Geometría

Una esquina donde se encuentran dos líneas es un vértice. Dos líneas son paralelas si nunca se encuentran, y perpendiculares si se encuentran en un ángulo recto. Los ángulos se nombran según su tamaño:

Nombramos un ángulo con tres letras, por ejemplo, el ángulo $ABC$ es el ángulo en $B$.

Aprenda estos hechos básicos. Cada uno es una razón válida en el examen.

• Angles at a point add up to $360^{\circ}$.
• Angles on a straight line add up to $180^{\circ}$.
• Ángulos opuestos por el vértice (formados por dos líneas que se cruzan) son iguales.

Ejemplo resuelto. Tres ángulos en una línea recta son $x$, $50^{\circ}$ y $70^{\circ}$. Encuentre $x$.

When a line crosses two parallel lines:

• Ángulos correspondientes (en posiciones coincidentes, forma de "F") son iguales.
• Ángulos alternos (en lados opuestos de la línea de intersección, forma de "Z") son iguales.
• Co-interior angles (a "C" shape) add up to $180^{\circ}$; we say they are supplementary.

Ejemplo resuelto. Una línea recta cruza dos líneas paralelas. Un ángulo es $110^{\circ}$. El ángulo co-interior $y$ satisface $110 + y = 180$, por lo que $y = 70^{\circ}$.

Un triángulo tiene tres lados y ángulos que suman $180^{\circ}$.

Worked example. A triangle has angles $x$, $2x$ y $90^{\circ}$. Find $x$.

Un cuadrilátero tiene cuatro lados y ángulos que suman $360^{\circ}$.

Un polígono es una forma con lados rectos. Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales.

For a polygon with $n$ sides:

El ángulo interior y el ángulo exterior en cada esquina suman $180^{\circ}$.

Ejemplo resuelto. Calcula cada ángulo interior de un hexágono regular.

El ángulo exterior es $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$, por lo que cada ángulo interior es $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

• Una forma tiene simetría axial si una línea de espejo la divide en dos mitades coincidentes.
• Una forma tiene simetría rotacional si coincide consigo misma mientras gira. El orden es cuántas veces coincide en una vuelta completa.

For solids (Extended), a flat slice that splits the solid into mirror halves is a plane of symmetry, and a line you can spin it around is an axis of symmetry.

Utilízalos para encontrar ángulos desconocidos, indicando siempre la razón.

For both levels:

• The angle in a semicircle is $90^{\circ}$.
• El ángulo entre una tangente y un radio es $90^{\circ}$.

Extended (theorems I):

• El ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia (apoyado en el mismo arco).
• Angles in the same segment are equal.
• Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman $180^{\circ}$.
• El alternate segment theorem: the angle between a tangent and a chord equals the angle in the other segment.

Avanzado (teoremas II): cuerdas iguales están a la misma distancia del centro; la mediatriz de una cuerda pasa por el centro; dos tangentes desde el mismo punto exterior son iguales en longitud.

Ejemplo resuelto. A, B, C están en un círculo. El ángulo en la circunferencia $ABC$ es $40^{\circ}$. Encuentre el ángulo $AOC$ en el centro $O$.

El ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia: $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.

Dos formas son similares si una es una ampliación de la otra: mismos ángulos y todos los lados multiplicados por el mismo factor de escala $k$. (Las formas que son exactamente del mismo tamaño y forma son congruentes).

For similar shapes and solids:

Ejemplo resuelto. Dos sólidos similares tienen longitudes en la razón $2 : 3$. El más pequeño tiene volumen $40\text{ cm}^{3}$. Encuentre el volumen del más grande.

The volume ratio is $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$. So the larger volume is $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$.

Un rumbo indica una dirección como un ángulo de tres cifras, medido en sentido horario desde el norte, desde $000^{\circ}$ hasta $360^{\circ}$. Por lo tanto, el este exacto es $090^{\circ}$ y el sur exacto es $180^{\circ}$.

Ejemplo resuelto. La acimut de $B$ desde $A$ es $025^{\circ}$. Encuentra la acimut de $A$ desde $B$.

The return (back) bearing differs by $180^{\circ}$: $025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$.

• Para construir un triángulo a partir de tres lados dados, dibuja la base con una regla y luego utiliza un par de compases para marcar cada otro lado como un arco. Deja los arcos de construcción visibles.
• Una malla es una forma plana que se pliega para formar un sólido. Puede usar una malla para calcular áreas superficiales.
• Un dibujo a escala muestra un objeto real más pequeño (o más grande) según una escala fija, como $1\text{ cm}$ a $5\text{ m}$.

Common solids and their parts:

A flat side of a solid is a face, two faces meet at an edge, and the whole outside is its surface.

• Los ángulos sobre una línea recta suman $180°$, alrededor de un punto $360°$, y en un triángulo $180°$. Da una razón para cada paso de una pregunta de ángulos.
• Aprenda los teoremas del círculo: el ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia; el ángulo en un semicírculo es $90°$; los ángulos en el mismo segmento son iguales; los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman $180°$.
• Los ángulos exteriores de cualquier polígono suman $360°$, y cada ángulo interior + su ángulo exterior = $180°$.
• Las acimuts se miden en sentido horario desde el norte y siempre se escriben con tres cifras (p. ej., $072°$).