Defining Continuity at a Point · Définir la continuité en un point
| English | Français |
|---|---|
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | continue |
"Draw it without lifting your pen"
- Intuitively, a function is continuous 连续 at $c$ if its graph has no break there — no hole, no jump, no blow-up.
- But "no break" needs a precise test you can check, not just eyeball.
- Calculus pins it to three conditions, all about the point $c$.
- Pass all three and the curve flows smoothly through $\big(c, f(c)\big)$.
"Dessinez-le sans lever votre stylo"
- Intuitivement, une fonction est continue 连续 en $c$ si son graphe n'y présente aucune rupture — ni trou, ni saut, ni explosion.
- Mais « sans rupture » nécessite un test précis que vous pouvez vérifier, et non juste observer à l'œil nu.
- Le calcul différentiel l'ancrage sur trois conditions, toutes relatives au point $c$.
- Si vous passez les trois, la courbe s'écoule fluidement à travers $\big(c, f(c)\big)$.
A curve with no break · Une courbe sans rupture
y = ax² + bx + c
This polynomial passes all three continuity conditions at every point — defined, limit exists, and the two match. · Ce polynôme satisfait les trois conditions de continuité en tout point — défini, la limite existe, et les deux coïncident.
The three conditions
- (1) $f(c)$ is defined — the point actually exists (no hole).
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ exists — both one-sided limits agree (no jump, no blow-up).
- (3) They are equal: $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — the curve arrives exactly where the point sits.
- All three must hold. Continuity at $c$ is precisely conditions (1) + (2) + (3).
Les trois conditions
- (1) $f(c)$ est défini — le point existe réellement (pas de trou).
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ existe — les deux limites unilatérales concordent (pas de saut, pas d'explosion).
- (3) Elles sont égales : $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — la courbe arrive exactement là où se trouve le point.
- Les trois doivent être remplies. La continuité en $c$ équivaut précisément aux conditions (1) + (2) + (3).
Select all · tout conditions required for $f$ to be continuous at $c$. · Sélectionnez toutes les conditions requises pour que $f$ soit continue en $c$.
The three conditions are defined, limit-exists, and equal. Being a polynomial is not required. · Les trois conditions sont : défini, limite existe, et égalité. Le fait d'être un polynôme n'est pas requis.
The third continuity condition says the limit must ____ the function value $f(c)$. · La troisième condition de continuité stipule que la limite doit ____ la valeur de la fonction $f(c)$.
$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
Break any one → discontinuity
- Fail (1): the point is missing — a hole even if the limit exists.
- Fail (2): the sides disagree or the function blows up — a jump or infinite break.
- Fail (3): both exist but the dot floats off the curve — a removable hole plotted elsewhere.
- Each failure matches a discontinuity type from the previous lesson.
Enfreindre l'une d'elles → discontinuité
- Échec de (1) : le point manque — un trou même si la limite existe.
- Échec de (2) : les côtés divergent ou la fonction explose — un saut ou une rupture infinie.
- Échec de (3) : les deux existent mais le point flotte hors de la courbe — un trou amovible tracé ailleurs.
- Chaque échec correspond à un type de discontinuité de la leçon précédente.
If $f(c)=1$ and · et $\lim_{x\to c}f(x)=4$, then at $c$ the function is... · Si $f(c)=1$ et $\lim_{x\to c}f(x)=4$, alors en $c$ la fonction est...
Both exist but disagree — condition 3 fails, so $f$ is discontinuous (a removable hole). · Les deux existent mais ne coïncident pas — la condition 3 échoue, donc $f$ est discontinue (trou amovible).
Checking a specific point
- Plug in: is $f(c)$ a real number? (Condition 1.)
- Take the limit from both sides: do they agree on a value $L$? (Condition 2.)
- Compare: does $L=f(c)$? (Condition 3.)
- Only "yes, yes, yes" earns the label continuous at $c$.
Vérifier un point spécifique
- Substituer : $f(c)$ est-il un nombre réel ? (Condition 1.)
- Calculer la limite des deux côtés : convergent-ils vers une même valeur $L$ ? (Condition 2.)
- Comparer : $L=f(c)$ ? (Condition 3.)
- Seul « oui, oui, oui » mérite l'étiquette continue en $c$.
Merely knowing $f(c)$ is defined is enough to conclude $f$ is continuous at $c$. · Savoir simplement que $f(c)$ est défini suffit à conclure que $f$ est continue en $c$.
You also need the limit to exist and to equal $f(c)$. · Il faut aussi que la limite existe et soit égale à $f(c)$.
For · Pour $f(x)=x^2+1$, is $f$ continuous at $x=2$? · Pour $f(x)=x^2+1$, est-ce que $f$ est continue en $x=2$ ?
All three conditions hold, so $f$ is continuous at $2$ (polynomials are continuous everywhere). · Les trois conditions sont remplies, donc $f$ est continue en $2$ (les polynômes sont continus partout).
For continuity of $f$ at $x=1$ we need $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$. If $\lim_{x\to1}f(x)=7$, what must $f(1)$ equal? · Pour la continuité de $f$ en $x=1$, nous avons besoin de $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$. Si $\lim_{x\to1}f(x)=7$, quelle valeur doit prendre $f(1)$ ?
Condition 3 forces $f(1)=7$. · La condition 3 force $f(1)=7$.
All three conditions are needed — checking only that $f(c)$ exists, or only that the limit exists, is not enough. A function can have a perfectly good $f(c)=1$ and a perfectly good $\lim_{x\to c}f(x)=4$, yet still be discontinuous because $1\neq4$ (condition 3 fails).
Les trois conditions sont nécessaires — vérifier seulement que $f(c)$ existe, ou seulement que la limite existe, ne suffit pas. Une fonction peut avoir un $f(c)=1$ parfait et un $\lim_{x\to c}f(x)=4$ parfait, tout en restant discontinue car $1\neq4$ (la condition 3 échoue).
Is $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x;\neq1\\[4pt]3,&x;=1\end{cases}$ continuous at $x=1$?
- (1) $f(1)=3$ — defined. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — exists. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — not equal. ✗
- Condition (3) fails, so $f$ is discontinuous at $1$ (a removable hole with the point plotted at height $3$).
La fonction $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x;\neq1\\[4pt]3,&x;=1\end{cases}$ est-elle continue en $x=1$ ?
- (1) $f(1)=3$ — définie. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — existe. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — non égale. ✗
- La condition (3) échoue, donc $f$ est discontinue en $1$ (un trou amovible avec le point tracé à la hauteur $3$).
$f$ is continuous at $c$ exactly when three things hold: $f(c)$ is defined, $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ exists, and the two are equal. Fail any one and you get a discontinuity — the failed condition tells you which type.
La fonction $f$ est continue en $c$ exactement lorsque trois choses sont réunies : $f(c)$ est définie, $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ existe, et les deux sont égales. Échec de l'une d'elles donne une discontinuité — la condition défaillante indique le type.