Applications de l'intégration

AP Calcul AB · Sujet 8

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8.1

Valeur moyenne d'une fonction

Programme

Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.B : Déterminer la valeur moyenne d'une fonction à l'aide d'intégrales définies.

CHA-4.B.1 La valeur moyenne d'une fonction continue $f$ sur un intervalle $[a, b]$ est $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La valeur moyenne 平均值 d'une fonction continue $f$ sur $[a,b]$ est l'intégrale divisée par la longueur de l'intervalle :

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

C'est la hauteur constante d'un rectangle sur $[a,b]$ ayant la même aire que celle sous $f$. Ne la confondez pas avec le taux de variation moyen (qui divise le changement en $f$ par l'intervalle), ni avec une moyenne de somme de Riemann de quelques valeurs – l'examen distingue soigneusement ces concepts. Indiquez les unités dans le contexte (par ex. le taux moyen « en véhicules par heure »).

Exemple résolu. La valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0,3]$ est

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

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La valeur moyenne d'une fonction

y = ax³ + bx² + cx + d

La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est son intégrale divisée par la largeur — la hauteur constante dont le rectangle a la même aire que sous la courbe.

8.2

Position, vitesse et accélération à l'aide d'intégrales

Programme

Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.C : Déterminer des valeurs pour les positions et les taux de variation en utilisant des intégrales définies dans des problèmes de mouvement rectiligne.

CHA-4.C.1 Pour une particule en mouvement rectiligne sur un intervalle de temps, l'intégrale définie de la vitesse représente le déplacement de la particule sur cet intervalle de temps, et l'intégrale définie de la vitesse représente la distance totale parcourue par la particule sur cet intervalle de temps.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

L'intégration inverse les liens du mouvement de l'Unité 4. Pour une particule en mouvement rectiligne sur $[t_1,t_2]$ :

Déplacement 位移 (changement net de position) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Distance totale parcourue 总路程 $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – intégrez la vitesse, afin que les changements de direction s'additionnent au lieu de s'annuler.
Position à un temps ultérieur $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$ ; vitesse à partir de l'accélération $= v(t_1)+\int a$.

La distinction déplacement-vs-distance (avec la valeur absolue) est un point classique noté.

8.3

Fonctions d'accumulation et intégrales définies dans des contextes appliqués

Programme

Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.D : Interpréter la signification d'une intégrale définie dans des problèmes d'accumulation.

CHA-4.D.1 Une fonction définie comme une intégrale représente une accumulation d'un taux de variation.
CHA-4.D.2 L'intégrale définie du taux de variation d'une quantité sur un intervalle donne la variation nette de cette quantité sur cet intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.E : Déterminer la variation nette en utilisant des intégrales définies dans des contextes appliqués.

CHA-4.E.1 L'intégrale définie peut être utilisée pour exprimer des informations sur l'accumulation et la variation nette dans de nombreux contextes appliqués.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une fonction définie comme une intégrale accumule un taux de variation. Le théorème du changement net 净变化 est l'outil quotidien : l'intégrale définie d'un taux sur un intervalle donne le changement net de la quantité :

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

Donc « combien d'eau y a-t-il dans le réservoir à $t=5$ » = montant initial + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Faites attention aux signes (entrée moins sortie) et aux unités. De nombreux QFRS à plusieurs parties sont construits entirely sur cette idée – souvent associée à « écrivez, mais n'évaluez pas, une expression intégrale qui donne le total... ».

8.4

Trouver l'aire entre des courbes (fonctions de x)

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.A : Calculer des aires dans le plan à l'aide de l'intégrale définie.

CHA-5.A.1 Les aires de régions dans le plan peuvent être calculées avec des intégrales définies.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

L'aire entre deux courbes $y=f(x)$ (supérieure) et $y=g(x)$ (inférieure) sur $[a,b]$ est :

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Trouvez d'abord les points d'intersection pour fixer les bornes, et soustrayez toujours le bas du haut.

Exemple résolu. Trouvez l'aire entre $y=x$ et $y=x^2$. Elles se croisent à $x=0$ et $x=1$, et sur $(0,1)$ la droite $y=x$ est au-dessus, donc

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

L'aire entre deux courbes est l'intégrale du haut moins le bas — La région hachurée va d'une intersection $a$ à la suivante $b$ ; son aire est $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.

8.5

Trouver l'aire entre des courbes (fonctions de y)

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.A : Calculer des aires dans le plan à l'aide de l'intégrale définie.

CHA-5.A.2 Les aires de régions dans le plan peuvent être calculées à l'aide de fonctions de $x$ ou de $y$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Certaines régions sont plus faciles à décrire avec des tranches horizontales – intégrez par rapport à $y$ :

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Choisissez des $x$-ou des $y$-slices pour conserver une seule paire haut/bas (ou droite/gauche) sur toute la région.

8.6

Aire entre courbes avec plus de deux intersections

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.A : Calculer des aires dans le plan à l'aide de l'intégrale définie.

CHA-5.A.3 Les aires de certaines régions dans le plan peuvent être calculées en utilisant une somme de deux intégrales définies ou en évaluant une intégrale définie de la valeur absolue de la différence de deux fonctions.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Si les courbes se croisent plus de deux fois, une fonction est en haut sur une partie de la région et l'autre en haut ailleurs. Divisez en une somme d'intégrales à chaque point de croisement, ou intégrez la valeur absolue de la différence :

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Déterminez quelle courbe est plus haute sur chaque sous-intervalle avant d'écrire les intégrales.

8.7

Volumes par sections transversales : carrés et rectangles

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.B : Calculer les volumes de solides à sections transversales connues à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.B.1 Les volumes de solides à sections transversales carrées et rectangulaires peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies et des formules d'aire pour ces formes géométriques.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un potier façonnant un récipient : les solides de révolution sont des volumes formés par rotation d'une région plane

Si un solide a une section transversale 横截面 connue perpendiculaire à un axe, son volume est l'intégrale de l'aire de cette section transversale :

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

Pour des sections transversales carrées dont le côté est égal à la hauteur de la région $s(x)=f(x)-g(x)$, utilisez $A(x)=[s(x)]^2$ ; pour un rectangle de hauteur $k\cdot s(x)$, utilisez $A(x)=k\,[s(x)]^2$. L'expression de l'examen "la base d'un solide... les sections transversales sont des carrés/rectangles" signifie exactement cela.

8.8

Volumes par sections transversales : triangles et demi-cercles

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.B : Calculer les volumes de solides à sections transversales connues à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.B.2 Les volumes de solides à sections transversales triangulaires peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies et des formules d'aire pour ces formes géométriques.
CHA-5.B.3 Les volumes de solides à sections transversales semi-circulaires et autres définies géométriquement peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies et des formules d'aire pour ces formes géométriques.
- Exemples illustratifs pour CHA-5.B.3 :
  - Le volume d'un entonnoir dont les sections transversales sont des cercles peut être calculé en utilisant la formule de l'aire d'un cercle et les intégrales définies (voir 2016 FRQ de l'examen AP #5(b)).
  - Le volume d'un solide dont l'aire de la section transversale est définie à l'aide d'une fonction peut être calculé en utilisant la fonction d'aire connue et une intégrale définie (voir 2009 FRQ de l'examen AB #4(c)).

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Même méthode, formule d'aire différente : pour un triangle équilatéral 三角形 de côté $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$ ; pour un demi-cercle 半圆 de diamètre $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Égalisez la longueur clé de la forme à la longueur de la tranche de la région $s(x)$, puis intégrez $A(x)$.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	平均值	píng jūn zhí
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	位移	wèi yí
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	总路程	zǒng lù chéng
net change/net tʃeɪndʒ/	净变化	jìng biàn huà
cross section/krɒs ˈsekʃn/	横截面	héng jié miàn
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	三角形	sān jiǎo xíng
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	半圆	bàn yuán

8.9

Volume par la méthode des disques (axe x ou y)

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.C.1 Les volumes de solides de révolution autour de l'axe $x$ ou de l'axe $y$ peuvent être trouvés en utilisant des intégrales définies avec la méthode du disque.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Solides de révolution : la méthode des disques

Faire tourner une région autour d'un axe crée un solide de révolution 旋转体. Si la région touche l'axe, chaque tranche est un disque 圆盘 de rayon $r$ = la valeur de la fonction :

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Autour de l'axe $x$, $r=f(x)$ et intégrez par rapport à $x$ ; autour de l'axe $y$, exprimez $x$ comme une fonction de $y$ et intégrez par rapport à $y$.

La méthode des disques : faire tourner y=f(x) autour de l'axe balaye des disques de rayon f(x)

Exemple résolu. Faites tourner la région sous $y=\sqrt{x}$ de $x=0$ à $x=4$ autour de l'axe $x$. Chaque disque a un rayon $r=\sqrt{x}$, donc

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

Faire tourner une région autour d'un axe balaye un solide de révolution

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	旋转体	xuán zhuǎn tǐ
disc/dɪsk/	圆盘	yuán pán

8.10

Volume par la méthode des disques (autres axes)

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.C.2 Les volumes de solides de révolution autour de toute ligne horizontale ou verticale dans le plan peuvent être trouvés en utilisant des intégrales définies avec la méthode du disque.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Autour de n'importe quelle ligne horizontale $y=k$ ou verticale $x=k$, le rayon est la distance de la courbe à cette ligne, par exemple $r(x)=|f(x)-k|$. Configurez soigneusement le rayon, puis utilisez $V=\pi\int r^2$.

8.11 8.12

Volume par la méthode des anneaux (washers)

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.C.3 Les volumes de solides de révolution autour de l'axe $x$ ou de l'axe $y$ dont les sections transversales sont en forme d'anneau peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies avec la méthode de la rondelle.

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.C.4 Les volumes de solides de révolution autour de toute ligne horizontale ou verticale dont les sections transversales sont en forme d'anneau peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies avec la méthode de la rondelle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Volume par la méthode des anneaux

Lorsque la région ne touche pas l'axe, chaque tranche est un rondelle (un anneau) avec un rayon extérieur $R$ et un rayon intérieur $r$ :

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ est la distance de l'axe à la frontière éloignée et $r$ à la frontière proche. Autour d'une ligne autre qu'un axe, les deux rayons sont mesurés comme des distances à cette ligne – une variation très fréquente aux examens (par exemple, rotation autour de $y=-2$).

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
washer/ˈwɒʃə/	垫圈	diàn juàn

8.11 8.12

Conseils d'examen

L'aire entre courbes est $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — trouvez les points d'intersection pour les limites et gardez haut moins bas.
Pour un volume de révolution, additionnez les sections transversales de disques/anneaux d'aire $\pi r^2$ (ou $\pi(R^2-r^2)$).
La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Le changement accumulé est $\int$ d'un taux : total = valeur initiale $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
L'intégration signifie "additionner infiniment de petites pièces" — configurez l'intégrande comme une fine tranche.

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