Este folleto cubre el Tema 6, Trigonometría. Las partes marcadas (Ampliado) solo se examinan en los papeles Ampliados; todo lo demás es para ambos niveles. Da respuestas angulares con una cifra decimal.
Trigonometría
IGCSE Matemáticas · Tema 6
8:37
Trigonometría
¿Qué tan alta es esa torre? No puedes subirla con una cinta métrica. Pero puedes quedarte en el suelo, caminar cincuenta metros hacia atrás, y medir un ángulo — el ángulo que…
Narración en inglés · Subtítulos en inglés + 中文 quemados en pantalla
6.1
Teorema de Pitágoras
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras. |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo (un triángulo con un ángulo $90^{\circ}$). Si el lado más largo (la hipotenusa, opuesto al ángulo recto) es $c$, entonces
$$a^{2} + b^{2} = c^{2}.$$
Use it to find a missing side.
Ejemplo resuelto. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de $13\text{ cm}$ y un cateto corto de $5\text{ cm}$. Encuentra el otro cateto corto.
$$b^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144, \qquad b = \sqrt{144} = 12\text{ cm}.$$
Explorar
Teorema de Pitágoras
Cambie los dos lados cortos y vea $a^2 + b^2 = c^2$ — los cuadrados de los lados realmente suman.
6.2
Trigonometría en triángulos rectángulos
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Conocer y utilizar las razones de seno, coseno y tangente para ángulos agudos en cálculos que involucren lados y ángulos de un triángulo rectángulo. | Los ángulos se darán en grados y las respuestas deben escribirse en grados, con decimales correctos hasta una posición decimal. |
| 2 Resolver problemas en dos dimensiones utilizando el teorema de Pitágoras y la trigonometría. | Puede ser necesario conocer los rumbos (acimut). |
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Conocer y utilizar las razones seno, coseno y tangente para ángulos agudos en cálculos que involucran lados y ángulos de un triángulo rectángulo. | Los ángulos se darán en grados y las respuestas deben escribirse en grados, con decimales correctos hasta un lugar decimal. |
| 2 Resolver problemas en dos dimensiones utilizando el teorema de Pitágoras y la trigonometría. | Puede ser necesario conocer los rumbos (acimutales). |
| 3 Saber que la distancia perpendicular desde un punto a una línea es la distancia más corta a dicha línea. | |
| 4 Realizar cálculos que involucren ángulos de elevación y depresión. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Etiqueta los lados desde el ángulo que estás utilizando: el opuesto (frente al ángulo), el adyacente (junto al ángulo) y la hipotenusa. Las tres razones son el seno, coseno y tangente (sin, cos, tan):
$$\sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}.$$
Recuérdalas como SOH-CAH-TOA. Para encontrar un ángulo, usa la inversa ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Ejemplo resuelto (encontrar un lado). En un triángulo rectángulo la hipotenusa es $10\text{ cm}$ y el ángulo es $30^{\circ}$. Encuentre el lado opuesto.
$$\text{opp} = 10 \times \sin 30^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5\text{ cm}.$$
Ejemplo resuelto (encontrar un ángulo). El lado opuesto es $4\text{ cm}$ y el lado adyacente es $3\text{ cm}$.
$$\tan\theta = \frac{4}{3}, \qquad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}.$$
Explorar
Seno, coseno y tangente
Arrastre el ángulo en el círculo unitario para ver de dónde provienen sen, cos y tan.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | 勾股定理 | gōu gǔ dìng lǐ |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | 直角三角形 | zhí jiǎo sān jiǎo xíng |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | 三角形 | sān jiǎo xíng |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | 斜边 | xié biān |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | 对边 | duì biān |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | 邻边 | lín biān |
6.2
Angles of elevation and depression (Extended)
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Conocer y utilizar las razones seno, coseno y tangente para ángulos agudos en cálculos que involucran lados y ángulos de un triángulo rectángulo. | Los ángulos se darán en grados y las respuestas deben escribirse en grados, con decimales correctos hasta un lugar decimal. |
| 2 Resolver problemas en dos dimensiones utilizando el teorema de Pitágoras y la trigonometría. | Puede ser necesario conocer los rumbos (acimutales). |
| 3 Saber que la distancia perpendicular desde un punto a una línea es la distancia más corta a dicha línea. | |
| 4 Realizar cálculos que involucren ángulos de elevación y depresión. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
El ángulo de elevación es el ángulo hacia arriba desde la horizontal hasta un objeto que está encima de ti. El ángulo de depresión es el ángulo hacia abajo desde la horizontal hasta un objeto que está debajo de ti. La distancia más corta desde un punto a una línea es la distancia perpendicular.
Ejemplo resuelto. Desde un punto $50\text{ m}$ de la base de una torre, el ángulo de elevación a la cima es $40^{\circ}$. Encuentre la altura de la torre.
$$\text{height} = 50 \times \tan 40^{\circ} = 50 \times 0.839 = 42.0\text{ m}.$$
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 | chuí zhí |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | 三角方程 | sān jiǎo fāng chéng |
6.3
Exact trigonometric values (Extended)
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Conocer los valores exactos de: 1 $\sin x$ y $\cos x$ para $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ y $90^\circ$. 2 $\tan x$ para $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ y $60^\circ$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Debes conocer estos valores exactos sin calculadora.
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
6.4
Graphs and trigonometric equations (Extended)
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Reconocer, dibujar y analizar los siguientes gráficos para $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 Resolver ecuaciones trigonométricas que involucran $\sin x$, $\cos x$ o $\tan x$, para $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | p. ej. resolver: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ para $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ para $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Para $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
- $y = \sin x$ es una onda que comienza en $0$, alcanza el pico en $90^{\circ}$, vuelve a $0$ en $180^{\circ}$, baja a $-1$ en $270^{\circ}$.
- $y = \cos x$ is the same wave but starting at $1$.
- $y = \tan x$ rises steeply and repeats every $180^{\circ}$.
Una ecuación trigonométrica a menudo tiene más de una respuesta en este rango. Use el gráfico (o la simetría de la onda) para encontrarlas todas.
Ejemplo resuelto. Resuelve $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ para $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
Una respuesta es $x = 60^{\circ}$. La onda senoidal también es $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ en $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Entonces $x = 60^{\circ}$ o $120^{\circ}$.
Ejemplo resuelto. Resuelve $2\cos x + 1 = 0$ para $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
$$\cos x = -\tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = 120^{\circ} \text{ or } 240^{\circ}.$$
Explorar
Gráficos y ecuaciones trigonométricas
(cos θ, sin θ)
A medida que θ gira, sin y cos trazan sus ondas — y se repiten cada 360°.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| sine/saɪn/ | 正弦 | zhèng xián |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 余弦 | yú xián |
| tangent ratio/ˈtændʒənt ˈreɪʃɪəʊ/ | 正切 | zhèng qiē |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | 仰角 | yǎng jiǎo |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | 俯角 | fǔ jiǎo |
6.5
The sine and cosine rules (Extended)
Syllabus
| Contenido temático | Notas y ejemplos |
|---|---|
| 1 Utilizar las reglas del seno y del coseno en cálculos que impliquen longitudes y ángulos de cualquier triángulo. | Incluye problemas con ángulos obtusos y el caso ambiguo. |
| 2 Utilizar la fórmula $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | Las reglas del seno y del coseno, así como la fórmula para el área de un triángulo, se encuentran en la Lista de fórmulas. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Para cualquier triángulo (no solo rectángulo), con lados $a, b, c$ opuestos a ángulos $A, B, C$:
$$\text{sine rule:}\quad \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},$$
$$\text{cosine rule:}\quad a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A.$$
Utiliza la ley de senos cuando tengas un lado y su ángulo opuesto. Utiliza la ley de cosenos cuando tengas dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o los tres lados. Con la ley de senos, ten cuidado con el caso ambiguo, donde un ángulo podría ser agudo u obtuso.
The area of any triangle is
$$\text{area} = \tfrac{1}{2}ab\sin C.$$
Ejemplo resuelto. Un triángulo tiene $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ y el ángulo entre ellos $A = 40^{\circ}$. Encuentra el lado $a$.
$$a^{2} = 7^{2} + 8^{2} - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 113 - 112 \times 0.766 = 27.2,$$
$$a = \sqrt{27.2} = 5.2\text{ cm}.$$
Explorar
Ley del seno y coseno
Dos lados y el ángulo entre ellos determinan el triángulo: la ley del coseno encuentra el tercer lado, la ley del seno los otros ángulos.
Explorar
Significado de sin y cos
Gira el ángulo en el círculo unitario: el cateto horizontal es cos θ y el cateto vertical es sin θ — las mismas razones que usan las leyes del seno y el coseno.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | 正弦定理 | zhèng xián dìng lǐ |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | 余弦定理 | yú xián dìng lǐ |
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | 两解情况 | liǎng jiě qíng kuàng |
| plane/pleɪn/ | 平面 | píng miàn |
6.6
Pythagoras and trigonometry in 3D (Extended)
Syllabus
| Contenido del tema | Notas y ejemplos |
|---|---|
| Realizar cálculos y resolver problemas en tres dimensiones utilizando el teorema de Pitágoras y la trigonometría, incluyendo el cálculo del ángulo entre una recta y un plano. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
En tres dimensiones, encuentre un triángulo rectángulo dentro del sólido, luego use Pitágoras o trigonometría en él. Una tarea común es el ángulo entre una línea y una superficie plana (un plano).
Ejemplo resuelto. Una caja tiene una base $6\text{ cm}$ por $8\text{ cm}$ y altura $5\text{ cm}$. Encuentre el ángulo entre una diagonal espacial y la base.
Primero la diagonal de la base: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. Esta diagonal y la altura forman un triángulo rectángulo, así que el ángulo $\theta$ con la base es
$$\tan\theta = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad \theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}.$$
Explorar
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo a² + b² = c². La misma idea, aplicada dos veces, da longitudes dentro de sólidos 3-D.
6.6
Consejos para el examen
- Usa Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$) cuando no haya ángulo; usa SOH-CAH-TOA cuando haya un ángulo involucrado.
- La hipotenusa está siempre opuesta al ángulo recto. Etiquete los lados (opuesto, adyacente, hipotenusa) con respecto al ángulo que está usando.
- Para encontrar un ángulo, usa la inversa ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$), y verifica que tu calculadora esté configurada en grados.
- Para un triángulo sin ángulo recto, use la ley de senos o la ley de cosenos — la ley de cosenos cuando conoce dos lados y el ángulo entre ellos.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.