Équations différentielles

AP Calcul AB · Sujet 7

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7.1

Modélisation de situations avec des équations différentielles

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.A : Interpréter des énoncés verbaux de problèmes sous la forme d'équations différentielles impliquant une expression de dérivée.

FUN-7.A.1 Les équations différentielles relient une fonction d'une variable indépendante et les dérivées de cette fonction.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une équation différentielle 微分方程 est une équation qui relie une fonction à ses propres dérivées. Elle décrit une situation par sa vitesse de variation. Par exemple, « la vitesse de variation d'une quantité est proportionnelle à sa taille » devient

$$\frac{dy}{dt} = ky.$$

Apprendre à traduire une phrase sur un taux en une équation différentielle est la première compétence de cette unité.

7.2

Vérification des solutions pour les équations différentielles

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.B : Vérifier les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.B.1 Les dérivées peuvent être utilisées pour vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle donnée.
FUN-7.B.2 Il peut y avoir une infinité de solutions générales à une équation différentielle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une solution 解 d'une équation différentielle est une fonction qui la rend vraie. Vous pouvez vérifier une solution proposée en la dérivant et en la substituant dans l'équation : si les deux côtés correspondent, c'est une solution. Notez qu'une équation différentielle a généralement infinitivement de solutions – une famille entière – différant par une constante.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	微分方程	wēi fēn fāng chéng
solution/səˈluːʃn/	解	jiě

7.3

Tracer des champs de pentes

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.C.1 Un champ de pentes est une représentation graphique d'une équation différentielle sur un ensemble fini de points du plan.
FUN-7.C.2 Les champs de pentes fournissent des informations sur le comportement des solutions des équations différentielles du premier ordre.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Champs de pentes & courbes solutions

Un champ de pentes 斜率场 représente l'équation différentielle sous forme d'une grille de courts segments : en chaque point $(x,y)$, le segment a la pente $\dfrac{dy}{dx}$ évaluée à cet endroit. Pour le tracer, insérez plusieurs points dans le membre de droite et dessinez un petit segment avec cette pente à chacun. L'image montre la forme des courbes solutions sans résoudre.

Un champ de pentes montre dy/dx en chaque point ; une courbe solution suit les segments — Chaque court segment a la pente $\dfrac{dy}{dx}$ à ce point ; une courbe solution passe à travers, restant tangente au champ.

Compétence d'examen. Une partie commune fournit une portion d'un champ de pentes et vous demande de tracer la solution particulière passant par un point donné – commencez au point et suivez les segments, en restant tangent à ceux-ci.

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Lire une équation différentielle comme un champ de pentes

Un champ de pentes dessine la pente $dy/dx$ à chaque point. Une courbe solution s'y insère, toujours tangente aux petits segments — vous pouvez la tracer en suivant le flux.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
slope field/sləʊp fiːld/	斜率场	xié lǜ chǎng
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/	分离变量法	fēn lí biàn liàng fǎ
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/	通解	tōng jiě
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	初始条件	chū shǐ tiáo jiàn
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/	特解	tè jiě
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/	定义域限制	dìng yì yù xiàn zhì
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/	指数增长与衰减	zhǐ shù zēng zhǎng yǔ shuāi jiǎn

7.4

Raisonnement à l'aide de champs de pentes

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.C.3 Les solutions aux équations différentielles sont des fonctions ou des familles de fonctions.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Les solutions d'une équation différentielle sont des fonctions ou familles de fonctions. Lisez un champ de pentes pour raisonner sur le comportement : où les segments sont plats ($\tfrac{dy}{dx}=0$), la solution est momentanément horizontale ; où ils s'inclinent, la solution monte ou descend plus vite ; des rangées horizontales de pente égale suggèrent que le taux ne dépend que de $y$ (ou seulement de $x$).

7.6

Trouver des solutions générales par séparation des variables

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.D : Déterminer des solutions générales d'équations différentielles.

FUN-7.D.1 Certaines équations différentielles peuvent être résolues par séparation des variables.
FUN-7.D.2 L'antidifférentiation peut être utilisée pour trouver des solutions générales d'équations différentielles.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

De nombreuses équations différentielles d'examen se résolvent par la séparation des variables 分离变量法. Si $\dfrac{dy}{dx}$ peut être factorisé en une fonction de $x$ multipliée par une fonction de $y$, placez tous les $y$ d'un côté et tous les $x$ de l'autre, puis intégrez les deux côtés :

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$

Ajoutez la constante d'intégration une seule fois (du côté $x$). Cela donne la solution générale 通解.

Exercice résolu. Résolvez $\dfrac{dy}{dx}=xy$ avec la condition initiale $y(0)=2$. Séparez et intégrez :

$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$

L'application de $y(0)=2$ donne $A=2$, donc la solution particulière est $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Trouver des solutions particulières avec des conditions initiales et la séparation des variables

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.E : Déterminer des solutions particulières d'équations différentielles.

FUN-7.E.1 Une solution générale peut décrire une infinité de solutions à une équation différentielle. Il n'y a qu'une seule solution particulière passant par un point donné.
FUN-7.E.2 La fonction $F$ définie par $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ est une solution particulière de l'équation différentielle $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfaisant $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Les solutions aux équations différentielles peuvent être soumises à des restrictions de domaine.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une condition initiale 初始条件 – un point connu $(x_0,y_0)$ – fixe une courbe parmi la famille. Substituez-la pour résoudre la constante $C$ ; le résultat est la solution particulière 特解. Il existe exactement une solution passant par un point donné. Attention aux restrictions de domaine 定义域限制 : gardez la branche contenant le point initial (par exemple, le bon signe d'une racine carrée).

La constante donne une famille de courbes ; une condition initiale en sélectionne une

7.8

Modèles exponentiels avec des équations différentielles

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.F : Interpréter la signification d'une équation différentielle et de ses variables dans un contexte.

FUN-7.F.1 Des applications spécifiques de la recherche de solutions générales et particulières aux équations différentielles incluent le mouvement le long d'une droite et la croissance et la décroissance exponentielles.
FUN-7.F.2 Le modèle pour la croissance et la décroissance exponentielles qui découle de l'énoncé « Le taux de variation d'une quantité est proportionnel à sa taille » est $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Objectif d'apprentissage FUN-7.G : Déterminer les solutions générales et particulières pour des problèmes impliquant des équations différentielles en contexte.

FUN-7.G.1 Le modèle de croissance et de décroissance exponentielle, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, avec condition initiale $y = y_0$ lorsque $t = 0$, a des solutions de la forme $y = y_0 e^{kt}$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

E. coli au microscope : les équations différentielles modélisent la croissance exponentielle des populations

Le modèle le plus important est la croissance et la décroissance exponentielles 指数增长与衰减. L'équation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (taux proportionnel à la taille) a la solution :

$$y = y_0\,e^{kt},$$

où $y_0$ est la valeur en $t=0$. Ici $k>0$ donne une croissance et $k<0$ donne une décroissance. Vous pouvez le dériver par séparation des variables ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), et cela modélise des processus tels que la croissance démographique, la désintégration radioactive et la loi du refroidissement de Newton. Une partie suivante peut demander $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ : différenciez $\dfrac{dy}{dt}=ky$ à nouveau (en utilisant $\dfrac{dy}{dt}=ky$) pour l'exprimer en termes de $y$.

Exercice résolu. Un échantillon se désintègre selon $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (en années) à partir de $y_0=50\ \text{g}$. La solution est $y=50e^{-0.10t}$, donc après $10$ années $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Sa demi-vie résout $25=50e^{-0.10t}$, c'est-à-dire $e^{-0.10t}=\tfrac12$, donnant $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – indépendant de la quantité initiale.

Tasse de café refroidissant : la loi de refroidissement de Newton est un modèle classique d'équation différentielle

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Un modèle de croissance/décroissance exponentielle

y = a·e^(bx) + c

L'équation $dy/dt=ky$ a des solutions exponentielles : la quantité change à un taux proportionnel à elle-même, donnant une croissance illimitée ($k>0$) ou une décroissance vers zéro ($k<0$).

7.8

Conseils d'examen

Résolvez une équation sécable en plaçant tous les $y$ d'un côté et tous les $x$ de l'autre, puis intégrez les deux côtés (ajoutez $+C$ une seule fois).
Utilisez la condition initiale pour trouver $C$ (une solution particulière).
Tracez ou lisez un champ de pentes : les petits segments montrent $\tfrac{dy}{dx}$ en chaque point, et une courbe solution les suit.
Reconnaissez les modèles exponentiels $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (croissance/décroissance).
Une équation différentielle donne la pente ; vous devez intégrer pour retrouver la fonction.

Leçons interactives sur ce sujet

Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.

Épreuves Passées

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