Álgebra y gráficas

En el álgebra usamos letras para representar números. Una letra cuyo valor puede cambiar es una variable. Sustituir significa poner un número en lugar de una letra.

Ejemplo resuelto. Encuentra el valor de $3x^{2} - 2y$ cuando $x = 4$ y $y = 5$.

Un término es una parte individual de una expresión, como $5a$ o $-9b$. Los términos semejantes tienen exactamente las mismas letras; puedes sumarlas o restarlas. El número delante de la letra es el coeficiente.

Ejemplo resuelto. Simplifique $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.

Agrupa términos semejantes: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. Así que la respuesta es

Expandir significa multiplicar los paréntesis. Multiplica cada término dentro por el término exterior; para dos paréntesis, multiplica cada término del primero por cada término del segundo.

Ejemplos resueltos.

Para tres paréntesis (Extended), expande dos primero, luego multiplica por el tercero:

Factorizar es lo opuesto a expandir: escribe la expresión como un producto de paréntesis. Siempre saca primero el factor común.

Ejemplo resuelto. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, porque $3x$ divide ambos términos.

Los siguientes patrones son Extended.

Por agrupación (cuatro términos): saca un factor común de cada par.

Diferencia de cuadrados 平方差: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.

Cuadrado perfecto 完全平方: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.

Expresiones cuadráticas $ax^{2} + bx + c$: encuentra dos números que multiplicados den $a \times c$ y sumados den $b$, luego divide el término medio.

Ejemplo resuelto. Factoriza $2x^{2} + 7x + 3$.

Aquí $a \times c = 6$ y $b = 7$. Los números $1$ y $6$ funcionan. Divide y agrupa:

Para $ax^{3} + bx^{2} + cx$, saca primero el factor común $x$: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.

Completar el cuadrado reescribe $x^{2} + bx + c$ como $(x + p)^{2} + q$. Toma la mitad del coeficiente de $x$, eleva al cuadrado y equilibra.

Ejemplo resuelto. Escribe $x^{2} + 6x + 1$ en forma completada.

La mitad de $6$ es $3$, y $3^{2} = 9$:

Cuando el término $x^{2}$ tiene un coeficiente, sácalo de los primeros dos términos primero:

Una fracción algebraica tiene álgebra en el numerador o denominador. Suma y resta usando un denominador común; multiplica y divide como con fracciones ordinarias.

Ejemplos resueltos.

Para simplificar una expresión racional, factoriza el numerador y el denominador, luego cancela los paréntesis comunes.

Las leyes de los índices también funcionan con letras: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$, y $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.

Ejemplos resueltos.

También puedes resolver ecuaciones de índices simples escribiendo ambos lados con la misma base.

Ejemplo resuelto. Resuelve $2^{x} = 32$. Dado que $32 = 2^{5}$, obtienes $x = 5$.

Una ecuación dice que dos expresiones son iguales. Para resolver una ecuación lineal, realiza la misma operación en ambos lados hasta que la incógnita esté sola.

Ejemplo resuelto. Resuelva $5 - 2x = 3(x + 7)$.

Ecuaciones fraccionarias (Extended)

Una ecuación fraccionaria tiene la incógnita en un denominador. Multiplica ambos lados por el denominador para eliminarlo.

Ejemplo resuelto. Resuelva $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.

Ecuaciones simultáneas

Las ecuaciones simultáneas son dos ecuaciones resueltas juntas. Para dos ecuaciones lineales, suma o resta para eliminar una letra.

Ejemplo resuelto. Resuelve $2x + y = 7$ y $3x - y = 8$.

Sumar elimina $y$: $5x = 15$, así que $x = 3$. Luego $y = 7 - 2(3) = 1$.

Para una ecuación lineal y una ecuación cuadrática (Extended), sustituye la lineal en la curva.

Ejemplo resuelto. Resuelve $y = x + 2$ y $y = x^{2}$.

así que $x = 2$ (dando $y = 4$) o $x = -1$ (dando $y = 1$).

Resolviendo ecuaciones cuadráticas (Extended)

Hay tres métodos.

• Por factorización: $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ o $x = -3$.
• Por completar el cuadrado: $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• Por la fórmula cuadrática, que se proporciona en el examen:
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

Ejemplo resuelto (fórmula). Resuelve $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Aquí $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:

Cambiar el sujeto

Cambiar el sujeto de una fórmula significa rearrreglarla para que una letra elegida esté sola en un lado.

Ejemplo resuelto. Haz que $r$ sea el sujeto de $A = \pi r^{2}$ (Extended, debido al exponente).

Cuando la letra aparece dos veces (Extended), agrupa esos términos y factoriza. Para hacer que $x$ sea el sujeto de $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:

Una desigualdad usa $<$, $>$, $\leqslant$ o $\geqslant$. Resuélvela como una ecuación, pero invierte el signo si multiplicas o divides por un número negativo.

Ejemplo resuelto. Resuelva $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.

Suma $2$ a todas las partes, luego divide por $3$:

En una recta numérica, usa un círculo abierto para $<$ o $>$ (valor no incluido) y un círculo cerrado para $\leqslant$ o $\geqslant$ (valor incluido).

Regiones (Extended)

Una desigualdad en dos letras describe una región de la gráfica. Dibuja la línea límite (rota para $<$ o $>$, sólida para $\leqslant$ o $\geqslant$) y sombre el lado no deseado. También te pueden pedir listar las desigualdades que definen una región dada.

Una secuencia es una lista de números que siguen una regla. La regla de término a término te dice cómo obtener el siguiente término a partir del anterior.

Para encontrar la regla para el término en la posición $n$ (el $n$th término), observa cómo cambian los términos.

Secuencia lineal (los términos aumentan en la misma cantidad cada vez). La diferencia es el múltiplo de $n$.

Ejemplo resuelto. Encuentra el $n$th término de $2, 5, 8, 11, \dots$

Los términos aumentan en $3$, así que comienza con $3n$. Dado que $3 \times 1 = 3$ pero el primer término es $2$, resta $1$: el $n$th término es $3n - 1$.

Secuencia cuadrática (las diferencias mismas cambian en la misma cantidad). La segunda diferencia es igual a $2 \times$ el coeficiente de $n^{2}$.

Ejemplo resuelto. Encuentra el $n$th término de $2, 5, 10, 17, \dots$

Las diferencias primeras son $3, 5, 7$; la diferencia segunda es $2$, por lo que la parte $n^{2}$ es $1n^{2}$. Restando $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) de la secuencia queda $1, 1, 1, 1$. Así que el término $n$ es $n^{2} + 1$.

Una secuencia cúbica 三次 como $1, 8, 27, 64, \dots$ tiene el término $n$ igual a $n^{3}$. Una secuencia exponencial 指数数列 como $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplica por un número fijo cada vez; aquí el término $n$ es $2 \times 3^{\,n-1}$.

Dos cantidades están en proporción directa 正比例 si una es siempre un múltiplo fijo de la otra: $y \propto x$ significa $y = kx$, donde $k$ es una constante 常数. Están en proporción inversa 反比例 si una aumenta mientras la otra disminuye: $y \propto \dfrac{1}{x}$ significa $y = \dfrac{k}{x}$. El símbolo $\propto$ se lee "es proporcional a". También puede haber proporción al cuadrado, raíz cuadrada, cubo o raíz cúbica.

Ejemplo resuelto. $y$ está en proporción directa con $x$, y es $y = 12$ cuando $x = 3$. Encuentre $y$ cuando $x = 7$.

Primero encuentre $k$: $12 = k \times 3$, así que $k = 4$ y $y = 4x$. Luego $y = 4 \times 7 = 28$.

La pendiente 斜率 (inclinación) de una gráfica muestra una tasa de cambio 变化率.

• Una gráfica de viaje 行程图 (gráfica distancia-tiempo) tiene una pendiente igual a la velocidad; una parte plana significa que el objeto no se mueve.
• Una gráfica de conversión 换算图 es una línea recta utilizada para cambiar entre dos unidades (por ejemplo, millas y kilómetros).

Gráficas velocidad-tiempo (Avanzado)

En una gráfica velocidad-tiempo la pendiente es la aceleración 加速度 (o desaceleración 减速度 si la velocidad disminuye), y el área 面积 bajo la gráfica es la distancia 距离 recorrida.

Ejemplo resuelto. Un coche acelera desde el reposo hasta $20\text{ m/s}$ en $8\text{ s}$, luego se mantiene a $20\text{ m/s}$ durante $12\text{ s}$. Encuentre la aceleración y la distancia total.

Aceleración $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. La distancia es el área: un triángulo más un rectángulo,

Para dibujar una gráfica, haga una tabla de valores 数值表: elija valores de $x$, calcule $y$, luego grafique las coordenadas 坐标 y únalas con una curva suave.

Los puntos donde una gráfica cruza el eje $x$ (el eje horizontal axis 坐标轴) son las raíces 根 — las soluciones de $y = 0$.

Puede resolver una ecuación leyendo una gráfica. El punto de intersección 交点 de una línea y una curva da la solución de las dos ecuaciones juntas.

Para el crecimiento exponencial 指数增长 y el decaimiento exponencial 指数衰减, la gráfica de $y = a\,b^{x} + c$ sube (o baja) cada vez más rápido y se aplana hacia una línea horizontal.

Un esbozo rápido debe mostrar la forma correcta y las características clave: dónde cruza los ejes, cualquier simetría 对称, y cualquier línea a la que la curva se acerque.

Para una parábola, completar el cuadrado da el punto de giro 转折点 (el punto más bajo o más alto). Por ejemplo, $y = (x + 3)^{2} - 8$ tiene su punto de giro en $(-3, -8)$.

Una asíntota 渐近线 es una línea a la que la curva se acerca cada vez más pero nunca toca — por ejemplo, el eje $x$ para $y = \dfrac{a}{x}$, o la línea $y = b$ para $y = a\,r^{x} + b$.

La diferenciación 微 encuentra la pendiente de una curva en cualquier punto. Puede estimarla trazando una tangente 切线 (una línea que solo toca la curva) y midiendo su pendiente.

La regla exacta: si $y = ax^{n}$, entonces la derivada 导数 es

Diferencie una suma término por término.

Ejemplo resuelto. Si $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, entonces $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.

Un punto estacionario 驻点 (punto de giro) es donde la pendiente es cero, así que iguale $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$ a cero.

Ejemplo resuelto. Encuentre el punto de giro de $y = x^{2} - 6x + 5$.

El punto de giro es $(3, -4)$. Para decidir si un punto de giro es un máximo 最大值 o un mínimo 最小值, verifique el signo de la pendiente en cada lado, o use la segunda derivada (positiva significa un mínimo).

Una función 函数 convierte cada entrada en una salida. Escribimos $f(x)$, por ejemplo $f(x) = 3x - 5$, así que $f(2) = 1$. El conjunto de entradas permitidas es el dominio 定义域; el conjunto de salidas posibles es el rango 值域.

La función inversa 反函数 $f^{-1}(x)$ deshace la función. Para encontrarla, escriba $y = f(x)$, intercambie los roles, y haga $x$ el sujeto.

Ejemplo resuelto. Halla la inversa de $f(x) = 3x - 5$.

Una función compuesta 复合函数 aplica una función después de otra: $gf(x)$ significa "hacer $f$ primero, luego $g$".

Ejemplo resuelto. Si $f(x) = 2x$ y $g(x) = x + 3$, entonces

• Cuando expande los paréntesis, multiplique cada término y vigile los signos, especialmente con un menos delante: $-(x - 3) = -x + 3$.
• Para resolver una ecuación, haga lo mismo en ambos lados. Cuando multiplique o divida una desigualdad por un número negativo, invierta el signo.
• Factorice completamente: saque primero el factor común más alto, luego busque una diferencia de dos cuadrados o un patrón cuadrático.
• Una cuadrática generalmente tiene dos soluciones — dé ambas. Verifique si la pregunta quiere factorización, la fórmula o completar el cuadrado.
• Al sustituir en una fórmula, ponga cada valor entre paréntesis primero, para que los signos y potencias salgan bien.