Esta hoja de trabajo cubre el Tema 1, Números. Cambridge Maths tiene dos niveles: Core (Fundamental) y Extended (Ampliado). Las partes marcadas con (Extended) solo se evalúan en los exámenes de nivel Ampliado; todo lo demás es común para ambos niveles.
Números
IGCSE Matemáticas · Tema 1
30:48
Número
Dos autobuses salen de la misma parada a las nueve en punto. Uno pasa cada doce minutos, el otro cada dieciocho. ¿Cuándo vuelven a salir juntos? No a los treinta…
Narración en inglés · subtítulos en inglés y 中文 que puedes cambiar
1.1
Tipos de número
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Identificar y utilizar: • números naturales • enteros (positivos, cero y negativos) • números primos • cuadrados perfectos • cubos perfectos • divisores comunes • múltiplos comunes • números racionales e irracionales • recíprocos. | Ejemplos de tareas incluyen: • convertir entre números y palabras, p. ej., seis mil millones es 6000000000; 10007 es diez mil y siete • expresar 72 como producto de sus factores primos • encontrar el máximo común divisor (MCD) de dos números • encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) de dos números. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Identificar y utilizar: • números naturales • enteros (positivos, cero y negativos) • números primos • cuadrados perfectos • cubos perfectos • divisores comunes • múltiplos comunes • números racionales e irracionales • recíprocos. | Ejemplos de tareas incluyen: • convertir entre números y palabras, p. ej., seis mil millones es 6000000000; 10007 es diez mil y siete • expresar 72 como producto de sus factores primos • hallar el máximo común divisor (MCD) de dos números • hallar el mínimo común múltiplo (mcm) de dos números. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Debes conocer los términos para los diferentes tipos de números. Los examinadores otorgan puntos por usarlos correctamente.
Números naturales e enteros
- números naturales — los números para contar $1, 2, 3, 4, \dots$
- enteros — números enteros, positivos, negativos o cero: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
Factores y múltiplos
- Un factor de un número lo divide exactamente, sin dejar residuo. Los factores de $18$ son $1, 2, 3, 6, 9, 18$.
- Un múltiplo de un número es ese número multiplicado por un entero. Los múltiplos de $6$ son $6, 12, 18, 24, \dots$
- Un factor común de dos números es un factor de ambos.
- Un múltiplo común de dos números es un múltiplo de ambos.
Números primos, cuadrados y cúbicos
- Un número primo tiene exactamente dos factores: $1$ y sí mismo. Los primeros primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$. Note que $1$ no es primo.
- Un número cuadrado es un número entero multiplicado por sí mismo: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$
- Un número cúbico usa un número entero tres veces: $1, 8, 27, 64, \dots$
Racionales, irracionales y recíprocos
- Un número racional se puede escribir como una fracción $\frac{a}{b}$ de dos enteros, con $b \ne 0$. Ejemplos: $\frac{3}{4}$, $5$, $0.7$.
- Un número irracional no se puede escribir de esa manera. Ejemplos: $\pi$ y $\sqrt{2}$.
- El recíproco de un número distinto de cero es $1$ dividido por ese número. El recíproco de $4$ es $\frac{1}{4}$; el recíproco de $0.25$ es $4$; el recíproco de $\frac{2}{3}$ es $\frac{3}{2}$.
Factores primos, MCD y mcm
Todo entero mayor que $1$ es primo, o puede escribirse como un producto de números primos. Para escribir un número como un producto de sus factores primos, sigue dividiendo por el menor primo que lo divida exactamente.
Ejemplo resuelto. Escribe $72$ como un producto de sus factores primos.
$$72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^{3} \times 3^{2}.$$
El máximo común divisor (MCD) de dos números es el factor más grande que comparten. El mínimo común múltiplo (mcm) es el múltiplo más pequeño que comparten. Los factores primos ofrecen un método rápido.
Ejemplo resuelto. Encuentra el MCD y el mcm de $72$ y $120$.
Primero escribe cada uno como un producto de primos:
$$72 = 2^{3} \times 3^{2}, \qquad 120 = 2^{3} \times 3 \times 5.$$
- MCD: toma la potencia menor de cada primo que aparezca en ambos: $2^{3} \times 3 = 24$.
- mcm: toma la potencia mayor de todos los primos que aparezcan: $2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 360$.
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Conjuntos de números
Todo número natural es también un entero, todo entero es racional; observa cómo se anidan los conjuntos numéricos y cómo la unión e intersección los combinan.
Vocabulario
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| English | Español |
|---|---|
| natural number/ˈnætʃərəl ˈnʌmbə/ | número natural |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | entero |
| factor/ˈfæktə/ | factor |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | residuo |
| product/ˈprɒdʌkt/ | producto |
| prime factor/praɪm ˈfæktə/ | factor primo |
| highest common factor/ˈhaɪɪst ˈkɒmən ˈfæktə/ | máximo común divisor |
| lowest common multiple/ˈləʊɪst ˈkɒmən ˈmʌltɪpl/ | mínimo común múltiplo |
| set/set/ | conjunto |
1.2
Conjuntos y diagramas de Venn
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Comprender y utilizar el lenguaje, la notación y los diagramas de Venn para describir conjuntos. | Los diagramas de Venn están limitados a dos conjuntos. Se utilizará la siguiente notación de conjuntos: • $n(A)$ Número de elementos en el conjunto $A$ • $A'$ Complemento del conjunto $A$ • $\mathscr{E}$ Conjunto universal • $A \cup B$ Unión de $A$ y $B$ • $A \cap B$ Intersección de $A$ y $B$. Ejemplo de definición de conjuntos: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{a, b, c, \dots\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Comprender y utilizar el lenguaje de conjuntos, la notación y los diagramas de Venn para describir conjuntos y representar relaciones entre conjuntos. | Los diagramas de Venn están limitados a dos o tres conjuntos. Se utilizará la siguiente notación de conjuntos: • $n(A)$ Número de elementos en el conjunto $A$ • $\in$ "... es un elemento de ..." • $\notin$ "... no es un elemento de ..." • $A'$ Complemento del conjunto $A$ • $\varnothing$ El conjunto vacío • $\mathscr{E}$ Conjunto universal • $A \subseteq B$ $A$ es un subconjunto de $B$ • $A \nsubseteq B$ $A$ no es un subconjunto de $B$ • $A \cup B$ Unión de $A$ y $B$ • $A \cap B$ Intersección de $A$ y $B$. Ejemplo de definición de conjuntos: $A = \{x : x \text{ is a natural number}\}$ $B = \{(x, y) : y = mx + c\}$ $C = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$ $D = \{a, b, c, \dots\}$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un conjunto es una colección de objetos. Cada objeto en el conjunto es un elemento del mismo. Debes conocer esta notación:
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $n(A)$ | el número de elementos en el conjunto $A$ |
| $x \in A$ | $x$ es un elemento de $A$ |
| $x \notin A$ | $x$ no es un elemento de $A$ |
| $\mathscr{E}$ | el conjunto universal — todo lo que se está discutiendo |
| $A'$ | el complemento de $A$ — todo lo que no está en $A$ |
| $\varnothing$ | el conjunto vacío — un conjunto sin elementos |
| $A \subseteq B$ | $A$ es un subconjunto de $B$ — cada elemento de $A$ también está en $B$ |
| $A \cup B$ | la unión — elementos en $A$ o en $B$ o en ambos |
| $A \cap B$ | la intersección — elementos en ambos $A$ y $B$ |
Un diagrama de Venn dibuja cada conjunto como un círculo dentro de un rectángulo (el conjunto universal). La versión básica usa dos conjuntos; la extendida puede usar tres.
Ejemplo resuelto. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A = \{\text{even numbers}\}$, $B = \{\text{multiples of } 3\}$.
- $A = \{2,4,6,8,10\}$ y $B = \{3,6,9\}$.
- $A \cap B = \{6\}$ — el único número en ambos.
- $A \cup B = \{2,3,4,6,8,9,10\}$ — los números en cualquiera de los dos conjuntos.
- $n(A \cup B) = 7$.
También puedes ver un conjunto escrito como una regla; por ejemplo, $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ significa «todos los valores $x$ tales que $1 \leqslant x \leqslant 5$».
Explorar
Diagramas de Venn
Toque las regiones para ver unión, intersección y complemento — el lenguaje de los conjuntos.
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| multiple/ˈmʌltɪpl/ | múltiplo |
| common factor/ˈkɒmən ˈfæktə/ | factor común |
| common multiple/ˈkɒmən ˈmʌltɪpl/ | múltiplo común |
| prime number/praɪm ˈnʌmbə/ | número primo |
| square number/skweə ˈnʌmbə/ | número cuadrado |
| cube number/kjuːb ˈnʌmbə/ | número cúbico |
| rational number/ˈræʃənl ˈnʌmbə/ | número racional |
| fraction/ˈfrækʃn/ | fracción |
| irrational number/ɪˈræʃənl ˈnʌmbə/ | número irracional |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | recíproco |
| element/ˈelɪmənt/ | elemento |
| universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/ | conjunto universal |
| complement/ˈkɒmplɪmənt/ | complemento |
| empty set/ˈempti set/ | conjunto vacío |
| subset/ˈsʌbset/ | subconjunto |
| union/ˈjuːnɪən/ | unión |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | intersección |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | diagrama de Venn |
| power/ˈpaʊə/ | potencia |
| index/ˈɪndeks/ | índice |
| square root/skweə ruːt/ | raíz cuadrada |
| cube root/kjuːb ruːt/ | raíz cúbica |
1.3
Potencias y raíces
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Realice los siguientes cálculos: • cuadrados • raíces cuadradas • cubos • raíces cúbicas • otras potencias y raíces de números. | Incluye la memorización de los cuadrados y sus correspondientes raíces del 1 al 15, así como la memorización de los cubos y sus correspondientes raíces del 1, 2, 3, 4, 5 y 10, p. ej.: • Escriba el valor de $\sqrt{169}$ . • Calcule $5^2 \times \sqrt[3]{8}$ . |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Realice los siguientes cálculos: • cuadrados • raíces cuadradas • cubos • raíces cúbicas • otras potencias y raíces de números. | Incluye la recuperación de los cuadrados y sus correspondientes raíces de 1 a 15, y la recuperación de los cubos y sus correspondientes raíces de 1, 2, 3, 4, 5 y 10, p. ej.: • Escriba el valor de $\sqrt{169}$. • Calcule $5^2 \times \sqrt[3]{8}$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
- Un potencia (también llamada índice, plural índices) indica cuántas veces se debe multiplicar un número por sí mismo: $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
- Una raíz cuadrada de un número da ese resultado al elevarlo al cuadrado: $\sqrt{169} = 13$ porque $13^{2} = 169$.
- Una raíz cúbica funciona igual para cubos: $\sqrt[3]{8} = 2$ porque $2^{3} = 8$.
Deberías ser capaz de recordar los cuadrados desde $1^2$ hasta $15^2$ (y sus raíces), y los cubos de $1, 2, 3, 4, 5$ y $10$.
Ejemplo resuelto. Calcula $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$.
$$5^{2} \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50.$$
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Laboratorio de potencias y raíces
cuadrado = x^2
Cambia la base y observa cómo crecen las potencias mientras que las raíces deshacen las potencias.
1.7
Las leyes de los índices
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender y utilizar índices (enteros positivos, cero y negativos). | ej. encontrar el valor de $7^{-2}$. |
| 2 Comprender y aplicar las reglas de los índices. | ej. encontrar el valor de $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender y utilizar los índices (positivos, cero, negativos y fraccionarios). | Ejemplos incluyen: • $6^{\frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ • $16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16}$ • hallar el valor de $7^{-2}$, $81^{\frac{1}{2}}$, $8^{-\frac{2}{3}}$. |
| 2 Comprender y aplicar las reglas de los índices. | p. ej. hallar el valor de $2^{-3} \times 2^4$, $(2^3)^2$, $2^3 \div 2^4$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Al multiplicar o dividir potencias de la misma base, aplica estas reglas:
$$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}, \qquad a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}, \qquad (a^{m})^{n} = a^{mn}.$$
Algunas potencias especiales:
$$a^{0} = 1, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}, \qquad a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}.$$
(Las potencias fraccionarias como $a^{\frac{m}{n}}$ son Extendidas).
Ejemplos resueltos.
- $2^{-3} \times 2^{4} = 2^{-3+4} = 2^{1} = 2.$
- $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64.$
- $2^{3} \div 2^{4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$
- $7^{-2} = \dfrac{1}{7^{2}} = \dfrac{1}{49}.$
- $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9.$
- $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4}.$
Errores comunes. Multiplicar los exponentes al multiplicar potencias ($2^{3} \times 2^{4}$ es $2^{7}$, no $2^{12}$), pensar que una potencia negativa produce un número negativo ($7^{-2}$ es positivo) y escribir $a^{0} = 0$ (es $1$).
Vocabulario
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| English | Español |
|---|---|
| base/beɪs/ | base |
1.8
Notación científica
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar la forma estándar $A \times 10^n$, donde $n$ es un entero positivo o negativo y $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Convertir números a y desde la forma estándar. | |
| 3 Realizar cálculos con valores en forma estándar. | Se espera que los candidatos de nivel básico realicen cálculos con forma estándar únicamente en el Examen 3. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar la forma estándar $A \times 10^n$, donde $n$ es un entero positivo o negativo y $1 \leqslant A < 10$. | |
| 2 Convertir números a y desde la forma estándar. | |
| 3 Realizar cálculos con valores en forma estándar. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
La notación científica escribe un número como $A \times 10^{n}$, donde $1 \leqslant A < 10$ y $n$ es un entero. Se usa para números muy grandes o muy pequeños.
Para convertir, cuenta cuántas posiciones se mueve el punto decimal:
- $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^{6}$ — el punto se mueve $6$ lugares a la izquierda, por lo que el exponente es positivo.
- $0.00072 = 7.2 \times 10^{-4}$ — el punto se mueve $4$ lugares a la derecha, por lo que el exponente es negativo.
Ejemplo resuelto. Calcula $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$.
Multiplique los números de delante y sume las potencias:
$$3 \times 2 = 6, \qquad 10^{5} \times 10^{-2} = 10^{3}, \qquad \text{so the answer is } 6 \times 10^{3}.$$
Error común. Dejar una respuesta como $15 \times 10^{4}$. El primer número debe estar entre $1$ y $10$, así que escriba $1.5 \times 10^{5}$.
Explorar
Ruta de forma estándar
Escribe un número grande o pequeño en la forma A × 10ⁿ.
Vocabulario
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| English | Español |
|---|---|
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | forma estándar |
| decimal/ˈdesɪml/ | decimal |
1.18
Radicales (Ampliado)
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Comprender y usar radicales, incluyendo la simplificación de expresiones. | Ejemplos incluyen: • $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ • $\sqrt{200} - \sqrt{32} = 6\sqrt{2}$. |
| 2 Racionalizar el denominador. | Ejemplos incluyen: • $\frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ • $\frac{1}{-1 + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un radical es una raíz que es irracional, como $\sqrt{5}$. Déjalo en forma exacta en lugar de redondearlo. Dos reglas útiles:
$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$$
Simplificar un radical extrayendo el mayor factor cuadrado.
Ejemplo resuelto. Simplificar $\sqrt{20}$ y $\sqrt{200} - \sqrt{32}$.
$$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4}\,\sqrt{5} = 2\sqrt{5}.$$
$$\sqrt{200} - \sqrt{32} = \sqrt{100 \times 2} - \sqrt{16 \times 2} = 10\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2}.$$
Racionalizar el denominador significa eliminar un radical de la parte inferior de una fracción (el denominador). Multiplica el numerador y el denominador por un valor que elimine el radical.
Ejemplo resuelto. Racionalizar $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ y $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$.
$$\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}.$$
$$\frac{1}{-1+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}.$$
Explorar
Ruta de simplificación de radicales
Descomponer un radical en factores cuadrados y simplificarlo.
Vocabulario
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| English | Español |
|---|---|
| surd/sɜːd/ | radical |
| rationalise the denominator/ˈræʃənəlaɪz ðə dɪˈnɒmɪneɪtə/ | racionalizar el denominador |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | denominador |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | numerador |
| proper fraction/ˈprɒpə ˈfrækʃn/ | fracción propia |
| improper fraction/ɪmˈprɒpə ˈfrækʃn/ | fracción impropia |
| mixed number/mɪkst ˈnʌmbə/ | número mixto |
1.4
Fracciones, decimales y porcentajes
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar el lenguaje y la notación de los siguientes en contextos apropiados: • fracciones propias • fracciones impropias • números mixtos • decimales • porcentajes. | Se espera que los candidatos sean capaces de escribir las fracciones en su forma más simple. No se espera que los candidatos utilicen la notación de decimales periódicos. |
| 2 Reconocer equivalencias y realizar conversiones entre estas formas. | No se espera que los candidatos demuestren la conversión de un decimal periódico a una fracción y viceversa. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar el lenguaje y la notación de los siguientes en contextos apropiados: • fracciones propias • fracciones impropias • números mixtos • decimales • porcentajes. | Se espera que los candidatos sean capaces de escribir las fracciones en su forma más simple. Es necesaria la notación de decimales periódicos, p. ej.: • $0.1\dot{7} = 0.1777...$ • $0.1\dot{2}\dot{3} = 0.1232323...$ • $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123...$ |
| 2 Reconocer equivalencias y realizar conversiones entre estas formas. | Incluye la conversión entre decimales periódicos y fracciones y viceversa, p. ej.: escribir $0.1\dot{7}$ como una fracción. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una fracción tiene un numerador (la parte superior) y un denominador (la parte inferior).
- fracción propia: numerador menor que el denominador, ej. $\frac{3}{4}$.
- fracción impropia: el numerador es igual o mayor, ej. $\frac{7}{4}$.
- número mixto: un número entero más una fracción, ej. $1\frac{3}{4}$.
Cambiar entre impropias y mixtas: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ porque $7 \div 4 = 1$ residuo $3$.
Un número decimal usa el valor posicional después de un punto. Un porcentaje significa «de cada $100$», por lo que $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$.
Conversiones entre formas
| Para cambiar | Método | Ejemplo |
|---|---|---|
| fracción → decimal | divide el numerador entre el denominador | $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$ |
| decimal → porcentaje | multiplica por $100$ | $0.07 = 7\%$ |
| porcentaje → fracción | pon sobre $100$, luego simplifica | $7\% = \frac{7}{100}$ |
| porcentaje → decimal | divide por $100$ | $34\% = 0.34$ |
Escriba una fracción en su forma más simple dividiendo el numerador y el denominador por su MCD: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (ambos divididos por $6$).
Decimales periódicos (Extendido)
Un decimal periódico repite los mismos dígitos indefinidamente. Los puntos marcan la parte que se repite: $0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ y $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$
Para convertir un decimal periódico en una fracción, multiplica de manera que las partes repetidas coincidan y luego resta.
Ejemplo resuelto. Escribe $0.1\dot{7}$ como una fracción.
Sea $x = 0.1777\ldots$ Solo se repite el $7$, por lo que utiliza $10x$ y $100x$:
$$100x = 17.777\ldots, \qquad 10x = 1.777\ldots$$
$$100x - 10x = 16, \qquad 90x = 16, \qquad x = \frac{16}{90} = \frac{8}{45}.$$
Explorar
Laboratorio de formas numéricas
Clasificar formas numéricas equivalentes y operaciones.
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| recurring decimal/rɪˈkɜːrɪŋ ˈdesɪml/ | decimal periódico |
1.6
Las cuatro operaciones
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Utilice las cuatro operaciones para realizar cálculos con números enteros, fracciones y decimales, incluyendo el orden correcto de las operaciones y el uso de paréntesis. | Incluye: • números negativos • fracciones impropias • números mixtos • situaciones prácticas, p. ej., cambios de temperatura. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Utilizar las cuatro operaciones para realizar cálculos con números enteros, fracciones y decimales, incluyendo el orden correcto de las operaciones y el uso de paréntesis. | Incluye: • números negativos • fracciones impropias • números mixtos • situaciones prácticas, p. ej., cambios de temperatura. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Orden de las operaciones
Trabaja en este orden — el orden de las operaciones: paréntesis primero, luego exponentes (potencias y raíces), luego multiplicar y dividir (de izquierda a derecha), luego sumar y restar (de izquierda a derecha).
Ejemplo resuelto. Calcula $-6 \times -3 + 7 \times 2$.
Haz primero las multiplicaciones: $-6 \times -3 = 18$ y $7 \times 2 = 14$. Luego suma: $18 + 14 = 32$.
Números negativos
- Sumar un negativo: $5 + (-3) = 5 - 3 = 2$.
- Restar un negativo: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.
- Multiplicar o dividir: signos iguales dan positivo; signos diferentes dan negativo. Por lo tanto, $-6 \times -3 = 18$ pero $-12 \div 4 = -3$.
Un cambio de temperatura de $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ a $3\,{}^{\circ}\text{C}$ es un aumento de $8\,{}^{\circ}\text{C}$.
Cálculo con fracciones
- Multiplicar: multiplica los numeradores, multiplica los denominadores: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$.
- Dividir: multiplica por el recíproco de la segunda fracción: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
- Sumar o restar: usa un denominador común (el MCM de los denominadores).
Ejemplo resuelto. Calcula $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$, dando la respuesta en su forma más simple.
Convierte el número mixto a fracción impropia, luego usa el denominador $15$:
$$1\frac{7}{15} = \frac{22}{15}, \qquad \frac{4}{5} = \frac{12}{15}, \qquad \frac{22}{15} - \frac{12}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}.$$
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| order of operations/ˈɔːdə ɒv ˌɒpəˈreɪʃnz/ | orden de operaciones |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | magnitud |
| multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/ | multiplicador |
| ratio/ˈreɪʃɪəʊ/ | razón |
| proportion/prəˈpɔːʃn/ | proporción |
| scale/skeɪl/ | escala |
| rate/reɪt/ | tasa |
1.5
Ordenamiento
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Ordenar cantidades según su magnitud y demostrar familiaridad con los símbolos $=, \ne, >, <, \geqslant$ y $\leqslant$. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Ordenar cantidades según su magnitud y demostrar familiaridad con los símbolos $=, \neq, >, <, \geqslant$ y $\leqslant$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Usa estos símbolos para comparar números según su magnitud (tamaño):
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $=$ | es igual a |
| $\neq$ | no es igual a |
| $>$ | es mayor que |
| $<$ | es menor que |
| $\geqslant$ | es mayor o igual que |
| $\leqslant$ | es menor o igual que |
Para ordenar una lista mixta, cambia todos los valores a decimales primero.
Ejemplo resuelto. Ordena $34\%$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{3}{10}$, del menor al mayor.
Como decimales: $34\% = 0.34$, $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\frac{3}{10} = 0.3$. Así que el orden es
$$\frac{3}{10} < \frac{1}{3} < 34\%.$$
1.13
Porcentajes
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Calcular un porcentaje dado de una cantidad. | |
| 2 Expresar una cantidad como porcentaje de otra. | |
| 3 Calcular el aumento o la disminución porcentual. | |
| 4 Calcular con interés simple y compuesto. | No se proporcionan fórmulas. Los cálculos de porcentajes pueden incluir: • depósito • descuento • ganancia y pérdida (en cantidad o en porcentaje) • ingresos • porcentajes superiores al 100%. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Calcular un porcentaje dado de una cantidad. | |
| 2 Expresar una cantidad como porcentaje de otra. | |
| 3 Calcular el aumento o la disminución porcentual. | |
| 4 Calcular con interés simple y compuesto. | Los problemas pueden incluir cambios porcentuales repetidos. No se proporcionan fórmulas. |
| 5 Calcular usando porcentajes inversos. | p. ej., encontrar el precio de coste dados el precio de venta y el porcentaje de beneficio. Los cálculos de porcentajes pueden incluir: • depósito • descuento • ganancia y pérdida (como cantidad o como porcentaje) • ingresos • porcentajes superiores al 100 %. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Encontrar un porcentaje de una cantidad. $15\%$ de $\$80 = 0.15 \times 80 = \$12$.
Escribir una cantidad como porcentaje de otra. Una puntuación de $18$ sobre $25$ es $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$.
Aumento o disminución porcentual usa
$$\text{percentage change} = \frac{\text{change}}{\text{original amount}} \times 100\%.$$
Ejemplo resuelto. Un precio sube de $\$40$ a $\$50$. Encuentra el aumento porcentual.
El cambio es $\$10$, por lo tanto un aumento del $\frac{10}{40} \times 100\% = 25\%$.
Error común. Dividir por la nueva cantidad ($\frac{10}{50} = 20\%$). El porcentaje de cambio siempre se calcula a partir de la cantidad original.
Una forma rápida es usar un multiplicador. Para aumentar en $15\%$, multiplica por $1.15$; para disminuir en $15\%$, multiplica por $0.85$.
Ganancias y pérdidas. Una tienda compra un artículo al precio de costo y lo vende al precio de venta. La ganancia es el precio de venta $-$ el precio de costo (una pérdida si es negativa). El porcentaje de ganancia siempre se calcula a partir del precio de costo:
$$\text{percentage profit} = \frac{\text{profit}}{\text{cost price}} \times 100\%.$$
Ejemplo resuelto. Una comerciante compra $40$ camisas por un total de $\$300$. Vende $30$ de ellas a $\$12$ cada una y el resto a $\$6$ cada una en una liquidación. Calcula su porcentaje de ganancia.
Ingresos: $30 \times 12 + 10 \times 6 = 360 + 60 = \$420$. Ganancia: $420 - 300 = \$120$. Porcentaje de ganancia: $\dfrac{120}{300} \times 100\% = 40\%$.
Dos cambios consecutivos. Multiplica los factores multiplicativos; no sumes los porcentajes. Un precio sube un $20\%$ y luego baja un $20\%$: $1.2 \times 0.8 = 0.96$, así que el precio final es un $4\%$ menor que al principio, no es el mismo.
Interés simple y compuesto
Los intereses son dinero pagado por pedir prestado o por ahorrar. El capital es la cantidad inicial.
- Interés simple: paga la misma cantidad cada año, calculado solo sobre el capital:
$$I = \frac{P \times r \times t}{100},$$donde $P$ es el capital, $r$ es la tasa anual (en porcentaje) y $t$ es el número de años.
- Interés compuesto: suma los intereses de cada año, por lo que al siguiente año se ganan intereses sobre un total mayor:
$$\text{final value} = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{t}.$$
Ejemplo resuelto. Encuentra el valor de $\$500$ ahorrados con un interés compuesto del $4\%$ durante $3$ años.
$$500 \times 1.04^{3} = 500 \times 1.124864 = \$562.43 \ (\text{to the nearest cent}).$$
Porcentajes inversos (Ampliado)
Un problema de porcentaje inverso da la cantidad después de un cambio y pide la original. Para resolverlo, divide por el multiplicador; no simplemente reste el porcentaje.
Ejemplo resuelto. Un abrigo cuesta $\$60$ después de un aumento del $20\%$. Encuentra el precio original.
$\$60$ representa el $120\%$ del original, por lo que el precio original es $60 \div 1.2 = \$50$.
Error común. Restar $20\%$ al nuevo precio: $60 \times 0.8 = \$48$ es incorrecto, porque el $20\%$ era un porcentaje del precio original, no de $\$60$. Verifique: $50 \times 1.2 = 60$.
Explorar
Laboratorio de cambio porcentual
valor nuevo = valor antiguo x multiplicador
Cambia el multiplicador y observa cómo cambia el valor final.
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| percentage/pəˈsentɪdʒ/ | porcentaje |
| simplest form/ˈsɪmpəlɪst fɔːm/ | forma simplificada |
| cost price | precio de costo |
| selling price/ˈselɪŋ praɪs/ | precio de venta |
| profit/ˈprɒfɪt/ | ganancia |
| loss/lɒs/ | pérdida |
| interest/ˈɪntrest/ | interés |
| principal/ˈprɪnsɪpl/ | capital |
| simple interest/ˈsɪmpl ˈɪntrest/ | interés simple |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | interés compuesto |
| reverse percentage/rɪˈvɜːs pəˈsentɪdʒ/ | porcentaje inverso |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | crecimiento exponencial |
1.17
Crecimiento y decrecimiento exponencial (Ampliado)
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Utilizar el crecimiento y el decaimiento exponenciales. | p. ej., depreciación, cambio poblacional. No se requiere conocimiento de e. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Cuando una cantidad cambia en el mismo porcentaje en cada periodo de tiempo, muestra crecimiento exponencial (aumenta) o decaimiento exponencial (disminuye). Usa la fórmula del interés compuesto. La depreciación, donde algo como un coche pierde valor cada año, es decaimiento.
Ejemplo resuelto. Un coche valorado en $\$20\,000$ pierde el $15\%$ de su valor cada año. Encuentra su valor después de $4$ años.
El multiplicador es $0.85$, así que
$$20\,000 \times 0.85^{4} = 20\,000 \times 0.522\ldots = \$10\,440 \ (\text{to the nearest dollar}).$$
Explorar
Interés compuesto
El dinero crece por un factor de (1 + r) cada año, por lo que las curvas de interés compuesto se sitúan por encima del interés simple. Arrastra la tasa y el número de años.
Explorar
Crecimiento y decaimiento exponencial
y = a·bˣ
Cambia la base b: si b > 1 hay crecimiento, si 0 < b < 1 hay decaimiento — útil para intereses y poblaciones.
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | decaimiento exponencial |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | depreciación |
1.11
Proporción y proporcionalidad
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Comprender y utilizar la proporción y la proporcionalidad para: | |
| • expresar las proporciones en su forma más simple | ej. 20:30:40 en su forma más simple es 2:3:4. |
| • dividir una cantidad según una proporción dada | |
| • aplicar el razonamiento proporcional y las proporciones en contextos reales. | ej. adaptar recetas; usar escalas de mapas; determinar la mejor relación calidad-precio. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Comprender y utilizar la proporción y la proporcionalidad para: | |
| • expresar proporciones en su forma más simple | ej. 20:30:40 en su forma más simple es 2:3:4. |
| • dividir una cantidad según una proporción dada | |
| • aplicar razonamiento proporcional y proporciones en contextos reales. | ej. adaptar recetas; usar escalas de mapas; determinar el mejor valor. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una proporción compara cantidades, escrita como $a:b$. Simplifíquela como una fracción dividiendo por el MCD: $20:30:40 = 2:3:4$.
Dividir en proporción. Reparta $\$48$ en la proporción $3:5$.
El número total de partes es $3 + 5 = 8$. Una parte equivale a $48 \div 8 = \$6$. Por lo tanto, las reparticiones son $3 \times 6 = \$18$ y $5 \times 6 = \$30$.
Ejemplo resuelto (se conoce una parte). Amir y Bella se reparten unos dulces en la razón $2:7$. Bella recibe $35$ dulces más que Amir. ¿Cuántos dulces hay en total?
La diferencia es de $7 - 2 = 5$ partes, así que $5$ partes $= 35$ y $1$ parte $= 7$. El total es de $2 + 7 = 9$ partes $= 9 \times 7 = 63$ dulces.
Proporcionalidad significa que dos proporciones son iguales. Utilícela para recetas, escalas de mapa y para encontrar la mejor relación calidad-precio.
Ejemplo resuelto (escala de un mapa). Un mapa tiene una escala de $1:50\,000$. Dos pueblos están separados por $6.4$ cm en el mapa. Calcula la distancia real en kilómetros.
Distancia real $= 6.4 \times 50\,000 = 320\,000$ cm. Divide entre $100$ para obtener metros ($3200$ m) y luego entre $1000$ para obtener kilómetros: $3.2$ km.
Ejemplo resuelto (mejor precio). El arroz se vende en una bolsa de $2$ kg por $\$3.40$ o en una bolsa de $5$ kg por $\$8.25$. ¿Cuál ofrece una mejor relación calidad-precio?
Calcula el costo de $1$ kg de cada bolsa: $3.40 \div 2 = \$1.70$ y $8.25 \div 5 = \$1.65$. La bolsa de $5$ kg ofrece una mejor relación calidad-precio porque cada kilogramo cuesta menos. Compara siempre la misma cantidad e indica con palabras cuál conviene más.
Ejemplo resuelto. $3$ bolígrafos cuestan $\$1.80$. Calcule el costo de $7$ bolígrafos.
Un bolígrafo cuesta $1.80 \div 3 = \$0.60$. Así, $7$ bolígrafos cuestan $7 \times 0.60 = \$4.20$.
Explorar
Proporcionalidad directa
y = ax
La proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen — duplicas x y duplicas y.
1.12
Tasas y velocidad media
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar medidas comunes de tasa. | p. ej., calcular con: • tarifas por hora • tipos de cambio entre divisas • tasas de flujo • consumo de combustible. |
| 2 Aplicar otras medidas de tasa. | p. ej., calcular con: • presión • densidad • densidad poblacional. Las fórmulas necesarias se proporcionarán en el enunciado. |
| 3 Resolver problemas que involucren velocidad media. | Se requiere conocimiento de la fórmula de velocidad/distancia/tiempo. p. ej., Un ciclista recorre 45 km en 3 horas y 45 minutos. ¿Cuál es su velocidad media? La notación utilizada será, p. ej., m/s (metros por segundo), $\text{g/cm}^3$ (gramos por centímetro cúbico). |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar medidas comunes de tasa. | ej. calcular con: • tarifas por hora • tipos de cambio entre divisas • tasas de flujo • consumo de combustible. |
| 2 Aplicar otras medidas de tasa. | ej. calcular con: • presión • densidad • densidad de población. Las fórmulas requeridas se proporcionarán en la pregunta. |
| 3 Resolver problemas que involucren velocidad promedio. | Se requiere conocimiento de la fórmula velocidad/distancia/tiempo. ej. Un ciclista recorre 45 km en 3 horas y 45 minutos. ¿Cuál es su velocidad promedio? La notación utilizada será, ej. m/s (metros por segundo), g/cm$^{3}$ (gramos por centímetro cúbico). |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una tasa compara dos cantidades medidas en unidades diferentes, como precio por kilogramo o distancia por hora.
La velocidad media se calcula usando
$$\text{average speed} = \frac{\text{total distance}}{\text{total time}}.$$
Ejemplo resuelto. Un ciclista recorre $45\text{ km}$ en $3$ horas $45$ minutos. Halla la velocidad media.
Primero convierte el tiempo a horas: $3$ h $45$ min $= 3.75$ h. Entonces
$$\text{average speed} = \frac{45}{3.75} = 12\text{ km/h}.$$
Otras tasas funcionan de manera similar. La densidad se obtiene a partir de la masa y el volumen:
$$\text{density} = \frac{\text{mass}}{\text{volume}}.$$
Otros ejemplos son el caudal, el consumo de combustible y la densidad poblacional. Si una tasa requiere una fórmula especial (como la presión), la pregunta se la proporcionará.
Vocabulario
Entrenar
| English | Español |
|---|---|
| average speed/ˈævrɪdʒ spiːd/ | velocidad media |
| density/ˈdensɪti/ | densidad |
| mass/mæs/ | masa |
| volume/ˈvɒljuːm/ | volumen |
| population density/ˌpɒpjʊˈleɪʃn ˈdensɪti/ | densidad de población |
| pressure/ˈpreʃə/ | presión |
| decimal place/ˈdesɪml pleɪs/ | posición decimal |
| significant figure/sɪɡˈnɪfɪkənt ˈfɪɡə/ | cifra significativa |
| estimate/ˈestɪmət/ | estimación |
| lower bound/ˈləʊə baʊnd/ | límite inferior |
| upper bound/ˈʌpə baʊnd/ | límite superior |
| area/ˈeərɪə/ | área |
| time zone/taɪm zəʊn/ | zona horaria |
| exchange rate/eksˈtʃeɪndʒ reɪt/ | tasa de cambio |
1.9
Redondeo y estimación
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Redondear valores a un grado de precisión especificado. | Incluye decimales y cifras significativas. |
| 2 Realizar estimaciones para cálculos que involucren números, cantidades y medidas. | p. ej. escribir 5764 correcto al mil más cercano. p. ej. escribiendo cada número correcto a 1 cifra significativa, estimar el valor de $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Redondear respuestas a un grado razonable de precisión en el contexto de un problema dado. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Redondear valores a un grado de precisión especificado. | Incluye decimales y cifras significativas. ej. escribir 5764 correcto al mil más cercano. |
| 2 Realizar estimaciones para cálculos que involucren números, cantidades y mediciones. | ej. escribiendo cada número correcto a 1 cifra significativa, estimar el valor de $$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765}$$ . |
| 3 Redondear respuestas a un grado de razonable en el contexto de un problema dado. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Redondeo
- decimales: dígitos contados después del punto decimal. De $3.14159$ a $2$ decimales da como resultado $3.14$.
- cifras significativas: dígitos contados desde el primer dígito distinto de cero. De $5764$ a $1$ cifras significativas da como resultado $6000$; de $0.004067$ a $2$ cifras significativas da como resultado $0.0041$.
Regla: observa el siguiente dígito. Si es $5$ o mayor, redondea hacia arriba; si es menor, redondea hacia abajo.
Estimación
Para estimar un resultado, redondee cada número a $1$ cifra significativa y luego realice el cálculo.
Ejemplo resuelto. Estima $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$.
$$\frac{41.3}{9.79 \times 0.765} \approx \frac{40}{10 \times 0.8} = \frac{40}{8} = 5.$$
Explorar
Laboratorio de redondeo y límites
Clasificar números según la decisión necesaria para la precisión.
1.10
Límites de precisión
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Determinar los límites superior e inferior para datos redondeados a una precisión especificada. | ej. escribir el límite superior de una longitud medida con corrección al metro más cercano. No se espera que los candidatos hallen los límites de los resultados de cálculos que han utilizado datos redondeados a una precisión especificada. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Dar los límites superior e inferior para datos redondeados a una precisión especificada. | p. ej., escribir el límite superior de una longitud medida con precisión al metro más cercano. |
| 2 Encontrar los límites superior e inferior de los resultados de cálculos que han utilizado datos redondeados a una precisión especificada. | Los ejemplos de cálculos incluyen: • calcular el límite superior del perímetro o del área de un rectángulo dadas dimensiones medidas al centímetro más cercano • encontrar el límite inferior de la velocidad dados valores redondeados de distancia y tiempo. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un valor redondeado podría ser realmente cualquier cosa que se redondee a él. Los límites inferior y superior son los valores límite. Un límite superior no necesita ser admisible en sí mismo. Para un valor redondeado a la unidad más cercana, los límites se sitúan media unidad a cada lado.
Ejemplo resuelto. Una altura $h$ es $635\text{ m}$, correcta a la nearest metre. Da los límites.
$$634.5 \leqslant h < 635.5.$$
Por lo tanto, el límite inferior es $634.5\text{ m}$ y el límite superior es $635.5\text{ m}$.
Límites en cálculos (Extendido)
Combina los límites para obtener el límite que deseas.
Ejemplo resuelto. Un rectángulo mide $8\text{ cm}$ por $5\text{ cm}$, con cada lado medido al centímetro más cercano. Halla el límite superior de su área.
Utilice los límites superiores de ambos lados: $8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$. (El área más pequeña utiliza los límites inferiores: $7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$.)
Para una cantidad dividida como $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$, la velocidad más grande se obtiene dividiendo la distancia más grande por el tiempo más pequeño.
Errores comunes. Escribir el límite superior como $635.4$ o $635.49$ (debe ser $635.5$, aunque $635.5$ redondearía hacia arriba), y usar el límite superior del tiempo para obtener la velocidad máxima. Dividir por un número menor da una respuesta mayor.
1.15
Tiempo
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Realizar cálculos con el tiempo: segundos (s), minutos (min), horas (h), días, semanas, meses, años, incluyendo la relación entre las unidades. | 1 año = 365 días. |
| 2 Calcular horarios en términos del reloj de 24 horas y del reloj de 12 horas. | En el reloj de 24 horas, por ejemplo, las 3:15 a.m. se expresan como 03 15 y las 3:15 p.m. como 15 15. |
| 3 Leer relojes y horarios. | Incluye problemas que involucran zonas horarias, horas locales y diferencias de tiempo. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Realizar cálculos con unidades de tiempo: segundos (s), minutos (min), horas (h), días, semanas, meses y años, incluyendo las relaciones entre estas unidades. | 1 año = 365 días. |
| 2 Calcular tiempos según el sistema de 24 horas y el sistema de 12 horas. | En el sistema de 24 horas, por ejemplo, las 3:15 a.m. se expresan como 0315 y las 3:15 p.m. como 1515. |
| 3 Interpretar relojes y horarios. | Incluye problemas que involucran zonas horarias, horas locales y diferencias de tiempo. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
- $60$ segundos $= 1$ minuto, $60$ minutos $= 1$ hora, $24$ horas $= 1$ día y $1$ año $= 365$ días.
- El reloj de 24 horas escribe una hora como cuatro dígitos: $3.15$ p.m. es $15\,15$.
Ejemplo resuelto. Una película comienza a las $19\,35$ y dura $70$ minutos. Encuentra la hora en que termina.
$70$ min $= 1$ h $10$ min. Al sumar $1$ hora se obtiene $20\,35$; al sumar $10$ minutos se obtiene $20\,45$.
Para problemas de horarios y zonas horarias, sume o reste la diferencia de tiempo entre los lugares.
Ejemplo resuelto (zonas horarias). Un vuelo sale de Singapur a las $23\,50$ hora local y aterriza en Londres $13$ horas y $25$ minutos después. La hora de Londres está $8$ horas atrasada con respecto a la de Singapur. Calcula la hora local en Londres cuando aterriza.
Hora de aterrizaje según la hora de Singapur: $23\,50 + 13$ h $25$ min $= 13\,15$ del día siguiente. Londres está $8$ horas atrasada, así que la hora local en Londres es $13\,15 - 8$ h $= 05\,15$ (del día siguiente). Cambia de zona horaria una sola vez, al final, para no confundir las dos horas.
Explorar
Laboratorio de tiempo, dinero y calculadora
Elegir la operación que corresponde a un problema de medición real.
1.16
Dinero
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Realizar operaciones con dinero. | |
| 2 Convertir de una moneda a otra. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Calcular con dinero. | |
| 2 Convertir de una moneda a otra. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Trabaje con dinero como decimales ordinarios, pero presente las respuestas con $2$ decimales (por ejemplo, $\$4.8$ se escribe como $\$4.80$).
Conversión de divisas. Utilice el tipo de cambio como multiplicador.
Ejemplo resuelto. El tipo de cambio es $\$1 = €0.92$. Convierta $\$150$ a euros y convierta $€138$ de vuelta a dólares.
$$150 \times 0.92 = €138, \qquad 138 \div 0.92 = \$150.$$
1.14
Uso de la calculadora
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilice la calculadora de manera eficiente. | Ej.: saber que no se deben redondear los valores dentro de un cálculo, sino únicamente la respuesta final. |
| 2 Introduzca los valores adecuadamente en la calculadora. | Ej.: introduzca 2 horas 30 minutos como 2,5 horas o como 2° 30’ 0’’. |
| 3 Interprete correctamente la pantalla de la calculadora. | Ej.: en dinero, 4,8 significa $4,80; en tiempo, 3,25 significa 3 horas y 15 minutos. |
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilice la calculadora de forma eficiente. | Ej.: saber no redondear valores dentro de un cálculo y solo redondear la respuesta final. |
| 2 Introduzca los valores adecuadamente en la calculadora. | Ej.: introduzca 2 horas 30 minutos como 2,5 horas o 2° 30' 0''. |
| 3 Interprete la pantalla de la calculadora de forma adecuada. | Ej.: en dinero, 4,8 significa $4,80; en tiempo, 3,25 significa 3 horas 15 minutos. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
- No redondees durante el cálculo. Mantén el valor completo y redondea solo la respuesta final.
- Ingresa el tiempo como decimal de una hora: $2$ horas $30$ minutos son $2.5$ horas, no $2.30$.
- Lea la lectura según el contexto: en dinero, $4.8$ significa $\$4.80$; en tiempo, $3.25$ horas equivalen a $3$ horas y $15$ minutos.
1.14
Consejos para el examen
- Sigue el orden BIDMAS (paréntesis, exponentes, división/multiplicación, suma/resta) y recuerda que un negativo por un negativo es positivo.
- En notación científica, el número delante está entre 1 y 10; un número pequeño (como $0.0004$) tiene una potencia negativa de 10.
- Un cambio en porcentaje se calcula sobre la cantidad original. Para un porcentaje inverso, divide por el multiplicador (p. ej., $\div 1.2$ revierte un aumento del $20\%$).
- No redondees a mitad de camino: conserva el valor completo y redondea solo al final, según la precisión que pida la pregunta (decimales o cifras significativas).
- Para los límites de exactitud, un valor redondeado al entero más cercano puede variar hasta $0.5$ en cada sentido (por lo tanto, $8$ significa $7.5 \le x < 8.5$).
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.