Determining Limits Using the Squeeze Theorem · Déterminer des limites à l'aide du théorème des gendarmes
| English | Français |
|---|---|
| Squeeze Theorem/skwiːz ˈθɪərəm/ | Théorème des gendarmes |
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | inégalité |
Trap a wild function between two tame ones
- Some limits resist substitution and algebra — like $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$, which wiggles infinitely fast.
- The escape: trap the messy function between two friendlier ones.
- If the upper and lower "walls" both head to the same height, the trapped function has nowhere else to go.
- This is the Squeeze Theorem 夹逼定理 (also called the Sandwich Theorem).
Piège : encadrer une fonction erratique entre deux fonctions tranquilles
- Certaines limites résistent à la substitution ET à l'algèbre — comme $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$, qui oscille infiniment vite.
- La solution : encadrer la fonction désordonnée entre deux plus amicales.
- Si les murs supérieur et inférieur tendent tous deux vers la même hauteur, la fonction piégée n'a nul part ailleurs où aller.
- C'est le Théorème des Gendarmes 夹逼定理 (aussi appelé Théorème du Sandwich).
Trapping a function between two others with equal limits uses the ____ Theorem. · Piéger une fonction entre deux autres ayant des limites égales utilise le Théorème de ____.
Also called the Sandwich Theorem. · Aussi appelé théorème du sandwich.
What the theorem says
- Suppose near $c$ (except maybe at $c$ itself) we have $g(x)\le f(x)\le h(x)$.
- If $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, then $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ too.
- The two bounds squeeze $f$ onto the single value $L$.
- You need two things: a valid inequality 不等式 near $c$, and equal limits for the bounds.
Ce que dit le théorème
- Supposons qu'au voisinage de $c$ (sauf peut-être au point $c$ lui-même) nous ayons $g(x)\le f(x)\le h(x)$.
- Si $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, alors $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ aussi.
- Les deux bornes compressent $f$ vers la valeur unique $L$.
- Vous avez besoin de deux choses : une inégalité 不等式 valide près de $c$, et des limites égales pour les bornes.
To apply the Squeeze Theorem to $f$ near $c$, you need all · tout of... · Pour appliquer le théorème des gendarmes à $f$ près de $c$, vous avez besoin de tout ce qui suit...
You need two-sided bounds with equal limits, valid near $c$. $f$ need not be a polynomial — that is the whole point. · Vous avez besoin de bornes bilatérales avec des limites égales, valables près de $c$. $f$ ne doit pas être un polynôme — c'est là toute la portée du théorème.
The classic wiggle
- $\sin\tfrac1x$ swings between $-1$ and $1$ forever as $x\to0$ — no limit on its own.
- But multiply by $x^2$: since $-1\le\sin\tfrac1x\le1$, we get $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$.
- Both walls $\pm x^2 \to 0$ as $x\to0$.
- Squeezed between them, $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x=0$.
Le classique balancement
- $\sin\tfrac1x$ alterne indéfiniment entre $-1$ et $1$ lorsque $x\to0$ → aucune limite propre.
- Mais multipliez par $x^2$ : puisque $-1\le\sin\tfrac1x\le1$, nous obtenons $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$.
- Les deux murs $\pm x^2 \to 0$ lorsque $x\to0$.
- Encadrée entre elles, $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x=0$.
The squeezing wall $y=x^2$ · Le mur de compression $y=x^2$
y = ax²
The parabola $y=x^2$ and its mirror $-x^2$ both pinch to $0$ at the origin — anything trapped between them is forced to $0$. · La parabole $y=x^2$ et son miroir $-x^2$ pincent tous deux vers $0$ à l'origine — tout ce qui est pris entre eux est forcé d'atteindre $0$.
Using $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$, find $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$. · En utilisant $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$, trouvez $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$.
Both walls $\pm x^2\to 0$, so the trapped function $\to 0$. · Les deux murs $\pm x^2\to 0$, donc la fonction piégée $\to 0$.
Checking the setup honestly
- The inequality only has to hold near $c$, not everywhere — a small interval around $c$ is enough.
- The bounds' limits must be equal; if the walls head to different heights, the theorem says nothing.
- Squeeze is the standard route to the famous $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, from the geometric bounds $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$.
- Always name your two bounding functions explicitly — that is the heart of the argument.
Vérifier honnêtement la configuration
- L'inégalité n'a besoin de tenir que près de $c$, pas partout — un petit intervalle autour de $c$ suffit.
- Les limites des bornes doivent être égales ; si les murs tendent vers des hauteurs différentes, le théorème ne conclut rien.
- Le gendarme est la voie standard vers la fameuse $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, via les bornes géométriques $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$.
- Nommez toujours explicitement vos deux fonctions bornes — c'est le cœur de l'argumentation.
Bounding $f$ from above only, with $f(x)\le h(x)$, is enough to apply the Squeeze Theorem. · Borner $f$ uniquement par le haut, avec $f(x)\le h(x)$, suffit pour appliquer le théorème des gendarmes.
You need bounds on both · les deux sides with equal limits — one bound proves nothing. · Vous avez besoin de bornes des deux côtés avec des limites égales ; une seule borne ne prouve rien.
The Squeeze Theorem, with $\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$, gives $\displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=$ · Le théorème des gendarmes, avec $\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$, donne $\displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=$
As $x\to0$, $\cos x\to1$ and the upper bound is $1$, so the middle is squeezed to $1$. · Lorsque $x\to0$, $\cos x\to1$ et la borne supérieure tendent vers $1$, alors le milieu est comprimé vers $1$.
If the lower bound heads to $2$ and the upper bound heads to $5$, the Squeeze Theorem tells you the trapped limit is... · Si la borne inférieure tend vers $2$ et la borne supérieure tend vers $5$, le théorème des gendarmes indique que la limite piégée est...
The bounds must have equal · égales limits; unequal walls give no conclusion. · Les bornes doivent avoir des limites égales ; des murs inégaux ne donnent aucune conclusion.
The Squeeze Theorem needs the bounds to squeeze from both sides with equal limits. If you only bound $f$ from above ($f\le h$), or the two bounds head to different values, you have proved nothing. And the inequality must genuinely hold near $c$ — check it, don't assume it.
Le Théorème des Gendarmes exige que les bornes compriment de chacun des côtés avec des limites égales. Si vous bornez $f$ uniquement par le haut ($f\le h$), ou si les deux bornes tendent vers des valeurs différentes, vous n'avez prouvé rien. Et l'inégalité doit vraiment tenir près de $c$ — vérifiez-la, ne la supposez pas.
Show $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\tfrac1x=0$.
- For all $x\neq0$: $-1\le\cos\tfrac1x\le1$.
- Multiply by $x^2\ (\ge0)$: $-x^2\le x^2\cos\tfrac1x\le x^2$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}(-x^2)=0$ and $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$.
- By the Squeeze Theorem, the middle limit is also $0$.
Montrez $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\tfrac1x=0$.
- Pour tout $x\neq0$ : $-1\le\cos\tfrac1x\le1$.
- Multiplier par $x^2\ (\ge0)$ : $-x^2\le x^2\cos\tfrac1x\le x^2$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}(-x^2)=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$.
- Par le Théorème des Gendarmes, la limite centrale est aussi $0$.
The Squeeze Theorem: if $g\le f\le h$ near $c$ and $\lim g=\lim h=L$, then $\lim f=L$. Use it when a function oscillates or otherwise resists direct methods — bound it above and below by functions with equal limits, verify the inequality near $c$, and $f$ is trapped onto $L$.
Le Théorème des Gendarmes : si $g\le f\le h$ au voisinage de $c$ et $\lim g=\lim h=L$, alors $\lim f=L$. Utilisez-le quand une fonction oscille ou résiste aux méthodes directes : bornez-la par le haut et par le bas avec des fonctions ayant des limites égales, vérifiez l'inégalité près de $c$, et $f$ sera comprimée vers $L$.