IGCSE Matemáticas

Debes conocer los términos para los diferentes tipos de números. Los examinadores otorgan puntos por usarlos correctamente.

Números naturales e enteros

• números naturales 自然数 — los números de conteo $1, 2, 3, 4, \dots$
• enteros 整数 — números enteros, positivos, negativos o cero: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

Factores y múltiplos

• Un factor 因数 de un número lo divide exactamente, sin dejar residuo 余数. Los factores de $18$ son $1, 2, 3, 6, 9, 18$.
• Un múltiplo 倍数 de un número es ese número multiplicado por un entero. Los múltiplos de $6$ son $6, 12, 18, 24, \dots$.
• Un factor común 公因数 de dos números es un factor de ambos.
• Un múltiplo común 公倍数 de dos números es un múltiplo de ambos.

Números primos, cuadrados y cúbicos

• Un número primo 质数 tiene exactamente dos factores: $1$ y él mismo. Los primeros primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$. Nota que $1$no es primo.
• Un número cuadrado 平方数 es un número entero multiplicado por sí mismo: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$.
• Un número cúbico 立方数 usa un número entero tres veces: $1, 8, 27, 64, \dots$.

Racionales, irracionales y recíprocos

• Un número racional 有理数 puede escribirse como una fracción 分数 $\frac{a}{b}$ de dos enteros. Ejemplos: $\frac{3}{4}$, $5$, $0.7$.
• Un número irracional 无理数 no puede escribirse de esta manera. Ejemplos: $\pi$ y $\sqrt{2}$.
• El recíproco 倒数 de un número es $1$ dividido por ese número. El recíproco de $4$ es $\frac{1}{4}$; el recíproco de $0.25$ es $4$; el recíproco de $\frac{2}{3}$ es $\frac{3}{2}$.

Factores primos, MCD y mcm

Todo entero mayor que $1$ es primo o puede escribirse como un producto 乘积 de números primos. Para escribir un número como un producto de sus factores primos 质因数, sigue dividiendo por el menor primo que sea divisor.

Ejemplo resuelto. Escribe $72$ como un producto de sus factores primos.

El máximo común divisor (MCD) 最大公因数 de dos números es el mayor factor que comparten. El mínimo común múltiplo (mcm) 最小公倍数 es el menor múltiplo que comparten. Los factores primos proporcionan un método rápido.

Ejemplo resuelto. Encuentra el MCD y el mcm de $72$ y $120$.

Primero escribe cada uno como un producto de primos:

• MCD: toma la potencia menor de cada primo que aparezca en ambos: $2^{3} \times 3 = 24$.
• mcm: toma la potencia mayor de todos los primos que aparezcan: $2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 360$.

Un conjunto 集合 es una colección de objetos. Cada objeto en el conjunto es un elemento 元素 del conjunto. Debes conocer esta notación:

Un diagrama de Venn 维恩图 representa cada conjunto como un círculo dentro de un rectángulo (el conjunto universal). El básico utiliza dos conjuntos; el extendido puede utilizar tres.

Ejemplo resuelto. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.

• $A = \{2,4,6,8,10\}$ y $B = \{3,6,9\}$.
• $A \cap B = \{6\}$ — el único número en ambos.
• $A \cup B = \{2,3,4,6,8,9,10\}$ — los números en cualquiera de los dos conjuntos.
• $n(A \cup B) = 7$.

También puedes ver un conjunto escrito mediante una regla, por ejemplo: $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ significa "todos los valores $x$ tales que $1 \leqslant x \leqslant 5$".

• Una potencia 幂 (también llamada índice 指数, plural índices) indica cuántas veces se debe multiplicar un número por sí mismo: $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
• Una raíz cuadrada 平方根 de un número da ese número cuando se eleva al cuadrado: $\sqrt{169} = 13$ porque $13^{2} = 169$.
• Una raíz cúbica 立方根 funciona de la misma manera para cubos: $\sqrt[3]{8} = 2$ porque $2^{3} = 8$.

Deberías ser capaz de recordar los cuadrados desde $1^2$ hasta $15^2$ (y sus raíces), y los cubos de $1, 2, 3, 4, 5$ y $10$.

Ejemplo resuelto. Calcula $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.

Cuando multiplicas o divides potencias de la misma base 底数, usa estas reglas:

Algunas potencias especiales:

(Las potencias fraccionarias como $a^{\frac{m}{n}}$ son Extendidas).

Ejemplos resueltos.

• $2^{-3} \times 2^{4} = 2^{-3+4} = 2^{1} = 2.$
• $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64.$
• $2^{3} \div 2^{4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$
• $7^{-2} = \dfrac{1}{7^{2}} = \dfrac{1}{49}.$
• $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9.$
• $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4}.$

La notación científica 科学记数法 escribe un número como $A \times 10^{n}$, donde $1 \leqslant A < 10$ y $n$ es un entero. Se utiliza para números muy grandes o muy pequeños.

Para convertir, cuenta cuántas posiciones se mueve el punto decimal:

• $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^{6}$ — el punto se mueve $6$ lugares a la izquierda, por lo que el exponente es positivo.
• $0.00072 = 7.2 \times 10^{-4}$ — el punto se mueve $4$ lugares a la derecha, por lo que el exponente es negativo.

Ejemplo resuelto. Calcula $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.

Multiplique los números de delante y sume las potencias:

Un radical 根式 es una raíz que es irracional, como por ejemplo $\sqrt{5}$. Déjelo en forma exacta en lugar de redondearlo. Dos reglas útiles:

Simplificar un radical extrayendo el mayor factor cuadrado.

Ejemplo resuelto. Simplificar $\sqrt{20}$ y $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.

Racionalizar el denominador significa eliminar un radical del fondo de una fracción (el denominador). Multiplique la parte superior e inferior por un valor que elimine el radical.

Ejemplo resuelto. Racionalizar $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ y $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.

Una fracción tiene un numerador (la parte superior) y un denominador (la parte inferior).

• fracción propia: numerador menor que el denominador, por ejemplo, $\frac{3}{4}$.
• fracción impropia 假分数: numerador igual o mayor, por ejemplo, $\frac{7}{4}$.
• número mixto 带分数: un número entero más una fracción, por ejemplo, $1\frac{3}{4}$.

Cambiar entre impropias y mixtas: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ porque $7 \div 4 = 1$ residuo $3$.

Un decimal 小数 usa el valor posicional después de un punto. Un porcentaje 百分比 significa "de cada $100$", es decir, $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.

Conversiones entre formas

Escribe una fracción en su forma más simple 最简形式 dividiendo el numerador y el denominador por su MCD: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (ambos divididos por $6$).

Decimales periódicos (Extendido)

Un decimal periódico 循环小数 repite los mismos dígitos para siempre. Los puntos marcan la parte que se repite: $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ y $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$

Para convertir un decimal periódico en una fracción, multiplica de manera que las partes repetidas coincidan y luego resta.

Ejemplo resuelto. Escribe $0.1\dot{7}$ como una fracción.

Sea $x = 0.1777\ldots$ Solo se repite el $7$, por lo que utiliza $10x$ y $100x$:

Orden de las operaciones

Trabaja en este orden: el orden de las operaciones 运算顺序: primero los paréntesis, luego los exponentes (potencias y raíces), después multiplicar y dividir (de izquierda a derecha) y finalmente sumar y restar (de izquierda a derecha).

Ejemplo resuelto. Calcula $-6 \times -3 + 7 \times 2$.

Haz primero las multiplicaciones: $-6 \times -3 = 18$ y $7 \times 2 = 14$. Luego suma: $18 + 14 = 32$.

Números negativos

• Sumar un negativo: $5 + (-3) = 5 - 3 = 2$.
• Restar un negativo: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.
• Multiplicar o dividir: signos iguales dan positivo; signos diferentes dan negativo. Por lo tanto, $-6 \times -3 = 18$ pero $-12 \div 4 = -3$.

Un cambio de temperatura de $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ a $3\,{}^{\circ}\text{C}$ es un aumento de $8\,{}^{\circ}\text{C}$.

Cálculo con fracciones

• Multiplicar: multiplica los numeradores, multiplica los denominadores: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$.
• Dividir: multiplica por el recíproco de la segunda fracción: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
• Sumar o restar: usa un denominador común (el MCM de los denominadores).

Ejemplo resuelto. Calcula $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, dando la respuesta en su forma más simple.

Convierte el número mixto a fracción impropia, luego usa el denominador $15$:

Usa estos símbolos para comparar números según su magnitud 大小 (tamaño):

Para ordenar una lista mixta, cambia todos los valores a decimales primero.

Ejemplo resuelto. Ordena $34\%$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{3}{10}$, del menor al mayor.

Como decimales: $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. Así que el orden es

Encontrar un porcentaje de una cantidad. $15\%$ de $\$80 = 0.15 \times 80 = \$12$.

Escribir una cantidad como porcentaje de otra. Una puntuación de $18$ sobre $25$ es $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.

Aumento o disminución porcentual usa

Ejemplo resuelto. Un precio sube de $\$40$ hasta $\$50$. Encuentre el porcentaje de aumento.

El cambio es $\$10$, so $\frac{10}{40} \times 100\% = 25\%$ de aumento.

Una forma rápida es usar un multiplicador 乘数. Para aumentar en $15\%$, multiplique por $1.15$; para disminuir en $15\%$, multiplique por $0.85$.

Interés simple y compuesto

Interés 利息 es el dinero pagado por pedir prestado o ahorrar. El capital 本金 es la cantidad inicial.

• Interés simple 单利 paga la misma cantidad cada año, calculada solo sobre el capital:
  $$I = \frac{P \times r \times t}{100},$$
  donde $P$ es el capital, $r$ es la tasa anual (en porcentaje) y $t$ es el número de años.
• Interés compuesto 复li añade los intereses de cada año, por lo que al siguiente se generan intereses sobre un total mayor:
  $$\text{final value} = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{t}.$$

Ejemplo resuelto. Calcule el valor de $\$500$ saved at $4\%$ compound interest for $3$ años.

Porcentajes inversos (Ampliado)

Un problema de porcentaje inverso 逆百分比 da la cantidad después de un cambio y pide la original. Para resolverlo, divida por el multiplicador — no simplemente quite el porcentaje.

Ejemplo resuelto. Un abrigo cuesta $\$60$ after a $20\%$ de aumento. Encuentre el precio original.

$\$60$ is $120\%$ of the original, so the original price is $60 \div 1.2 = \$50$.

Cuando una cantidad cambia en el mismo porcentaje en cada período de tiempo, muestra crecimiento exponencial 指数增长 (se hace más grande) o decrecimiento exponencial 指数衰减 (se hace más pequeño). Use la fórmula compuesta. La depreciación 折旧, donde algo como un auto pierde valor cada año, es un decrecimiento.

Ejemplo resuelto. Un auto valiendo $\$20\,000$ loses $15\%$ of its value each year. Find its value after $4$ años.

El multiplicador es $0.85$, así que

Una proporción 比 compara cantidades, escrita como $a:b$. Simplifíquela como una fracción dividiendo por el MCD: $20:30:40 = 2:3:4$.

Dividir en una proporción. Reparta $\$48$ in the ratio $3:5$.

El número total de partes es $3 + 5 = 8$. Una parte es $48 \div 8 = \$6$. So the shares are $3 \times 6 = \$18$ y $5 \times 6 = \$30$.

Proporcionalidad 比例 significa que dos proporciones son iguales. Úsela para recetas, escalas 比例尺 de mapas y encontrar la mejor relación calidad-precio.

Ejemplo resuelto. $3$ bolígrafos cuestan $\$1.80$. Find the cost of $7$ bolígrafos.

Un bolígrafo cuesta $1.80 \div 3 = \$0.60$. So $7$ pens cost $7 \times 0.60 = \$4.20$.

Una tasa 比率 compara dos cantidades medidas en unidades diferentes, como el precio por kilogramo o la distancia por hora.

La velocidad media 平均速度 utiliza

Ejemplo resuelto. Un ciclista recorre $45\text{ km}$ en $3$ horas $45$ minutos. Halla la velocidad media.

Primero convierte el tiempo a horas: $3$ h $45$ min $= 3.75$ h. Entonces

Otras tasas funcionan de la misma manera. La densidad se calcula a partir de la masa y el volumen:

Otros ejemplos son el caudal, el consumo de combustible y la densidad de población 人口密度. Si una tasa requiere una fórmula especial (como la presión 压强), el examen te la proporcionará.

Redondeo

• cifras decimales (c.d.) 小数位: dígitos contados después del punto. $3.14159$ a $2$ c.d. es $3.14$.
• cifras significativas (c.s.): dígitos contados desde el primer dígito distinto de cero. $5764$ a $1$ c.s. es $6000$; $0.004067$ a $2$ c.s. es $0.0041$.

Regla: observa el siguiente dígito. Si es $5$ o mayor, redondea hacia arriba; si es menor, redondea hacia abajo.

Estimación

Para estimar 估算 una respuesta, redondea cada número a $1$ s.f., luego calcula.

Ejemplo resuelto. Estima $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.

Un valor redondeado podría ser realmente cualquier cosa que se redondee a él. El valor más pequeño posible es el límite inferior 下界; el mayor es el límite superior 上界. Para un valor redondeado a la unidad más cercana, los límites están situados a media unidad en cada lado.

Ejemplo resuelto. Una altura $h$ es $635\text{ m}$, correcta a la nearest metre. Da los límites.

Por lo tanto, el límite inferior es $634.5\text{ m}$ y el límite superior es $635.5\text{ m}$.

Límites en cálculos (Extendido)

Combina los límites para obtener el límite que deseas.

Ejemplo resuelto. Un rectángulo mide $8\text{ cm}$ por $5\text{ cm}$, cada lado redondeado al centímetro más cercano. Encuentre el área 面积 más grande posible.

Utilice los límites superiores de ambos lados: $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (El área más pequeña utiliza los límites inferiores: $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)

Para una cantidad dividida como $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, la velocidad más grande se obtiene dividiendo la distancia más grande por el tiempo más pequeño.

• $60$ segundos $= 1$ minuto, $60$ minutos $= 1$ hora, $24$ horas $= 1$ día y $1$ año $= 365$ días.
• El reloj de 24 horas escribe una hora como cuatro dígitos: $3.15$ p.m. es $15\,15$.

Ejemplo resuelto. Una película comienza a las $19\,35$ y dura $70$ minutos. Encuentra la hora en que termina.

$70$ min $= 1$ h $10$ min. Al sumar $1$ hora se obtiene $20\,35$; al sumar $10$ minutos se obtiene $20\,45$.

Para horarios y problemas de zona horaria 时区, suma o resta la diferencia de tiempo entre los lugares.

Trabaja con el dinero como decimales ordinarios, pero da respuestas con $2$ d.p. (por ejemplo, $\$4.8$ is written $\$4.80$).

Conversión de moneda. Utiliza la tasa de cambio 汇率 como multiplicador.

Ejemplo resuelto. La tasa de cambio es $\$1 = €0.92$. Convert $\$150$ a euros, y convierte $€138$ de vuelta a dólares.

• No redondees durante el cálculo. Mantén el valor completo y redondea solo la respuesta final.
• Ingresa el tiempo como decimal de una hora: $2$ horas $30$ minutos son $2.5$ horas, no $2.30$.
• Lee la pantalla en contexto: en dinero, $4.8$ significa $\$4.80$; in time, $3.25$ hours means $3$ hours $15$ minutos.

• Sigue el orden BIDMAS (paréntesis, exponentes, división/multiplicación, suma/resta) y recuerda que un negativo por un negativo es positivo.
• En notación científica, el número delante está entre 1 y 10; un número pequeño (como $0.0004$) tiene una potencia negativa de 10.
• Un cambio en porcentaje se calcula sobre la cantidad original. Para un porcentaje inverso, divide por el multiplicador (p. ej., $\div 1.2$ revierte un aumento del $20\%$).
• No redondees a mitad de camino: conserva el valor completo y redondea solo al final, según la precisión que pida la pregunta (decimales o cifras significativas).
• Para los límites de exactitud, un valor redondeado al entero más cercano puede variar hasta $0.5$ en cada sentido (por lo tanto, $8$ significa $7.5 \le x < 8.5$).

En el álgebra usamos letras para representar números. Una letra cuyo valor puede cambiar es una variable. Sustituir significa poner un número en lugar de una letra.

Ejemplo resuelto. Encuentra el valor de $3x^{2} - 2y$ cuando $x = 4$ y $y = 5$.

Un término es una parte individual de una expresión, como $5a$ o $-9b$. Los términos semejantes tienen exactamente las mismas letras; puedes sumarlas o restarlas. El número delante de la letra es el coeficiente.

Ejemplo resuelto. Simplifique $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.

Agrupa términos semejantes: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. Así que la respuesta es

Expandir significa multiplicar los paréntesis. Multiplica cada término dentro por el término exterior; para dos paréntesis, multiplica cada término del primero por cada término del segundo.

Ejemplos resueltos.

Para tres paréntesis (Extended), expande dos primero, luego multiplica por el tercero:

Factorizar es lo opuesto a expandir: escribe la expresión como un producto de paréntesis. Siempre saca primero el factor común.

Ejemplo resuelto. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, porque $3x$ divide ambos términos.

Los siguientes patrones son Extended.

Por agrupación (cuatro términos): saca un factor común de cada par.

Diferencia de cuadrados 平方差: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.

Cuadrado perfecto 完全平方: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.

Expresiones cuadráticas $ax^{2} + bx + c$: encuentra dos números que multiplicados den $a \times c$ y sumados den $b$, luego divide el término medio.

Ejemplo resuelto. Factoriza $2x^{2} + 7x + 3$.

Aquí $a \times c = 6$ y $b = 7$. Los números $1$ y $6$ funcionan. Divide y agrupa:

Para $ax^{3} + bx^{2} + cx$, saca primero el factor común $x$: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.

Completar el cuadrado reescribe $x^{2} + bx + c$ como $(x + p)^{2} + q$. Toma la mitad del coeficiente de $x$, eleva al cuadrado y equilibra.

Ejemplo resuelto. Escribe $x^{2} + 6x + 1$ en forma completada.

La mitad de $6$ es $3$, y $3^{2} = 9$:

Cuando el término $x^{2}$ tiene un coeficiente, sácalo de los primeros dos términos primero:

Una fracción algebraica tiene álgebra en el numerador o denominador. Suma y resta usando un denominador común; multiplica y divide como con fracciones ordinarias.

Ejemplos resueltos.

Para simplificar una expresión racional, factoriza el numerador y el denominador, luego cancela los paréntesis comunes.

Las leyes de los índices también funcionan con letras: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$, y $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.

Ejemplos resueltos.

También puedes resolver ecuaciones de índices simples escribiendo ambos lados con la misma base.

Ejemplo resuelto. Resuelve $2^{x} = 32$. Dado que $32 = 2^{5}$, obtienes $x = 5$.

Una ecuación dice que dos expresiones son iguales. Para resolver una ecuación lineal, realiza la misma operación en ambos lados hasta que la incógnita esté sola.

Ejemplo resuelto. Resuelva $5 - 2x = 3(x + 7)$.

Ecuaciones fraccionarias (Extended)

Una ecuación fraccionaria tiene la incógnita en un denominador. Multiplica ambos lados por el denominador para eliminarlo.

Ejemplo resuelto. Resuelva $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.

Ecuaciones simultáneas

Las ecuaciones simultáneas son dos ecuaciones resueltas juntas. Para dos ecuaciones lineales, suma o resta para eliminar una letra.

Ejemplo resuelto. Resuelve $2x + y = 7$ y $3x - y = 8$.

Sumar elimina $y$: $5x = 15$, así que $x = 3$. Luego $y = 7 - 2(3) = 1$.

Para una ecuación lineal y una ecuación cuadrática (Extended), sustituye la lineal en la curva.

Ejemplo resuelto. Resuelve $y = x + 2$ y $y = x^{2}$.

así que $x = 2$ (dando $y = 4$) o $x = -1$ (dando $y = 1$).

Resolviendo ecuaciones cuadráticas (Extended)

Hay tres métodos.

• Por factorización: $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ o $x = -3$.
• Por completar el cuadrado: $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• Por la fórmula cuadrática, que se proporciona en el examen:
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

Ejemplo resuelto (fórmula). Resuelve $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Aquí $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:

Cambiar el sujeto

Cambiar el sujeto de una fórmula significa rearrreglarla para que una letra elegida esté sola en un lado.

Ejemplo resuelto. Haz que $r$ sea el sujeto de $A = \pi r^{2}$ (Extended, debido al exponente).

Cuando la letra aparece dos veces (Extended), agrupa esos términos y factoriza. Para hacer que $x$ sea el sujeto de $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:

Una desigualdad usa $<$, $>$, $\leqslant$ o $\geqslant$. Resuélvela como una ecuación, pero invierte el signo si multiplicas o divides por un número negativo.

Ejemplo resuelto. Resuelva $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.

Suma $2$ a todas las partes, luego divide por $3$:

En una recta numérica, usa un círculo abierto para $<$ o $>$ (valor no incluido) y un círculo cerrado para $\leqslant$ o $\geqslant$ (valor incluido).

Regiones (Extended)

Una desigualdad en dos letras describe una región de la gráfica. Dibuja la línea límite (rota para $<$ o $>$, sólida para $\leqslant$ o $\geqslant$) y sombre el lado no deseado. También te pueden pedir listar las desigualdades que definen una región dada.

Una secuencia es una lista de números que siguen una regla. La regla de término a término te dice cómo obtener el siguiente término a partir del anterior.

Para encontrar la regla para el término en la posición $n$ (el $n$th término), observa cómo cambian los términos.

Secuencia lineal (los términos aumentan en la misma cantidad cada vez). La diferencia es el múltiplo de $n$.

Ejemplo resuelto. Encuentra el $n$th término de $2, 5, 8, 11, \dots$

Los términos aumentan en $3$, así que comienza con $3n$. Dado que $3 \times 1 = 3$ pero el primer término es $2$, resta $1$: el $n$th término es $3n - 1$.

Secuencia cuadrática (las diferencias mismas cambian en la misma cantidad). La segunda diferencia es igual a $2 \times$ el coeficiente de $n^{2}$.

Ejemplo resuelto. Encuentra el $n$th término de $2, 5, 10, 17, \dots$

Las diferencias primeras son $3, 5, 7$; la diferencia segunda es $2$, por lo que la parte $n^{2}$ es $1n^{2}$. Restando $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) de la secuencia queda $1, 1, 1, 1$. Así que el término $n$ es $n^{2} + 1$.

Una secuencia cúbica 三次 como $1, 8, 27, 64, \dots$ tiene el término $n$ igual a $n^{3}$. Una secuencia exponencial 指数数列 como $2, 6, 18, 54, \dots$ multiplica por un número fijo cada vez; aquí el término $n$ es $2 \times 3^{\,n-1}$.

Dos cantidades están en proporción directa 正比例 si una es siempre un múltiplo fijo de la otra: $y \propto x$ significa $y = kx$, donde $k$ es una constante 常数. Están en proporción inversa 反比例 si una aumenta mientras la otra disminuye: $y \propto \dfrac{1}{x}$ significa $y = \dfrac{k}{x}$. El símbolo $\propto$ se lee "es proporcional a". También puede haber proporción al cuadrado, raíz cuadrada, cubo o raíz cúbica.

Ejemplo resuelto. $y$ está en proporción directa con $x$, y es $y = 12$ cuando $x = 3$. Encuentre $y$ cuando $x = 7$.

Primero encuentre $k$: $12 = k \times 3$, así que $k = 4$ y $y = 4x$. Luego $y = 4 \times 7 = 28$.

La pendiente 斜率 (inclinación) de una gráfica muestra una tasa de cambio 变化率.

• Una gráfica de viaje 行程图 (gráfica distancia-tiempo) tiene una pendiente igual a la velocidad; una parte plana significa que el objeto no se mueve.
• Una gráfica de conversión 换算图 es una línea recta utilizada para cambiar entre dos unidades (por ejemplo, millas y kilómetros).

Gráficas velocidad-tiempo (Avanzado)

En una gráfica velocidad-tiempo la pendiente es la aceleración 加速度 (o desaceleración 减速度 si la velocidad disminuye), y el área 面积 bajo la gráfica es la distancia 距离 recorrida.

Ejemplo resuelto. Un coche acelera desde el reposo hasta $20\text{ m/s}$ en $8\text{ s}$, luego se mantiene a $20\text{ m/s}$ durante $12\text{ s}$. Encuentre la aceleración y la distancia total.

Aceleración $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. La distancia es el área: un triángulo más un rectángulo,

Para dibujar una gráfica, haga una tabla de valores 数值表: elija valores de $x$, calcule $y$, luego grafique las coordenadas 坐标 y únalas con una curva suave.

Los puntos donde una gráfica cruza el eje $x$ (el eje horizontal axis 坐标轴) son las raíces 根 — las soluciones de $y = 0$.

Puede resolver una ecuación leyendo una gráfica. El punto de intersección 交点 de una línea y una curva da la solución de las dos ecuaciones juntas.

Para el crecimiento exponencial 指数增长 y el decaimiento exponencial 指数衰减, la gráfica de $y = a\,b^{x} + c$ sube (o baja) cada vez más rápido y se aplana hacia una línea horizontal.

Un esbozo rápido debe mostrar la forma correcta y las características clave: dónde cruza los ejes, cualquier simetría 对称, y cualquier línea a la que la curva se acerque.

Para una parábola, completar el cuadrado da el punto de giro 转折点 (el punto más bajo o más alto). Por ejemplo, $y = (x + 3)^{2} - 8$ tiene su punto de giro en $(-3, -8)$.

Una asíntota 渐近线 es una línea a la que la curva se acerca cada vez más pero nunca toca — por ejemplo, el eje $x$ para $y = \dfrac{a}{x}$, o la línea $y = b$ para $y = a\,r^{x} + b$.

La diferenciación 微 encuentra la pendiente de una curva en cualquier punto. Puede estimarla trazando una tangente 切线 (una línea que solo toca la curva) y midiendo su pendiente.

La regla exacta: si $y = ax^{n}$, entonces la derivada 导数 es

Diferencie una suma término por término.

Ejemplo resuelto. Si $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, entonces $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.

Un punto estacionario 驻点 (punto de giro) es donde la pendiente es cero, así que iguale $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$ a cero.

Ejemplo resuelto. Encuentre el punto de giro de $y = x^{2} - 6x + 5$.

El punto de giro es $(3, -4)$. Para decidir si un punto de giro es un máximo 最大值 o un mínimo 最小值, verifique el signo de la pendiente en cada lado, o use la segunda derivada (positiva significa un mínimo).

Una función 函数 convierte cada entrada en una salida. Escribimos $f(x)$, por ejemplo $f(x) = 3x - 5$, así que $f(2) = 1$. El conjunto de entradas permitidas es el dominio 定义域; el conjunto de salidas posibles es el rango 值域.

La función inversa 反函数 $f^{-1}(x)$ deshace la función. Para encontrarla, escriba $y = f(x)$, intercambie los roles, y haga $x$ el sujeto.

Ejemplo resuelto. Halla la inversa de $f(x) = 3x - 5$.

Una función compuesta 复合函数 aplica una función después de otra: $gf(x)$ significa "hacer $f$ primero, luego $g$".

Ejemplo resuelto. Si $f(x) = 2x$ y $g(x) = x + 3$, entonces

• Cuando expande los paréntesis, multiplique cada término y vigile los signos, especialmente con un menos delante: $-(x - 3) = -x + 3$.
• Para resolver una ecuación, haga lo mismo en ambos lados. Cuando multiplique o divida una desigualdad por un número negativo, invierta el signo.
• Factorice completamente: saque primero el factor común más alto, luego busque una diferencia de dos cuadrados o un patrón cuadrático.
• Una cuadrática generalmente tiene dos soluciones — dé ambas. Verifique si la pregunta quiere factorización, la fórmula o completar el cuadrado.
• Al sustituir en una fórmula, ponga cada valor entre paréntesis primero, para que los signos y potencias salgan bien.

Un punto en un gráfico se describe mediante sus coordenadas 坐标, a veces llamadas coordenadas cartesianas, escritas $(x, y)$. El primer número es el valor horizontal y el segundo es el valor vertical.

• Las dos líneas numéricas son los ejes 坐标轴: el eje horizontal 水平 $x$ y el eje vertical 竖直 $y$.
• Se cruzan en el origen 原点, el punto $(0, 0)$.
• Los ejes dividen la cuadrícula en cuatro cuadrantes 象限.

Por lo tanto, el punto $(3, -2)$ se encuentra moviéndose $3$ a la derecha y $2$ hacia abajo.

La mayoría de las líneas rectas pueden escribirse como

donde $m$ es la pendiente 斜率 (inclinación) y $c$ es la intersección 截距 — el valor de $y$ donde la línea cruza el eje $y$.

• Una línea como $x = k$ (por ejemplo $x = 3$) es vertical.
• Una línea como $y = k$ (por ejemplo $y = 3$) es horizontal.

Una línea también puede darse como $ax + by = c$. Reorganízala en $y = mx + c$ para leer la pendiente y la intersección.

Ejemplo resuelto. Encuentra la pendiente y la intersección en el eje $y$ de $5x + 4y = 8$.

Así que la pendiente es $-\tfrac{5}{4}$ y la intersección en el eje $y$ es $2$.

La pendiente mide qué tan empinada es una línea:

Una pendiente positiva sube hacia la derecha; una pendiente negativa baja hacia la derecha.

Ejemplo resuelto. Encuentra la pendiente de la línea que pasa por $(1, 2)$ y $(4, 11)$.

Para dibujar $y = mx + c$, la forma más rápida es:

1. Marca la intersección $c$ en el eje $y$.
2. Utiliza la pendiente para avanzar hasta más puntos (para $m = 3$, avanza $1$ a la derecha y $3$ hacia arriba).
3. Une los puntos con una línea recta.

También puedes crear una pequeña tabla de valores: elige dos o tres valores de $x$, calcula los correspondientes valores de $y$ y representa los puntos.

Si conoces la pendiente $m$ y un punto en la recta, sustituye el punto en $y = mx + c$ para encontrar $c$.

Ejemplo resuelto. Una recta tiene pendiente $3$ y pasa por $(1, 2)$. Encuentra su ecuación.

Por lo tanto, la ecuación es $y = 3x - 1$. (Si te dan dos puntos, primero encuentra la pendiente y luego haz esto.)

Un segmento de línea es la parte recta entre dos puntos.

Para encontrar la longitud 长度 del segmento entre $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, utiliza el teorema de Pitágoras 勾股定理 sobre las diferencias horizontal y vertical:

Para encontrar el punto medio 中点 (el punto exactamente en el centro), promedia las coordenadas:

Ejemplo resuelto. Encuentra la longitud y el punto medio del segmento desde $(1, 2)$ hasta $(4, 6)$.

Paralelas 平行 Las líneas nunca se encuentran, por lo que tienen la misma pendiente.

Ejemplo resuelto. Encuentra la ecuación de la línea paralela a $y = 4x - 1$ que pasa por $(1, -3)$.

La pendiente también es $4$. Sustituye el punto:

por lo que la línea es $y = 4x - 7$.

Dos rectas son perpendiculares 垂直 si se intersectan formando un ángulo recto 直角. El producto de sus pendientes es $-1$:

En palabras: invierte la fracción y cambia el signo.

Ejemplo resuelto. Halla la pendiente de una recta perpendicular a $2y = 3x + 1$.

Reordena: $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, de modo que la pendiente sea $\tfrac{3}{2}$. La pendiente perpendicular es $-\tfrac{2}{3}$.

Mediatriz

La mediatriz 垂直平分线 de un segmento lo divide por la mitad en un ángulo recto. Para encontrar su ecuación: obtén el punto medio y luego utiliza la pendiente perpendicular a través de ese punto medio.

Ejemplo resuelto. Encuentra la mediatriz del segmento que une $(-3, 8)$ y $(9, -2)$.

• Punto medio: $\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2} \right) = (3, 3)$.
• Pendiente del segmento: $\frac{-2 - 8}{9 - (-3)} = \frac{-10}{12} = -\tfrac{5}{6}$.
• Pendiente perpendicular: $\frac{6}{5}$.

A través de $(3, 3)$: $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. Por lo tanto, la bisectriz es

• La recta tiene la forma $y = mx + c$: $m$ es la pendiente y $c$ es donde la recta cruza el eje $y$.
• Pendiente = (cambio en $y$) ÷ (cambio en $x$). Mantenga las dos coordenadas en el mismo orden en el numerador y en el denominador.
• Las líneas paralelas tienen la misma pendiente; las líneas perpendiculares tienen pendientes que multiplicadas dan como resultado $-1$ (el recíproco negativo).
• El punto medio es el promedio de las coordenadas; la distancia entre dos puntos se obtiene aplicando Pitágoras a las diferencias.

Una esquina donde se encuentran dos líneas es un vértice. Dos líneas son paralelas si nunca se encuentran, y perpendiculares si se encuentran en un ángulo recto. Los ángulos se nombran según su tamaño:

Nombramos un ángulo con tres letras, por ejemplo, el ángulo $ABC$ es el ángulo en $B$.

Aprenda estos hechos básicos. Cada uno es una razón válida en el examen.

• Angles at a point add up to $360^{\circ}$.
• Angles on a straight line add up to $180^{\circ}$.
• Ángulos opuestos por el vértice (formados por dos líneas que se cruzan) son iguales.

Ejemplo resuelto. Tres ángulos en una línea recta son $x$, $50^{\circ}$ y $70^{\circ}$. Encuentre $x$.

When a line crosses two parallel lines:

• Ángulos correspondientes (en posiciones coincidentes, forma de "F") son iguales.
• Ángulos alternos (en lados opuestos de la línea de intersección, forma de "Z") son iguales.
• Co-interior angles (a "C" shape) add up to $180^{\circ}$; we say they are supplementary.

Ejemplo resuelto. Una línea recta cruza dos líneas paralelas. Un ángulo es $110^{\circ}$. El ángulo co-interior $y$ satisface $110 + y = 180$, por lo que $y = 70^{\circ}$.

Un triángulo tiene tres lados y ángulos que suman $180^{\circ}$.

Worked example. A triangle has angles $x$, $2x$ y $90^{\circ}$. Find $x$.

Un cuadrilátero tiene cuatro lados y ángulos que suman $360^{\circ}$.

Un polígono es una forma con lados rectos. Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales.

For a polygon with $n$ sides:

El ángulo interior y el ángulo exterior en cada esquina suman $180^{\circ}$.

Ejemplo resuelto. Calcula cada ángulo interior de un hexágono regular.

El ángulo exterior es $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$, por lo que cada ángulo interior es $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

• Una forma tiene simetría axial si una línea de espejo la divide en dos mitades coincidentes.
• Una forma tiene simetría rotacional si coincide consigo misma mientras gira. El orden es cuántas veces coincide en una vuelta completa.

For solids (Extended), a flat slice that splits the solid into mirror halves is a plane of symmetry, and a line you can spin it around is an axis of symmetry.

Utilízalos para encontrar ángulos desconocidos, indicando siempre la razón.

For both levels:

• The angle in a semicircle is $90^{\circ}$.
• El ángulo entre una tangente y un radio es $90^{\circ}$.

Extended (theorems I):

• El ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia (apoyado en el mismo arco).
• Angles in the same segment are equal.
• Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman $180^{\circ}$.
• El alternate segment theorem: the angle between a tangent and a chord equals the angle in the other segment.

Avanzado (teoremas II): cuerdas iguales están a la misma distancia del centro; la mediatriz de una cuerda pasa por el centro; dos tangentes desde el mismo punto exterior son iguales en longitud.

Ejemplo resuelto. A, B, C están en un círculo. El ángulo en la circunferencia $ABC$ es $40^{\circ}$. Encuentre el ángulo $AOC$ en el centro $O$.

El ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia: $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.

Dos formas son similares si una es una ampliación de la otra: mismos ángulos y todos los lados multiplicados por el mismo factor de escala $k$. (Las formas que son exactamente del mismo tamaño y forma son congruentes).

For similar shapes and solids:

Ejemplo resuelto. Dos sólidos similares tienen longitudes en la razón $2 : 3$. El más pequeño tiene volumen $40\text{ cm}^{3}$. Encuentre el volumen del más grande.

The volume ratio is $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$. So the larger volume is $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$.

Un rumbo indica una dirección como un ángulo de tres cifras, medido en sentido horario desde el norte, desde $000^{\circ}$ hasta $360^{\circ}$. Por lo tanto, el este exacto es $090^{\circ}$ y el sur exacto es $180^{\circ}$.

Ejemplo resuelto. La acimut de $B$ desde $A$ es $025^{\circ}$. Encuentra la acimut de $A$ desde $B$.

The return (back) bearing differs by $180^{\circ}$: $025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$.

• Para construir un triángulo a partir de tres lados dados, dibuja la base con una regla y luego utiliza un par de compases para marcar cada otro lado como un arco. Deja los arcos de construcción visibles.
• Una malla es una forma plana que se pliega para formar un sólido. Puede usar una malla para calcular áreas superficiales.
• Un dibujo a escala muestra un objeto real más pequeño (o más grande) según una escala fija, como $1\text{ cm}$ a $5\text{ m}$.

Common solids and their parts:

A flat side of a solid is a face, two faces meet at an edge, and the whole outside is its surface.

• Los ángulos sobre una línea recta suman $180°$, alrededor de un punto $360°$, y en un triángulo $180°$. Da una razón para cada paso de una pregunta de ángulos.
• Aprenda los teoremas del círculo: el ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia; el ángulo en un semicírculo es $90°$; los ángulos en el mismo segmento son iguales; los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman $180°$.
• Los ángulos exteriores de cualquier polígono suman $360°$, y cada ángulo interior + su ángulo exterior = $180°$.
• Las acimuts se miden en sentido horario desde el norte y siempre se escriben con tres cifras (p. ej., $072°$).

Utilizamos unidades métricas para masa (g, kg), longitud (mm, cm, m, km), área, volumen y capacidad (ml, litros — el espacio dentro de un recipiente).

Para cambiar de unidades, ten cuidado con los cuadrados y los cubos:

• Longitud: $1\text{ m} = 100\text{ cm}$.
• Área: $1\text{ m}^{2} = 100^{2} = 10\,000\text{ cm}^{2}$.
• Volumen: $1\text{ m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000\text{ cm}^{3}$.
• Capacidad: $1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^{3}$, por lo tanto $1\text{ m}^{3} = 1000$ litros.

Ejemplo resuelto. Convertir $3\text{ m}^{2}$ a $\text{cm}^{2}$.

El perímetro es la distancia total alrededor de una figura. El área es la cantidad de espacio plano que contiene. Aquí $b$ es la base y $h$ es la altura perpendicular.

Ejemplo resuelto. Un trapecio tiene lados paralelos $6\text{ cm}$ y $10\text{ cm}$, y una altura $4\text{ cm}$. Encuentra su área.