Este folleto cubre el Tema 5, Mensuración (medición de longitud, área y volumen). El contenido del Nivel Básico y del Nivel Avanzado es casi idéntico. En el examen, algunas fórmulas se proporcionan en la Lista de fórmulas, pero aún así debes aprenderlas todas.
Mensuración
IGCSE Matemáticas · Tema 5
7:47
Medición
La Gran Pirámide de Guiza ha estado de pie durante cuatro mil quinientos años. ¿Cuánta piedra hay dentro? Aproximadamente dos millones y medio de metros cúbicos — y uno…
Narración en inglés · Subtítulos en inglés + 中文 quemados en pantalla
5.1
Unidades de medida
Syllabus
| Contenido de la asignatura | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Utilizar unidades métricas de masa, longitud, área, volumen y capacidad en situaciones prácticas y convertir cantidades a unidades mayores o menores. | Las unidades incluyen: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. La conversión entre unidades incluye: • entre diferentes unidades de área, por ejemplo, $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • entre unidades de volumen y capacidad, por ejemplo, $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Utilice unidades métricas de masa, longitud, área, volumen y capacidad en situaciones prácticas y convierta cantidades a unidades más grandes o más pequeñas. | Las unidades incluyen: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. La conversión entre unidades incluye: • entre diferentes unidades de área, por ejemplo, $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • entre unidades de volumen y capacidad, por ejemplo, $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Utilizamos unidades métricas para masa (g, kg), longitud (mm, cm, m, km), área, volumen y capacidad (ml, litros — el espacio dentro de un recipiente).
Para cambiar de unidades, ten cuidado con los cuadrados y los cubos:
- Longitud: $1\text{ m} = 100\text{ cm}$.
- Área: $1\text{ m}^{2} = 100^{2} = 10\,000\text{ cm}^{2}$.
- Volumen: $1\text{ m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000\text{ cm}^{3}$.
- Capacidad: $1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^{3}$, por lo tanto $1\text{ m}^{3} = 1000$ litros.
Ejemplo resuelto. Convertir $3\text{ m}^{2}$ a $\text{cm}^{2}$.
$$3 \times 10\,000 = 30\,000\text{ cm}^{2}.$$
Explorar
Laboratorio de elección de unidad
Elija la unidad que coincida con la escala de medición.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | 体积 | tǐ jī |
| capacity/kəˈpæsɪti/ | 容量 | róng liàng |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | 周长 | zhōu cháng |
5.2
Perímetro y área de figuras básicas
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Realizar cálculos sobre el perímetro y el área de un rectángulo, triángulo, paralelogramo y trapecio. | Excepto para el área del triángulo, no se proporcionan fórmulas. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Realizar cálculos con el perímetro y el área de un rectángulo, triángulo, paralelogramo y trapecio. | Excepto por el área de un triángulo, no se proporcionan fórmulas. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
El perímetro es la distancia total alrededor de una figura. El área es la cantidad de espacio plano que contiene. Aquí $b$ es la base y $h$ es la altura perpendicular.
| Figura | Área |
|---|---|
| rectángulo | $\text{length} \times \text{width}$ |
| triángulo | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| paralelogramo | $b \times h$ |
| trapecio 梯形 | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, donde $a$ y $b$ son los dos lados paralelos |
Ejemplo resuelto. Un trapecio tiene lados paralelos $6\text{ cm}$ y $10\text{ cm}$, y una altura $4\text{ cm}$. Encuentra su área.
$$\tfrac{1}{2}(6 + 10) \times 4 = \tfrac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32\text{ cm}^{2}.$$
Explorar
Laboratorio de escalado del área
área = lado^2
Cambiar la longitud del lado y ver por qué el área crece de forma cuadrática.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| metric/ˈmetrɪk/ | 公制 | gōng zhì |
| mass/mæs/ | 质量 | zhì liàng |
| length/leŋθ/ | 长度 | cháng dù |
| area/ˈeərɪə/ | 面积 | miàn jī |
| base/beɪs/ | 底 | dǐ |
5.3
Círculos
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Realizar cálculos que involucren la circunferencia y el área de un círculo. | Las respuestas pueden solicitarse en términos de $\pi$. |
| 2 Realizar cálculos que involucren la longitud de arco y el área de un sector como fracciones de la circunferencia y el área de un círculo, donde el ángulo del sector es un factor de $360^\circ$. | Las fórmulas se encuentran en la Lista de fórmulas. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Realizar cálculos con la circunferencia y el área de un círculo. | Las respuestas pueden pedirse en términos de $\pi$. Las fórmulas se encuentran en la Lista de fórmulas. |
| 2 Realizar cálculos con la longitud del arco y el área del sector como fracciones de la circunferencia y el área de un círculo. | Incluye sectores menores y mayores. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Para un círculo 圆 con radio 半径 $r$ (y diámetro 直径 $d = 2r$):
$$\text{circumference} = 2\pi r = \pi d, \qquad \text{area} = \pi r^{2}.$$
La circunferencia 圆周 es la distancia alrededor del círculo.
Ejemplo resuelto. Un círculo tiene radio $7\text{ cm}$. Encuentra su circunferencia y área (deja $\pi$ en la respuesta).
$$\text{circumference} = 2\pi \times 7 = 14\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \pi \times 7^{2} = 49\pi\text{ cm}^{2}.$$
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | 圆 | yuán |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | 半径 | bàn jìng |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | 直径 | zhí jìng |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | 圆周 | yuán zhōu |
5.3
Arcos y sectores
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Realizar cálculos que involucren la circunferencia y el área de un círculo. | Las respuestas pueden solicitarse en términos de $\pi$. |
| 2 Realizar cálculos que involucren la longitud de arco y el área de un sector como fracciones de la circunferencia y el área de un círculo, donde el ángulo del sector es un factor de $360^\circ$. | Las fórmulas se encuentran en la Lista de fórmulas. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Realizar cálculos con la circunferencia y el área de un círculo. | Las respuestas pueden pedirse en términos de $\pi$. Las fórmulas se encuentran en la Lista de fórmulas. |
| 2 Realizar cálculos con la longitud del arco y el área del sector como fracciones de la circunferencia y el área de un círculo. | Incluye sectores menores y mayores. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un arco es una parte de la circunferencia. Un sector es un "trozo de pizza" entre dos radios. Si el ángulo del sector es $\theta$, el arco y el sector son esa fracción $\dfrac{\theta}{360}$ del círculo completo:
$$\text{arc length} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r, \qquad \text{sector area} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}.$$
Un trozo pequeño es un sector menor; el resto grande es un sector mayor.
Ejemplo resuelto. Calcule la longitud de arco 弧长 y el área de un sector con ángulo $90^{\circ}$ y radio $8\text{ cm}$.
La fracción es $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, por lo tanto
$$\text{arc} = \tfrac{1}{4} \times 2\pi \times 8 = 4\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \tfrac{1}{4} \times \pi \times 8^{2} = 16\pi\text{ cm}^{2}.$$
Explorar
Arcos y sectores
s = rθ · A = ½r²θ
Un ángulo o radio más grande significa un arco más largo y un área de sector mayor.
Explorar
Longitud de arco y área de sector
Cambie el ángulo y el radio y lea la longitud de arco y el área del sector — una fracción del círculo entero.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| arc/ɑːk/ | 弧 | hú |
| sector/ˈsektə/ | 扇形 | shàn xíng |
| minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/ | 小扇形 | xiǎo shàn xíng |
| major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/ | 大扇形 | dà shàn xíng |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | 弧长 | hú zhǎng |
5.4
Área superficial y volumen de sólidos
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Realizar cálculos y resolver problemas relacionados con el área superficial y el volumen de: • prisma rectangular • prisma • cilindro • esfera • pirámide • cono. | Las respuestas pueden solicitarse en términos de $\pi$. Las siguientes fórmulas se encuentran en la Lista de fórmulas: • área lateral de un cilindro • área lateral de un cono • área superficial de una esfera • volumen de un prisma • volumen de una pirámide • volumen de un cilindro • volumen de un cono • volumen de una esfera. El término prisma se refiere a cualquier sólido con una sección transversal uniforme, p. ej., un sector cilíndrico. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Realizar cálculos y resolver problemas que involucren el área superficial y el volumen de un: • prisma rectangular • prisma • cilindro • esfera • pirámide • cono. | Las respuestas pueden solicitarse en términos de $\pi$. Las siguientes fórmulas se proporcionan en la Lista de fórmulas: • área superficial lateral de un cilindro • área superficial lateral de un cono • área superficial de una esfera • volumen de un prisma • volumen de una pirámide • volumen de un cilindro • volumen de un cono • volumen de una esfera. El término prisma se refiere a cualquier sólido con una sección transversal uniforme, p. ej., un sector cilíndrico. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
El área superficial (表面积) es el área total de todas las caras exteriores. El volumen es el espacio interior. Para estos sólidos ($r$ = radio, $h$ = altura):
| Sólido | Volumen | Área superficial |
|---|---|---|
| prisma rectangular (长方体) | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | sumar las seis caras |
| prisma (棱柱) | (área de la sección transversal 横截面) $\times$ longitud | — |
| cilindro (圆柱) | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (área lateral) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| pirámide (棱锥) | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| cono (圆锥) | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (curvo) $+\, \pi r^{2}$, donde $l$ es la altura inclinada (斜高) |
| esfera (球) | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
Ejemplo resuelto. Un cilindro tiene radio $5\text{ cm}$ y altura $10\text{ cm}$. Encuentre su volumen y área superficial total (en términos de $\pi$).
$$\text{volume} = \pi \times 5^{2} \times 10 = 250\pi\text{ cm}^{3}.$$
$$\text{surface area} = 2\pi(5)(10) + 2\pi(5)^{2} = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^{2}.$$
Explorar
Laboratorio de escalado de volumen
el área superficial crece con scale^2
Cambiar la escala de longitud y ver cómo el volumen crece más rápido que el área superficial.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| height/haɪt/ | 高 | gāo |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | 矩形 | jǔ xíng |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | 三角形 | sān jiǎo xíng |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | 平行四边形 | píng xíng sì biān xíng |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | 梯形 | tī xíng |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | 表面积 | biǎo miàn jī |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | 长方体 | cháng fāng tǐ |
| prism/ˈprɪzəm/ | 棱柱 | léng zhù |
| cross-section/krɒs ˈsekʃn/ | 横截面 | héng jié miàn |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | 圆柱 | yuán zhù |
| curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | 侧面积 | cè miàn jī |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | 棱锥 | léng zhuī |
| cone/kəʊn/ | 圆锥 | yuán zhuī |
| slant height/slænt haɪt/ | 斜高 | xié gāo |
| sphere/sfɪə/ | 球 | qiú |
5.5
Figuras compuestas y partes de figuras
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Realizar cálculos y resolver problemas que impliquen perímetros y áreas de: • figuras compuestas • partes de figuras. | Las respuestas pueden solicitarse en términos de $\pi$. |
| 2 Realizar cálculos y resolver problemas que impliquen áreas superficiales y volúmenes de: • sólidos compuestos • partes de sólidos. | p. ej., encontrar el volumen de la mitad de una esfera. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Realizar cálculos y resolver problemas que involucren perímetros y áreas de: • figuras compuestas • partes de figuras. | Las respuestas pueden pedirse en términos de $\pi$. |
| 2 Realizar cálculos y resolver problemas que involucren áreas superficiales y volúmenes de: • sólidos compuestos • partes de sólidos. | p. ej., encontrar el área superficial y el volumen de un tronco de cono. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una figura compuesta (组合图形) se forma uniendo o cortando formas simples. Divídala en partes que conozca, luego sume o reste.
Para "partes" de un círculo o sólido, tome la fracción correcta. Por ejemplo, una semiesfera (半球) (mitad de una esfera) tiene volumen
$$\tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{2}{3}\pi r^{3}.$$
Un tronco de cono o pirámide (平截头体) es un cono o pirámide al que se le ha cortado la parte superior; encuentre su volumen restando el cono pequeño superior del cono completo.
Ejemplo resuelto. Encuentre el área de una figura formada por un rectángulo $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ con un semicírculo de diámetro $5\text{ cm}$ en un extremo.
El semicírculo tiene radio $2.5\text{ cm}$:
$$\text{area} = 8 \times 5 + \tfrac{1}{2}\pi (2.5)^{2} = 40 + 3.125\pi \approx 49.8\text{ cm}^{2}.$$
Explorar
Ruta de figura compuesta
Descomponer una figura compuesta en partes simples, luego recombinarlas.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/ | 组合图形 | zǔ hé tú xíng |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | 半球 | bàn qiú |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | 平截头体 | píng jié tóu tǐ |
5.5
Consejos para el examen
- Empareje la fórmula con la figura: el área de un círculo es $\pi r^2$, la circunferencia es $\pi d$ (o $2\pi r$) — no los confunda.
- Mantenga las unidades consistentes, y recuerde que las unidades de área son al cuadrado y las de volumen al cubo (p. ej., $1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$).
- Para un arco o sector, tome la fracción $\frac{\theta}{360}$ de la circunferencia o área completa.
- El área superficial es la suma de todas las caras — dibuje la planifolia si está inseguro. Deje la respuesta en términos de $\pi$ solo si la pregunta lo permite.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.