, f-prime et f-double-prime
Programme
Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.
Objectif d'apprentissage FUN-4.A : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction sur la base du comportement de ses dérivées.
FUN-4.A.11 Les caractéristiques clés des graphes de $f$, $f'$ et $f''$ sont liées les unes aux autres.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
C'est la compétence de lire un graphique pour décrire un autre. Un dispositif d'examen très courant donne le graphique de $f'$ et pose des questions sur $f$ : où $f$ est croissante (où $f'>0$), où sont les extrema de $f$ (où $f'$ traverse zéro, avec un changement de signe), où $f$ est concave vers le haut (où $f'$ est croissante). Répondre aux questions sur $f$ en utilisant la hauteur et la pente du graphique de $f'$.
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Pente et courbure depuis le graphique
y = ax³ + bx² + cx + d
Là où $f'>0$ la fonction monte ; là où $f''>0$ elle se courbe vers le haut. Glissez la tangente pour relier la forme de $f$ aux signes de ses dérivées.
5.10
Introduction à l'optimisation
Programme
Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.
Objectif d'apprentissage FUN-4.B : Calculer des valeurs minimales et maximales dans des contextes appliqués ou dans l'analyse de fonctions.
FUN-4.B.1 La dérivée peut être utilisée pour résoudre des problèmes d'optimisation, c'est-à-dire trouver une valeur minimale ou maximale d'une fonction sur un intervalle donné.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Optimisation : la meilleure boîte
L'optimisation 最优化 utilise la dérivée pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une grandeur sur un intervalle. C'est la mécanique des tests des candidats/dérivatives appliquée à un objectif réel.
Enclos clôturés : l'optimisation trouve les dimensions qui maximisent l'aire pour une longueur de clôture fixe
Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.
Objectif d'apprentissage FUN-4.C : Interpréter les valeurs minimales et maximales calculées dans des contextes appliqués.
FUN-4.C.1 Les valeurs minimales et maximales d'une fonction ont des significations spécifiques dans les contextes appliqués.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une procédure fiable :
Écrire la quantité à optimiser comme fonction d'une seule variable (utiliser une équation de contrainte pour éliminer les variables superflues).
Définir l'intervalle des entrées autorisées.
Trouver les points critiques ($f'=0$ ou non défini) et les tester (test de la dérivée première ou seconde, ou test des candidats si l'intervalle est fermé).
Répondre à la question posée, avec unités et interprétation dans le contexte – le maximum d'aire, le minimum de coût, etc.
Exercice résolu. Un agriculteur dispose de $100\ \text{m}$ de clôture pour un enclos rectangulaire adossé à un mur, donc seulement trois côtés nécessitent une clôture. Maximisez la superficie. Soient les deux extrémités $x$ et le côté parallèle au mur $y$ ; la contrainte est $2x+y=100$, donc $y=100-2x$. La superficie est
Puisque $A''=-4<0$ c'est un maximum, donnant $y=50$ et $A=25\times50=1250\ \text{m}^2$.
5.12
Comportements des relations implicites
Programme
Compris essentiel (FUN-4) : La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour comprendre certains comportements de la fonction.
Objectif d'apprentissage FUN-4.D : Déterminer les points critiques de relations implicites.
FUN-4.D.1 Un point sur une relation implicite où la première dérivée est égale à zéro ou n'existe pas est un point critique de la fonction.
Objectif d'apprentissage FUN-4.E : Justifier des conclusions sur le comportement d'une fonction définie implicitement sur la base de preuves issues de ses dérivées.
FUN-4.E.1 Les applications des dérivées peuvent être étendues aux fonctions définies implicitement.
FUN-4.E.2 Les dérivées secondes impliquant la dérivation implicite peuvent être des relations de $x$, $y$ et $\dfrac{dy}{dx}$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Tout cela s'étend aux relations définies implicitement. Un point critique d'une relation implicite est là où $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangente horizontale) ou est non défini (tangente verticale). Puisque $\dfrac{dy}{dx}$ est généralement une relation en $x$et$y$, et que la dérivée seconde implique $x$, $y$ et $\dfrac{dy}{dx}$, substituer votre expression de la première dérivée lors du calcul de $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, puis raisonner sur la concavité à partir de son signe.
5.12
Conseils d'examen
$f'>0$ signifie croissant, $f'<0$ décroissant ; les candidats aux extrema sont là où $f'=0$ est zéro ou non défini.
Classifier un point critique avec le changement de signe de la dérivée première ou le test de la dérivée seconde ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maximum).
$f''>0$ est concave vers le haut, $f''<0$ concave vers le bas ; un point d'inflexion est là où la concavité change ($f''$ change de signe).
Pour un extremum absolu sur un intervalle fermé, vérifier aussi les extrémités.
Justifier chaque conclusion en citant le signe de $f'$ ou $f''$ – l'examen exige le raisonnement, pas seulement la réponse.
Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-4.A : Interpréter le sens des aires associées au graphe d'un taux de variation dans leur contexte.
CHA-4.A.1 L'aire de la région comprise entre le graphe d'une fonction de taux de variation et l'axe $x$ donne l'accumulation de variation.
CHA-4.A.2 Dans certains cas, l'accumulation de variation peut être évaluée en utilisant la géométrie.
CHA-4.A.3 Si un taux de variation est positif (négatif) sur un intervalle, alors la variation accumulée est positive (négative).
CHA-4.A.4 L'unité pour l'aire d'une région définie par un taux de variation est l'unité du taux de variation multipliée par l'unité de la variable indépendante.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Un réservoir d'eau : l'intégration accumule la variation – volume total à partir d'un débit
La dérivation a trouvé des taux. L'intégration inverse cette idée : étant donné un taux de variation, elle trouve la variation accumulée 累积变化. L'image clé : l'aire entre le graphique d'une fonction de taux et l'axe des $x$ donne l'accumulation totale.
Si le taux est positif sur un intervalle, la variation accumulée est positive ; si négatif, négative. L'aire sous l'axe compte comme négative.
Les régions simples (triangles, rectangles) peuvent être trouvées par géométrie 几何.
Unités : l'unité de l'aire est l'unité du taux multipliée par l'unité de l'entrée. Un taux en véhicules-heure⁻¹ multiplié par des heures donne des véhicules.
6.2
Approximer des aires avec les sommes de Riemann
Programme
Compréhension durable (LIM-5) : Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide de méthodes géométriques et numériques.
Objectif d'apprentissage LIM-5.A : Approcher une intégrale définie à l'aide de méthodes géométriques et numériques.
LIM-5.A.1 Les intégrales définies peuvent être approchées pour des fonctions représentées graphiquement, numériquement, analytiquement et verbalement.
LIM-5.A.2 Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide d'une somme de Riemann gauche, d'une somme de Riemann droite, d'une somme de Riemann au milieu ou d'une somme trapézoïdale ; les approximations peuvent être calculées à l'aide de partitions uniformes ou non uniformes.
LIM-5.A.3 Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide de méthodes numériques, avec ou sans technologie.
LIM-5.A.4 Selon le comportement d'une fonction, il peut être possible de déterminer si une approximation pour une intégrale définie est une sous-estimation ou une surestimation de la valeur de cette intégrale définie.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
L'intégrale comme aire (sommes de Riemann)Les sommes trapézoïdales approchent l'aire
Lorsque l'aire exacte est difficile, l'approximer avec une somme de Riemann 黎曼和 – diviser l'intervalle en sous-intervalles et additionner les aires de rectangles (ou trapèzes). Les quatre estimations standards :
Chaque rectangle a une aire $f(x)\,\Delta x$ ; les additionner estime l'aire, et lorsque les bandes se rétrécissent, la somme approche l'intégrale définie.
Somme de Riemann gauche – hauteur du rectangle prise à l'extrémité gauche de chaque sous-intervalle.
Somme de Riemann droite – hauteur prise à l'extrémité droite.
Somme de Riemann milieu – hauteur prise au point milieu 中点.
Somme trapézoïdale 梯形法 – moyenne des hauteurs aux deux extrémités (un trapèze).
Les sous-intervalles peuvent être uniformes (largeur égale) ou non uniformes – lire les largeurs dans le tableau.
Sous-estimation ou surestimation ? Juger selon le comportement de la fonction : pour une fonction croissante, une somme gauche sous-estime et une somme droite surestime ; une somme trapézoïdale surestime quand la fonction est concave vers le haut et sous-estime quand elle est concave vers le bas. Les parties d'examen demandent d'indiquer lequel et pourquoi.
Exemple résolu. Un tableau donne $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=8$, $f(6)=9$. Estimer $\int_0^6 f(x)\,dx$ avec une somme de Riemann droite de trois sous-intervalles égaux ($\Delta x=2$). Utiliser l'extrémité droite de chaque bande :
$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$
Puisque $f$ est croissante, cette somme droite est une surestimation ; la somme gauche $2(3+5+8)=32$ serait une sous-estimation.
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Approximer l'aire avec des rectangles
y = ax³ + bx² + cx + d
Une somme de Riemann approxime l'aire sous une courbe avec des rectangles. Ajoutez-en plus, plus fins, et l'estimation converge vers l'intégrale définie exacte.
Compréhension durable (LIM-5) : Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide de méthodes géométriques et numériques.
Objectif d'apprentissage LIM-5.B : Interpréter le cas limite de la somme de Riemann comme une intégrale définie.
LIM-5.B.1 La limite d'une somme de Riemann approximante peut être interprétée comme une intégrale définie.
LIM-5.B.2 Une somme de Riemann, qui nécessite une partition d'un intervalle $I$, est la somme de produits, chacun étant la valeur de la fonction en un point d'un sous-intervalle multiplié par la longueur de ce sous-intervalle de la partition.
Objectif d'apprentissage LIM-5.C : Représenter le cas limite de la somme de Riemann comme une intégrale définie.
LIM-5.C.1 L'intégrale définie d'une fonction continue $f$ sur l'intervalle $[a, b]$, notée $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, est la limite des sommes de Riemann lorsque les largeurs des sous-intervalles tendent vers 0. C'est-à-dire, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i$, où $n$ est le nombre de sous-intervalles, $\Delta x_i$ est la largeur du $i$e sous-intervalle, et $x_i^{*}$ est une valeur dans le $i$e sous-intervalle.
LIM-5.C.2 Une intégrale définie peut être traduite en la limite d'une somme de Riemann associée, et la limite d'une somme de Riemann peut être écrite comme une intégrale définie.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Lorsque les largeurs des sous-intervalles tendent vers zéro, la somme de Riemann approche une valeur exacte – l'intégrale définie 定积分 :
Ici $\Delta x_i$ est la largeur du $i$ème sous-intervalle et $x_i^{*}$ un point à l'intérieur. Ainsi une intégrale définie est la limite d'une somme de Riemann, et vous devriez pouvoir traduire l'une dans l'autre.
6.4
Le théorème fondamental du calcul et les fonctions d'accumulation
Programme
Compréhension durable (FUN-5) : Le théorème fondamental du calcul relie la dérivation et l'intégration.
Objectif d'apprentissage FUN-5.A : Représenter les fonctions d'accumulation à l'aide d'intégrales définies.
FUN-5.A.1 L'intégrale définie peut être utilisée pour définir de nouvelles fonctions.
Exemples illustratifs pour FUN-5.A.1 :$f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Oui $f$ est une fonction continue sur un intervalle contenant $a$, alors $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, où $x$ est dans l'intervalle.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Le Théorème fondal du calcul
Une intégrale définie avec une limite supérieure variable définit une nouvelle fonction d'accumulation 累积函数. Le théorème fondamental du calcul 微积分基本定理 (première partie) dit que la dérivation annule cette accumulation : si $f$ est continue, alors
$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$
Donc si $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, alors $g'(x)=f(x)$ et $g''(x)=f'(x)$. C'est le moteur derrière les questions très courantes « soit $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ ».
La fonction d'accumulation ajoute l'aire signée ; le TFC dit que sa dérivée est f
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Accumuler l'aire comme une intégrale
y = ax³ + bx² + cx + d
Une fonction d'accumulation$\int_a^x f(t)\,dt$ accumule l'aire signée lorsque $x$ se déplace. Le Théorème Fondamental dit que sa dérivée est simplement $f(x)$.
Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/
微积分基本定理
wēi jī fēn jī běn dìng lǐ
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/
原函数
yuán hán shù
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/
不定积分
bù dìng jī fēn
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/
积分常数
jī fēn cháng shù
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/
换元积分法
huàn yuán jī fēn fǎ
polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/
多项式长除法
duō xiàng shì zhǎng chú fǎ
completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/
配方法
pèi fāng fǎ
6.5
Comportement des fonctions d'accumulation
Programme
Compréhension durable (FUN-5) : Le théorème fondamental du calcul relie la dérivation et l'intégration.
Objectif d'apprentissage FUN-5.A : Représenter les fonctions d'accumulation à l'aide d'intégrales définies.
FUN-5.A.3 Les représentations graphiques, numériques, analytiques et verbales d'une fonction $f$ fournissent des informations sur la fonction $g$ définie comme $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Puisque $g'(x)=f(x)$, tout ce qui précède de l'Unité 5 s'applique à une fonction d'accumulation utilisant le graphique de $f$ :
$g$ est croissante où $f>0$ et décroissante où $f<0$ ;
$g$ a un extremum local où $f$traverse zéro (avec un changement de signe) ;
$g$ est concave vers le haut où $f$ est croissante ; les points d'inflexion de $g$ surviennent où $f$ a un extremum local.
Pour obtenir une valeur de $g$, calculer l'aire signée : $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, en ajoutant les aires au-dessus de l'axe et en soustrayant celles en dessous.
6.6
Propriétés des intégrales définies
Programme
Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.
Objectif d'apprentissage FUN-6.A : Calculer une intégrale définie en utilisant des aires et des propriétés des intégrales définies.
FUN-6.A.1 Dans certains cas, une intégrale définie peut être évaluée en utilisant la géométrie et le lien entre l'intégrale définie et l'aire.
FUN-6.A.2 Les propriétés des intégrales définies incluent l'intégrale d'une constante fois une fonction, l'intégrale de la somme de deux fonctions, l'inversion des bornes d'intégration, et l'intégrale d'une fonction sur des intervalles adjacents.
FUN-6.A.3 La définition de l'intégrale définie peut être étendue aux fonctions présentant des discontinuités amovibles ou à saut.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Ces propriétés simplifient le calcul et apparaissent constamment :
$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$
$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$
La dernière (découpage en un point intérieur $c$) permet de construire une intégrale totale à partir de morceaux lus sur un graphique.
6.7
Le théorème fondamental et l'évaluation des intégrales
Programme
Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.
Objectif d'apprentissage FUN-6.B : Évaluer des intégrales définies analytiquement à l'aide du théorème fondamental du calcul.
FUN-6.B.1 Une primitive d'une fonction $f$ est une fonction $g$ dont la dérivée est $f$.
FUN-6.B.2 Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$, la fonction définie par $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ est une primitive de $f$ pour $x$ dans l'intervalle.
FUN-6.B.3 Oui $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ et que $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La deuxième partie du théorème fondamental évalue une intégrale définie à l'aide d'une primitive 原函数. Si $F'=f$, alors
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$
Donc : trouvez n'importe quelle primitive $F$, puis soustrayez ses valeurs aux deux bornes. C'est ainsi que la plupart des intégrales exactes sont calculées. Cela donne aussi la vue du changement net : $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$, donc une valeur de départ plus un changement accumulé donne une valeur ultérieure, par ex. $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.
Exemple résolu. Évaluez $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. Une primitive est $F(x)=x^2+x$, donc
Une intégrale définie est l'aire signée entre la courbe et l'axe des x
6.8
Primitives et intégrales indéfinies
Programme
Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.
Objectif d'apprentissage FUN-6.C : Déterminer les primitives de fonctions et les intégrales indéfinies, en utilisant les connaissances sur les dérivées.
FUN-6.C.1$\int f(x)\,dx$ est une intégrale indéfinie de la fonction $f$ et peut s'exprimer sous la forme $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, où $F'(x) = f(x)$ et $C$ est une constante quelconque.
FUN-6.C.2 Les règles de dérivation constituent la base pour trouver des primitives.
FUN-6.C.3 De nombreuses fonctions n'ont pas de primitives fermées.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une intégrale indéfinie 不定积分 est la famille de toutes les primitives, écrite avec une constante d'intégration 积分常数 :
$$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$
Inversez chaque règle de dérivation pour construire les primitives de base :
$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$
6.9
Intégration par substitution
Programme
Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.
Objectif d'apprentissage FUN-6.D : Pour les intégrandes nécessitant une substitution ou des réarrangements sous formes équivalentes : (a) Déterminer les intégrales indéfinies. (b) Évaluer les intégrales définies.
FUN-6.D.1 La substitution de variables est une technique pour trouver des primitives.
FUN-6.D.2 Pour une intégrale définie, la substitution de variables nécessite des changements correspondants aux bornes d'intégration.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La substitution $u$ 换元积分法 inverse la règle de composition. Choisissez une fonction intérieure $u=g(x)$, afin que $du=g'(x)\,dx$, et réécrivez l'intégrale entièrement en $u$ :
Cherchez une fonction et sa dérivée toutes deux présentes. Pour une intégrale définie, changez soit les limites en valeurs $u$, soit revenez à $x$ avant de substituer les limites originales.
Exemple résolu. Évaluez $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. La fonction intérieure est $u=x^2$, dont la dérivée $2x\,dx=du$ est présente, donc
$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$
Repérer que $2x$ est exactement $\dfrac{du}{dx}$ est toute l'astuce.
6.10
Division longue et complétion du carré
Programme
Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.
Objectif d'apprentissage FUN-6.D : Pour les intégrandes nécessitant une substitution ou des réarrangements sous formes équivalentes : (a) Déterminer les intégrales indéfinies. (b) Évaluer les intégrales définies.
FUN-6.D.3 Les techniques pour trouver des primitives incluent des réarrangements sous formes équivalentes, telles que la division longue et la complétion du carré.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Deux mouvements d'configuration algébrique permettent à davantage d'intégrales de s'adapter aux formes de base : la division polynomiale longue 多项式长除法 lorsque le degré du numérateur est $\ge$ celui du dénominateur d'une fonction rationnelle, et la complétion du carré 配方法 pour transformer un dénominateur quadratique en une forme qui s'intègre en arctangente ou logarithme.
6.14
Sélection des techniques pour l'antidifférentiation
Programme
Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence consistant à choisir une procédure appropriée pour l'antidifférentiation. Les étudiants doivent avoir l'occasion de s'exercer à quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs à l'antidifférentiation.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Un sujet de compétence : associez l'intégrale à une méthode. Essayez d'abord une primitive de base ; cherchez une substitution $u$ (une fonction intérieure dont la dérivée est également présente) ; utilisez l'algèbre (division, complétion du carré, fractionnement) pour remodeler l'intégrande en une forme standard. Nommer la structure d'abord évite les efforts inutiles.
6.14
Conseils d'examen
L'intégration est l'antidifférentiation ; utilisez la règle de puissance$\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ et n'oubliez pas la $+C$.
Le théorème fondamental lie les deux : $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, et $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approchez une intégrale définie par des sommes de Riemann ou la règle des trapèzes à partir d'un tableau de valeurs.
Une intégrale définie est une aire signée (en dessous de l'axe compte négatif) ; divisez aux changements de signe pour l'aire totale.
Utilisez la substitution u et n'oubliez pas de changer les bornes (ou de faire le contre-substituting) en conséquence.
Modélisation de situations avec des équations différentielles
Programme
Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.
Objectif d'apprentissage FUN-7.A : Interpréter des énoncés verbaux de problèmes sous la forme d'équations différentielles impliquant une expression de dérivée.
FUN-7.A.1 Les équations différentielles relient une fonction d'une variable indépendante et les dérivées de cette fonction.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une équation différentielle 微分方程 est une équation qui relie une fonction à ses propres dérivées. Elle décrit une situation par sa vitesse de variation. Par exemple, « la vitesse de variation d'une quantité est proportionnelle à sa taille » devient
$$\frac{dy}{dt} = ky.$$
Apprendre à traduire une phrase sur un taux en une équation différentielle est la première compétence de cette unité.
7.2
Vérification des solutions pour les équations différentielles
Programme
Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.
Objectif d'apprentissage FUN-7.B : Vérifier les solutions d'équations différentielles.
FUN-7.B.1 Les dérivées peuvent être utilisées pour vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle donnée.
FUN-7.B.2 Il peut y avoir une infinité de solutions générales à une équation différentielle.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une solution 解 d'une équation différentielle est une fonction qui la rend vraie. Vous pouvez vérifier une solution proposée en la dérivant et en la substituant dans l'équation : si les deux côtés correspondent, c'est une solution. Notez qu'une équation différentielle a généralement infinitivement de solutions – une famille entière – différant par une constante.
Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.
Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.
FUN-7.C.1 Un champ de pentes est une représentation graphique d'une équation différentielle sur un ensemble fini de points du plan.
FUN-7.C.2 Les champs de pentes fournissent des informations sur le comportement des solutions des équations différentielles du premier ordre.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Champs de pentes & courbes solutions
Un champ de pentes 斜率场 représente l'équation différentielle sous forme d'une grille de courts segments : en chaque point $(x,y)$, le segment a la pente $\dfrac{dy}{dx}$ évaluée à cet endroit. Pour le tracer, insérez plusieurs points dans le membre de droite et dessinez un petit segment avec cette pente à chacun. L'image montre la forme des courbes solutions sans résoudre.
Chaque court segment a la pente $\dfrac{dy}{dx}$ à ce point ; une courbe solution passe à travers, restant tangente au champ.
Compétence d'examen. Une partie commune fournit une portion d'un champ de pentes et vous demande de tracer la solution particulière passant par un point donné – commencez au point et suivez les segments, en restant tangent à ceux-ci.
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Lire une équation différentielle comme un champ de pentes
Un champ de pentes dessine la pente $dy/dx$ à chaque point. Une courbe solution s'y insère, toujours tangente aux petits segments — vous pouvez la tracer en suivant le flux.
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/
分离变量法
fēn lí biàn liàng fǎ
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/
通解
tōng jiě
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/
初始条件
chū shǐ tiáo jiàn
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/
特解
tè jiě
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/
定义域限制
dìng yì yù xiàn zhì
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/
指数增长与衰减
zhǐ shù zēng zhǎng yǔ shuāi jiǎn
7.4
Raisonnement à l'aide de champs de pentes
Programme
Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.
Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.
FUN-7.C.3 Les solutions aux équations différentielles sont des fonctions ou des familles de fonctions.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Les solutions d'une équation différentielle sont des fonctions ou familles de fonctions. Lisez un champ de pentes pour raisonner sur le comportement : où les segments sont plats ($\tfrac{dy}{dx}=0$), la solution est momentanément horizontale ; où ils s'inclinent, la solution monte ou descend plus vite ; des rangées horizontales de pente égale suggèrent que le taux ne dépend que de $y$ (ou seulement de $x$).
7.6
Trouver des solutions générales par séparation des variables
Programme
Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.
Objectif d'apprentissage FUN-7.D : Déterminer des solutions générales d'équations différentielles.
FUN-7.D.1 Certaines équations différentielles peuvent être résolues par séparation des variables.
FUN-7.D.2 L'antidifférentiation peut être utilisée pour trouver des solutions générales d'équations différentielles.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
De nombreuses équations différentielles d'examen se résolvent par la séparation des variables 分离变量法. Si $\dfrac{dy}{dx}$ peut être factorisé en une fonction de $x$ multipliée par une fonction de $y$, placez tous les $y$ d'un côté et tous les $x$ de l'autre, puis intégrez les deux côtés :
L'application de $y(0)=2$ donne $A=2$, donc la solution particulière est $y=2e^{x^2/2}$.
7.7
Trouver des solutions particulières avec des conditions initiales et la séparation des variables
Programme
Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.
Objectif d'apprentissage FUN-7.E : Déterminer des solutions particulières d'équations différentielles.
FUN-7.E.1 Une solution générale peut décrire une infinité de solutions à une équation différentielle. Il n'y a qu'une seule solution particulière passant par un point donné.
FUN-7.E.2 La fonction $F$ définie par $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ est une solution particulière de l'équation différentielle $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfaisant $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Les solutions aux équations différentielles peuvent être soumises à des restrictions de domaine.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une condition initiale 初始条件 – un point connu $(x_0,y_0)$ – fixe une courbe parmi la famille. Substituez-la pour résoudre la constante $C$ ; le résultat est la solution particulière 特解. Il existe exactement une solution passant par un point donné. Attention aux restrictions de domaine 定义域限制 : gardez la branche contenant le point initial (par exemple, le bon signe d'une racine carrée).
La constante donne une famille de courbes ; une condition initiale en sélectionne une
7.8
Modèles exponentiels avec des équations différentielles
Programme
Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.
Objectif d'apprentissage FUN-7.F : Interpréter la signification d'une équation différentielle et de ses variables dans un contexte.
FUN-7.F.1 Des applications spécifiques de la recherche de solutions générales et particulières aux équations différentielles incluent le mouvement le long d'une droite et la croissance et la décroissance exponentielles.
FUN-7.F.2 Le modèle pour la croissance et la décroissance exponentielles qui découle de l'énoncé « Le taux de variation d'une quantité est proportionnel à sa taille » est $\dfrac{dy}{dt} = ky$.
Objectif d'apprentissage FUN-7.G : Déterminer les solutions générales et particulières pour des problèmes impliquant des équations différentielles en contexte.
FUN-7.G.1 Le modèle de croissance et de décroissance exponentielle, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, avec condition initiale $y = y_0$ lorsque $t = 0$, a des solutions de la forme $y = y_0 e^{kt}$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
E. coli au microscope : les équations différentielles modélisent la croissance exponentielle des populations
Le modèle le plus important est la croissance et la décroissance exponentielles 指数增长与衰减. L'équation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (taux proportionnel à la taille) a la solution :
$$y = y_0\,e^{kt},$$
où $y_0$ est la valeur en $t=0$. Ici $k>0$ donne une croissance et $k<0$ donne une décroissance. Vous pouvez le dériver par séparation des variables ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), et cela modélise des processus tels que la croissance démographique, la désintégration radioactive et la loi du refroidissement de Newton. Une partie suivante peut demander $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ : différenciez $\dfrac{dy}{dt}=ky$ à nouveau (en utilisant $\dfrac{dy}{dt}=ky$) pour l'exprimer en termes de $y$.
Exercice résolu. Un échantillon se désintègre selon $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (en années) à partir de $y_0=50\ \text{g}$. La solution est $y=50e^{-0.10t}$, donc après $10$ années $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Sa demi-vie résout $25=50e^{-0.10t}$, c'est-à-dire $e^{-0.10t}=\tfrac12$, donnant $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – indépendant de la quantité initiale.
Tasse de café refroidissant : la loi de refroidissement de Newton est un modèle classique d'équation différentielle
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Un modèle de croissance/décroissance exponentielle
y = a·e^(bx) + c
L'équation $dy/dt=ky$ a des solutions exponentielles : la quantité change à un taux proportionnel à elle-même, donnant une croissance illimitée ($k>0$) ou une décroissance vers zéro ($k<0$).
7.8
Conseils d'examen
Résolvez une équation sécable en plaçant tous les $y$ d'un côté et tous les $x$ de l'autre, puis intégrez les deux côtés (ajoutez $+C$ une seule fois).
Utilisez la condition initiale pour trouver $C$ (une solution particulière).
Tracez ou lisez un champ de pentes : les petits segments montrent $\tfrac{dy}{dx}$ en chaque point, et une courbe solution les suit.
Reconnaissez les modèles exponentiels$\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (croissance/décroissance).
Une équation différentielle donne la pente ; vous devez intégrer pour retrouver la fonction.
Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-4.B : Déterminer la valeur moyenne d'une fonction à l'aide d'intégrales définies.
CHA-4.B.1 La valeur moyenne d'une fonction continue $f$ sur un intervalle $[a, b]$ est $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
La valeur moyenne 平均值 d'une fonction continue $f$ sur $[a,b]$ est l'intégrale divisée par la longueur de l'intervalle :
C'est la hauteur constante d'un rectangle sur $[a,b]$ ayant la même aire que celle sous $f$. Ne la confondez pas avec le taux de variation moyen (qui divise le changement en $f$ par l'intervalle), ni avec une moyenne de somme de Riemann de quelques valeurs – l'examen distingue soigneusement ces concepts. Indiquez les unités dans le contexte (par ex. le taux moyen « en véhicules par heure »).
Exemple résolu. La valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0,3]$ est
La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est son intégrale divisée par la largeur — la hauteur constante dont le rectangle a la même aire que sous la courbe.
8.2
Position, vitesse et accélération à l'aide d'intégrales
Programme
Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-4.C : Déterminer des valeurs pour les positions et les taux de variation en utilisant des intégrales définies dans des problèmes de mouvement rectiligne.
CHA-4.C.1 Pour une particule en mouvement rectiligne sur un intervalle de temps, l'intégrale définie de la vitesse représente le déplacement de la particule sur cet intervalle de temps, et l'intégrale définie de la vitesse représente la distance totale parcourue par la particule sur cet intervalle de temps.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
L'intégration inverse les liens du mouvement de l'Unité 4. Pour une particule en mouvement rectiligne sur $[t_1,t_2]$ :
Déplacement 位移 (changement net de position) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Distance totale parcourue 总路程$= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – intégrez la vitesse, afin que les changements de direction s'additionnent au lieu de s'annuler.
Position à un temps ultérieur $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$ ; vitesse à partir de l'accélération $= v(t_1)+\int a$.
La distinction déplacement-vs-distance (avec la valeur absolue) est un point classique noté.
8.3
Fonctions d'accumulation et intégrales définies dans des contextes appliqués
Programme
Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-4.D : Interpréter la signification d'une intégrale définie dans des problèmes d'accumulation.
CHA-4.D.1 Une fonction définie comme une intégrale représente une accumulation d'un taux de variation.
CHA-4.D.2 L'intégrale définie du taux de variation d'une quantité sur un intervalle donne la variation nette de cette quantité sur cet intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-4.E : Déterminer la variation nette en utilisant des intégrales définies dans des contextes appliqués.
CHA-4.E.1 L'intégrale définie peut être utilisée pour exprimer des informations sur l'accumulation et la variation nette dans de nombreux contextes appliqués.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Une fonction définie comme une intégrale accumule un taux de variation. Le théorème du changement net 净变化 est l'outil quotidien : l'intégrale définie d'un taux sur un intervalle donne le changement net de la quantité :
Donc « combien d'eau y a-t-il dans le réservoir à $t=5$ » = montant initial + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Faites attention aux signes (entrée moins sortie) et aux unités. De nombreux QFRS à plusieurs parties sont construits entirely sur cette idée – souvent associée à « écrivez, mais n'évaluez pas, une expression intégrale qui donne le total... ».
8.4
Trouver l'aire entre des courbes (fonctions de x)
Programme
Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-5.A : Calculer des aires dans le plan à l'aide de l'intégrale définie.
CHA-5.A.1 Les aires de régions dans le plan peuvent être calculées avec des intégrales définies.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
L'aire entre deux courbes $y=f(x)$ (supérieure) et $y=g(x)$ (inférieure) sur $[a,b]$ est :
La région hachurée va d'une intersection $a$ à la suivante $b$ ; son aire est $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.
8.5
Trouver l'aire entre des courbes (fonctions de y)
Programme
Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-5.A : Calculer des aires dans le plan à l'aide de l'intégrale définie.
CHA-5.A.2 Les aires de régions dans le plan peuvent être calculées à l'aide de fonctions de $x$ ou de $y$.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Certaines régions sont plus faciles à décrire avec des tranches horizontales – intégrez par rapport à $y$ :
Choisissez des $x$-ou des $y$-slices pour conserver une seule paire haut/bas (ou droite/gauche) sur toute la région.
8.6
Aire entre courbes avec plus de deux intersections
Programme
Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-5.A : Calculer des aires dans le plan à l'aide de l'intégrale définie.
CHA-5.A.3 Les aires de certaines régions dans le plan peuvent être calculées en utilisant une somme de deux intégrales définies ou en évaluant une intégrale définie de la valeur absolue de la différence de deux fonctions.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Si les courbes se croisent plus de deux fois, une fonction est en haut sur une partie de la région et l'autre en haut ailleurs. Divisez en une somme d'intégrales à chaque point de croisement, ou intégrez la valeur absolue de la différence :
$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$
Déterminez quelle courbe est plus haute sur chaque sous-intervalle avant d'écrire les intégrales.
8.7
Volumes par sections transversales : carrés et rectangles
Programme
Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-5.B : Calculer les volumes de solides à sections transversales connues à l'aide d'intégrales définies.
CHA-5.B.1 Les volumes de solides à sections transversales carrées et rectangulaires peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies et des formules d'aire pour ces formes géométriques.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Un potier façonnant un récipient : les solides de révolution sont des volumes formés par rotation d'une région plane
Si un solide a une section transversale 横截面 connue perpendiculaire à un axe, son volume est l'intégrale de l'aire de cette section transversale :
$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$
Pour des sections transversales carrées dont le côté est égal à la hauteur de la région $s(x)=f(x)-g(x)$, utilisez $A(x)=[s(x)]^2$ ; pour un rectangle de hauteur $k\cdot s(x)$, utilisez $A(x)=k\,[s(x)]^2$. L'expression de l'examen "la base d'un solide... les sections transversales sont des carrés/rectangles" signifie exactement cela.
8.8
Volumes par sections transversales : triangles et demi-cercles
Programme
Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-5.B : Calculer les volumes de solides à sections transversales connues à l'aide d'intégrales définies.
CHA-5.B.2 Les volumes de solides à sections transversales triangulaires peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies et des formules d'aire pour ces formes géométriques.
CHA-5.B.3 Les volumes de solides à sections transversales semi-circulaires et autres définies géométriquement peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies et des formules d'aire pour ces formes géométriques.
Exemples illustratifs pour CHA-5.B.3 :
Le volume d'un entonnoir dont les sections transversales sont des cercles peut être calculé en utilisant la formule de l'aire d'un cercle et les intégrales définies (voir 2016 FRQ de l'examen AP #5(b)).
Le volume d'un solide dont l'aire de la section transversale est définie à l'aide d'une fonction peut être calculé en utilisant la fonction d'aire connue et une intégrale définie (voir 2009 FRQ de l'examen AB #4(c)).
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Même méthode, formule d'aire différente : pour un triangle équilatéral 三角形 de côté $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$ ; pour un demi-cercle 半圆 de diamètre $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Égalisez la longueur clé de la forme à la longueur de la tranche de la région $s(x)$, puis intégrez $A(x)$.
Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.
CHA-5.C.1 Les volumes de solides de révolution autour de l'axe $x$ ou de l'axe $y$ peuvent être trouvés en utilisant des intégrales définies avec la méthode du disque.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Solides de révolution : la méthode des disques
Faire tourner une région autour d'un axe crée un solide de révolution 旋转体. Si la région touche l'axe, chaque tranche est un disque 圆盘 de rayon $r$ = la valeur de la fonction :
$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$
Autour de l'axe $x$, $r=f(x)$ et intégrez par rapport à $x$ ; autour de l'axe $y$, exprimez $x$ comme une fonction de $y$ et intégrez par rapport à $y$.
La méthode des disques : faire tourner y=f(x) autour de l'axe balaye des disques de rayon f(x)
Exemple résolu. Faites tourner la région sous $y=\sqrt{x}$ de $x=0$ à $x=4$ autour de l'axe $x$. Chaque disque a un rayon $r=\sqrt{x}$, donc
Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.
CHA-5.C.2 Les volumes de solides de révolution autour de toute ligne horizontale ou verticale dans le plan peuvent être trouvés en utilisant des intégrales définies avec la méthode du disque.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Autour de n'importe quelle ligne horizontale $y=k$ ou verticale $x=k$, le rayon est la distance de la courbe à cette ligne, par exemple $r(x)=|f(x)-k|$. Configurez soigneusement le rayon, puis utilisez $V=\pi\int r^2$.
8.11 8.12
Volume par la méthode des anneaux (washers)
Programme
Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.
CHA-5.C.3 Les volumes de solides de révolution autour de l'axe $x$ ou de l'axe $y$ dont les sections transversales sont en forme d'anneau peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies avec la méthode de la rondelle.
Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.
Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.
CHA-5.C.4 Les volumes de solides de révolution autour de toute ligne horizontale ou verticale dont les sections transversales sont en forme d'anneau peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies avec la méthode de la rondelle.
Source : Description du cours et de l'examen AP College Board
Volume par la méthode des anneaux
Lorsque la région ne touche pas l'axe, chaque tranche est un rondelle (un anneau) avec un rayon extérieur $R$ et un rayon intérieur $r$ :
$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$
$R$ est la distance de l'axe à la frontière éloignée et $r$ à la frontière proche. Autour d'une ligne autre qu'un axe, les deux rayons sont mesurés comme des distances à cette ligne – une variation très fréquente aux examens (par exemple, rotation autour de $y=-2$).
