Álgebra y gráficas

En álgebra usamos letras para representar números. Una letra cuyo valor pueda cambiar es una variable. Sustituir significa poner un número en lugar de una letra.

Ejemplo resuelto. Encuentra el valor de $3x^{2} - 2y$ cuando $x = 4$ y $y = 5$.

Un término es una parte individual de una expresión, como $5a$ o $-9b$. Los términos semejantes tienen las mismas letras elevadas a las mismas potencias; se pueden sumar o restar. El número delante de la letra es el coeficiente.

Ejemplo resuelto. Simplifique $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.

Agrupa términos semejantes: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. Así que la respuesta es

Para expandir significa multiplicar los paréntesis. Multiplica cada término dentro por el término fuera; para dos paréntesis, multiplica cada término del primero por cada término del segundo.

Ejemplos resueltos.

Errores comunes. Multiplicar solo el primer término dentro de un paréntesis ($3(x + 4) = 3x + 12$, no $3x + 4$), perder un signo menos ($-2(x - 5) = -2x + 10$) y escribir $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$. Elevar al cuadrado un paréntesis da tres términos: $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9$.

Para tres paréntesis (Extended), expande dos primero, luego multiplica por el tercero:

Factorizar es lo opuesto a expandir: escribe la expresión como un producto de paréntesis. Siempre extrae primero el factor común.

Ejemplo resuelto. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, porque $3x$ divide ambos términos.

Los siguientes patrones son Extended.

Por agrupación (cuatro términos): saca un factor común de cada par.

Diferencia de cuadrados: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.

Cuadrado perfecto: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.

Las expresiones cuadráticas $ax^{2} + bx + c$: encuentre dos números que multipliquen para dar $a \times c$ y sumen para dar $b$, luego separe el término central.

Ejemplo resuelto. Factoriza $2x^{2} + 7x + 3$.

Aquí $a \times c = 6$ y $b = 7$. Los números $1$ y $6$ funcionan. Divide y agrupa:

Para $ax^{3} + bx^{2} + cx$, saca primero el factor común $x$: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.

Completar el cuadrado reescribe $x^{2} + bx + c$ como $(x + p)^{2} + q$. Toma la mitad del coeficiente de $x$, eleva al cuadrado y equilibra.

Ejemplo resuelto. Escribe $x^{2} + 6x + 1$ en forma completada.

La mitad de $6$ es $3$, y $3^{2} = 9$:

Cuando el término $x^{2}$ tiene un coeficiente, sácalo de los primeros dos términos primero:

Una fracción algebraica tiene álgebra en el numerador o denominador. Suma y resta usando un denominador común; multiplica y divide como con fracciones ordinarias.

Ejemplos resueltos.

Para simplificar una expresión racional, factoriza el numerador y el denominador, luego cancela los paréntesis comunes.

Las leyes de los índices también funcionan con letras: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ y $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.

Ejemplos resueltos.

También puedes resolver ecuaciones simples de índices escribiendo ambos lados con la misma base.

Ejemplo resuelto. Resuelve $2^{x} = 32$. Dado que $32 = 2^{5}$, obtienes $x = 5$.

Una ecuación dice que dos expresiones son iguales. Para resolver una ecuación lineal, aplica la misma operación a ambos lados hasta dejar el incógnito solo.

Ejemplo resuelto. Resuelva $5 - 2x = 3(x + 7)$.

Error común. Pasar un término al otro lado del signo igual sin cambiar su signo. En su lugar, haz lo mismo en ambos lados: «restar $21$ de ambos lados» hace que el cambio de signo sea automático.

Ecuaciones fraccionarias (Extended)

Una ecuación fraccionaria tiene el incógnito en un denominador. Multiplica ambos lados por el denominador para eliminarlo.

Ejemplo resuelto. Resuelva $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.

Ecuaciones simultáneas

Ecuaciones simultáneas son dos ecuaciones resueltas juntas. Para dos ecuaciones lineales, suma o resta para eliminar una variable.

Ejemplo resuelto. Resuelve $2x + y = 7$ y $3x - y = 8$.

Sumar elimina $y$: $5x = 15$, así que $x = 3$. Luego $y = 7 - 2(3) = 1$.

Para una ecuación lineal y una ecuación cuadrática (Extended), sustituye la lineal en la curva.

Ejemplo resuelto. Resuelve $y = x + 2$ y $y = x^{2}$.

así que $x = 2$ (dando $y = 4$) o $x = -1$ (dando $y = 1$).

Resolviendo ecuaciones cuadráticas (Extended)

Hay tres métodos.

• Por factorización: $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ o $x = -3$.
• Por completar el cuadrado: $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• Por la fórmula cuadrática, que se proporciona en el examen:
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

Ejemplo resuelto (fórmula). Resuelve $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Aquí $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:

Cambiar el sujeto

Para despejar el sujeto de una fórmula significa reorganizarla para que una letra elegida quede sola de un lado.

Ejemplo resuelto. Haz que $r$ sea el sujeto de $A = \pi r^{2}$ (Extended, debido al exponente).

Cuando la letra aparece dos veces (Extended), agrupa esos términos y factoriza. Para hacer que $x$ sea el sujeto de $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:

Una desigualdad usa $<$, $>$, $\leqslant$ o $\geqslant$. Resuélvela como una ecuación, pero invierte el signo si multiplicas o divides por un número negativo.

Ejemplo resuelto. Resuelva $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.

Suma $2$ a todas las partes, luego divide por $3$:

Ejemplo resuelto. Resuelva $5 - 2x > 11$.

Dividir por $-2$ invierte el signo. Verifica con $x = -4$: $5 + 8 = 13 > 11$, lo cual es correcto.

Error común. Olvidar invertir el signo al dividir por un número negativo, lo que aquí daría la respuesta incorrecta $x > -3$.

Ejemplo resuelto (soluciones enteras). Enumera los números enteros $n$ que satisfacen $-3 \leqslant 2n + 1 < 9$.

Resta $1$: $-4 \leqslant 2n < 8$. Divide entre $2$: $-2 \leqslant n < 4$. Por lo tanto, $n = -2, -1, 0, 1, 2, 3$. El extremo $-2$ está incluido ($\leqslant$), pero $4$ no lo está ($<$).

En una recta numérica, usa un círculo abierto para $<$ o $>$ (valor no incluido) y un círculo cerrado para $\leqslant$ o $\geqslant$ (valor incluido).

Regiones (Extended)

Una desigualdad con dos variables describe una región del gráfico. Dibuja la línea de límite (discontinua para $<$ o $>$, continua para $\leqslant$ o $\geqslant$) y sombrea el lado no deseado. También pueden pedirte que escribas las desigualdades que definen una región dada.

Ejemplo resuelto. En una cuadrícula, muestra la región R que satisface $y \geqslant 1$, $x + y \leqslant 6$ y $y \leqslant 2x$. ¿Cuántos puntos de R tienen coordenadas enteras no negativas?

Traza cada frontera como una línea continua, porque todos los signos incluyen «igual a». Identifica el lado buscado con un punto de prueba que no esté en la línea, como $(3, 2)$: $2 \geqslant 1$, $3 + 2 = 5 \leqslant 6$ y $2 \leqslant 6$ son verdaderas, así que $(3, 2)$ está en R. Sombrea el otro lado de cada línea.

Cuenta fila por fila, incluidos los puntos sobre las líneas (los tres signos incluyen la igualdad): $5$ puntos en $y = 1$, $4$ en $y = 2$, $2$ en $y = 3$ y $1$ en $y = 4$, es decir, $12$ puntos. Si un signo fuera $<$ o $>$, la línea sería discontinua y los puntos sobre ella no contarían.

Una sucesión es una lista de números que siguen una regla. La regla de término a término te indica cómo obtener el siguiente término a partir del anterior.

Para encontrar la regla para el término en la posición $n$ (el $n$th término), observa cómo cambian los términos.

Secuencia lineal (los términos aumentan en la misma cantidad cada vez). La diferencia es el múltiplo de $n$.

Ejemplo resuelto. Encuentra el $n$th término de $2, 5, 8, 11, \dots$

Los términos aumentan en $3$, así que comienza con $3n$. Dado que $3 \times 1 = 3$ pero el primer término es $2$, resta $1$: el $n$th término es $3n - 1$.

Secuencia cuadrática (las diferencias mismas cambian en la misma cantidad). La segunda diferencia es igual a $2 \times$ el coeficiente de $n^{2}$.

Ejemplo resuelto. Encuentra el $n$th término de $2, 5, 10, 17, \dots$

Las diferencias primeras son $3, 5, 7$; la diferencia segunda es $2$, por lo que la parte $n^{2}$ es $1n^{2}$. Restando $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) de la secuencia queda $1, 1, 1, 1$. Así que el término $n$ es $n^{2} + 1$.

Una secuencia cúbica como $1, 8, 27, 64, \dots$ tiene su $n$-ésimo término en $n^{3}$. Una secuencia exponencial como $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplica por un número fijo cada vez; aquí el $n$-ésimo término es $2 \times 3^{\,n-1}$.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si una es siempre un múltiplo fijo de la otra: $y \propto x$ significa $y = kx$, donde $k$ es una constante. Son inversamente proporcionales si su producto es constante: $y \propto \dfrac{1}{x}$ significa $y = \dfrac{k}{x}$. El símbolo $\propto$ se lee «es proporcional a». También puede haber proporcionalidad con un cuadrado, una raíz cuadrada, un cubo o una raíz cúbica.

Ejemplo resuelto. $y$ está en proporción directa con $x$, y es $y = 12$ cuando $x = 3$. Encuentre $y$ cuando $x = 7$.

Primero encuentre $k$: $12 = k \times 3$, así que $k = 4$ y $y = 4x$. Luego $y = 4 \times 7 = 28$.

Ejemplo resuelto (inversa al cuadrado). $y$ es inversamente proporcional a $x^{2}$, y $y = 5$ cuando $x = 2$. Calcula $y$ cuando $x = 4$ y calcula $x$ cuando $y = 0.2$ ($x > 0$).

Escribe $y = \dfrac{k}{x^{2}}$. Entonces $5 = \dfrac{k}{4}$, por lo que $k = 20$ y $y = \dfrac{20}{x^{2}}$. Cuando $x = 4$: $y = 20 \div 16 = 1.25$. Cuando $y = 0.2$: $x^{2} = 20 \div 0.2 = 100$, por lo que $x = 10$. Comprueba el patrón: duplicar $x$ divide $y$ entre $2^{2} = 4$, y $5 \div 4 = 1.25$.

La pendiente (inclinación) de un gráfico muestra una tasa de cambio.

• Un gráfico de movimiento (distancia–tiempo) tiene pendiente igual a la velocidad; una parte plana indica que el objeto no se mueve.
• Un gráfico de conversión es una línea recta usada para cambiar entre dos unidades (por ejemplo, millas y kilómetros).

Ejemplo resuelto (un recorrido). Lena recorre en bicicleta $12$ km desde su casa hasta un lago en $40$ minutos, descansa allí durante $20$ minutos y luego regresa a casa en bicicleta en $30$ minutos. Calcula su rapidez en cada tramo en km/h y su rapidez media para todo el recorrido.

Primero convierte los minutos a horas: $40$ min $= \tfrac{2}{3}$ h y $30$ min $= \tfrac{1}{2}$ h. Ida: $12 \div \tfrac{2}{3} = 18$ km/h. Descanso: $0$ km/h (una línea horizontal). Regreso: $12 \div \tfrac{1}{2} = 24$ km/h; la línea desciende y es más inclinada. Rapidez media $=$ distancia total $\div$ tiempo total $= 24 \div 1.5 = 16$ km/h. El descanso cuenta en el tiempo total.

Gráficas velocidad-tiempo (Avanzado)

En un gráfico de velocidad–tiempo, la pendiente es la aceleración (o desaceleración si la velocidad disminuye), y el área bajo el gráfico es la distancia recorrida.

Ejemplo resuelto. Un coche acelera desde el reposo hasta $20\text{ m/s}$ en $8\text{ s}$, luego se mantiene a $20\text{ m/s}$ durante $12\text{ s}$. Encuentre la aceleración y la distancia total.

Aceleración $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. La distancia es el área: un triángulo más un rectángulo,

Para dibujar un gráfico, haz una tabla de valores: elige valores de $x$, calcula $y$, luego representa los coordenadas y únelos con una curva suave.

Los puntos donde un gráfico cruza el eje $x$ (el eje horizontal) son las raíces —las soluciones de $y = 0$.

Puedes resolver una ecuación leyendo un gráfico. El punto de intersección de una recta y una curva da la solución de ambas ecuaciones juntas.

Para el crecimiento exponencial y el decaimiento exponencial, considere $y = a\,b^{x} + c$ con $a>0$ y $b>0$, $b\ne1$. Si $b>1$, la gráfica crece conforme aumenta $x$ y se acerca a $y=c$ cuando $x$ disminuye. Si $0<b<1$, decae hacia $y=c$ conforme aumenta $x$.

Un boceto rápido debe mostrar la forma correcta y las características clave: dónde cruza los ejes, cualquier simetría y cualquier línea a la que la curva se acerque.

Para una parábola, completar el cuadrado da el punto de giro (el punto más bajo o más alto). Por ejemplo, $y = (x + 3)^{2} - 8$ tiene su punto de giro en $(-3, -8)$.

Una asíntota es una recta a la que la curva se aproxima en un límite determinado. Una curva puede cruzar una asíntota horizontal en otro punto. En estos ejemplos la curva no alcanza la recta indicada; por ejemplo, el eje $x$ para $y = \dfrac{a}{x}$ o la recta $y = b$ para $y = a\,r^{x} + b$.

Diferenciación encuentra la pendiente de una curva donde dicha pendiente existe. Puedes estimarla trazando una tangente (una línea que solo toca la curva) y midiendo su pendiente.

La regla exacta: si $y = ax^{n}$, entonces la derivada es

Diferencie una suma término por término.

Ejemplo resuelto. Si $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, entonces $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.

Un punto estacionario es donde la pendiente es cero. No necesariamente es un punto de inflexión: $y=x^3$ sigue aumentando a través de su punto estacionario en el origen. Para encontrar puntos estacionarios, iguala $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$.

Ejemplo resuelto. Encuentre el punto de giro de $y = x^{2} - 6x + 5$.

El punto de inflexión es $(3, -4)$. Para decidir si un punto de inflexión es un máximo o un mínimo, verifica el signo de la pendiente a cada lado, o usa la segunda derivada (positiva significa mínimo).

Ejemplo resuelto (una función cúbica). Para $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 2$, calcula la pendiente en $x = 2$; luego calcula los puntos de giro y determina cuál es un máximo.

En $x = 2$: $3(4) - 12 - 9 = -9$, así que la pendiente es $-9$. Para los puntos de giro, $3x^{2} - 6x - 9 = 0$, por lo que $x^{2} - 2x - 3 = 0$ y $(x - 3)(x + 1) = 0$: $x = 3$ o $x = -1$. Luego $y = 27 - 27 - 27 + 2 = -25$ y $y = -1 - 3 + 9 + 2 = 7$. La segunda derivada es $\dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} = 6x - 6$: en $x = 3$ es $12 > 0$, así que $(3, -25)$ es un mínimo; en $x = -1$ es $-12 < 0$, así que $(-1, 7)$ es un máximo.

Una función convierte cada entrada en una salida. Escribimos $f(x)$; por ejemplo, $f(x) = 3x - 5$, así que $f(2) = 1$. El conjunto de entradas permitidas es el dominio; el conjunto de salidas posibles es el rango.

La función inversa $f^{-1}(x)$ invierte la función original. Cada salida debe provenir de una sola entrada permitida; restringe el dominio original si es necesario. Para encontrarla, escribe $y = f(x)$, intercambia los roles y despeja $x$.

Ejemplo resuelto. Halla la inversa de $f(x) = 3x - 5$.

Una función compuesta aplica una función después de otra: $gf(x)$ significa «aplica primero $f$ y luego $g$».

Ejemplo resuelto. Si $f(x) = 2x$ y $g(x) = x + 3$, entonces

Errores comunes. Hacer primero la función externa ($gf(x)$ comienza con $f$, la más cercana a $x$), y confundir $f^{-1}(x)$ con $\dfrac{1}{f(x)}$. Para $f(x) = 3x - 5$, $f^{-1}(1) = 2$ pero no $\dfrac{1}{f(1)} = -\dfrac{1}{2}$.

• Cuando expande los paréntesis, multiplique cada término y vigile los signos, especialmente con un menos delante: $-(x - 3) = -x + 3$.
• Para resolver una ecuación, haga lo mismo en ambos lados. Cuando multiplique o divida una desigualdad por un número negativo, invierta el signo.
• Factorice completamente: saque primero el factor común más alto, luego busque una diferencia de dos cuadrados o un patrón cuadrático.
• Una cuadrática generalmente tiene dos soluciones — dé ambas. Verifique si la pregunta quiere factorización, la fórmula o completar el cuadrado.
• Al sustituir en una fórmula, ponga cada valor entre paréntesis primero, para que los signos y potencias salgan bien.