- understand that mass is the property of an object that resists change in motion
- recall $F = ma$ and solve problems using it, understanding that acceleration and resultant force are always in the same direction
- define and use linear momentum as the product of mass and velocity
- define and use force as rate of change of momentum
- state and apply each of Newton’s laws of motion
- describe and use the concept of weight as the effect of a gravitational field on a mass and recall that the weight of an object is equal to the product of its mass and the acceleration of free fall
动力学
A-Level 物理 · 第 3 主题
3.1
动量与牛顿运动定律
大纲
来源:剑桥国际大纲
质量
质量(mass)告诉你改变一个物体的运动有多难。质量越大,要给它某个加速度(acceleration)所需的力(force)就越大。质量以千克($\text{kg}$)为单位,是一个标量(scalar)。
动量
线动量(linear momentum)是质量与速度的乘积:
$$p = mv.$$
动量是一个矢量(vector)——它与速度(velocity)指向同一方向。它的单位是 $\text{kg m s}^{-1}$,和 $\text{N s}$ 相同。
力是动量的变化率
牛顿第二定律的一般形式:物体所受的合力(resultant force)等于它动量的变化率。
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}.$$
当质量恒定时,这变成 $F = ma$,因为 $\Delta p = m\,\Delta v$ 且 $\Delta v / \Delta t = a$。剑桥的题目常常要你在碰撞(collision)或冲量(impulse)问题中直接用 $F = \Delta p / \Delta t$:平均力等于动量的变化除以接触时间。
一个球以动量 $p_{1}$ 撞墙,又以相反方向的动量 $p_{2}$ 弹回。动量的变化是 $\Delta p = p_{2} - p_{1}$(给每个方向正确的正负号)。平均力是 $\Delta p / \Delta t$,其中 $\Delta t$ 是接触时间。
例题。 一个 $0.20\ \text{kg}$ 的球以 $8.0\ \text{m s}^{-1}$ 撞墙,又直接以 $6.0\ \text{m s}^{-1}$ 弹回。接触持续 $0.050\ \text{s}$。求球所受的平均力。
取弹回方向为正,所以 $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$、$v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:
$$\Delta p = m(v - u) = 0.20 \times \big(6.0 - (-8.0)\big) = 2.8\ \text{kg m s}^{-1},$$
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2.8}{0.050} = 56\ \text{N}.$$
当你知道动量但不知道速率时,动能(kinetic energy)的变化是
$$\Delta E_{\text{k}} = \frac{p_{2}^{2} - p_{1}^{2}}{2m}.$$
这来自 $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$。
探索
Free-body diagram (F = ma)
The resultant of the forces, divided by the mass, gives the acceleration.
探索
Newton's second law
F = ma (resultant)
The resultant force sets the acceleration; balanced forces ⇒ none.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| mass | 质量 | zhì liàng |
| force | 力 | lì |
| acceleration | 加速度 | jiā sù dù |
| scalar | 标量 | biāo liàng |
| linear momentum | 动量 | dòng liàng |
| vector | 矢量 | shǐ liàng |
| velocity | 速度 | sù dù |
| resultant force | 合力 | hé lì |
| collision | 碰撞 | pèng zhuàng |
| impulse | 冲量 | chōng liàng |
| kinetic energy | 动能 | dòng néng |
3.1
牛顿运动三定律
第一定律
一个物体保持静止,或沿直线以匀速继续运动,除非有一个合外力(external force)作用在它上面。简言之:合力为零就意味着加速度为零。
第二定律
物体所受的合力等于它动量的变化率,并且作用方向与那个变化相同。用 SI 单位,
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = ma \quad\text{(for constant mass)}.$$
加速度与合力总是指向同一方向。
第三定律
当物体 A 推物体 B 时,物体 B 以一个等大反向的力回推物体 A。这两个力:
- 作用在不同的物体上,
- 是同一类型的(都是引力、都是接触力、都是静电(electrostatic)力,等等),
- 大小相同、方向相反。
一个常见陷阱:桌上一个物块的重力(weight)和桌子给的支持力(normal contact force)不是一对第三定律力(它们作用在同一物体上,而且类型不同)。物块重力的第三定律配对力,是物块对地球的吸引。桌子接触力的第三定律配对力,是物块对桌子的推力。
对于火箭:作用在火箭上的推力(thrust)和作用在气体上的力是一对第三定律力(发动机把气体往下推,气体把发动机往上推)。重力和空气阻力不属于这一对。
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| external force | 外力 | wài lì |
| electrostatic | 静电 | jìng diàn |
| weight | 重力 | zhòng lì |
| normal contact force | 支持力 | zhī chí lì |
| thrust | 推力 | tuī lì |
3.1
重力
重力(weight)是重力场(gravitational field)对物体施加的力。在地球表面附近,
$$W = mg,$$
其中 $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ 是自由落体加速度。重力是一个指向地心的矢量。不要把它和质量搞混:质量处处相同,但重力随地点变化。
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| gravitational field | 重力场 | zhòng lì chǎng |
3.2
非匀速运动
大纲
- show a qualitative understanding of frictional forces and viscous/drag forces including air resistance (no treatment of the coefficients of friction and viscosity is required, and a simple model of drag force increasing as speed increases is sufficient)
- describe and explain qualitatively the motion of objects in a uniform gravitational field with air resistance
- understand that objects moving against a resistive force may reach a terminal (constant) velocity
来源:剑桥国际大纲
摩擦力和阻力
两个固体表面之间的摩擦力(friction)沿表面作用,阻碍滑动。黏性(viscous)力或阻力(drag)是流体(fluid,液体或气体)对在其中运动的物体的阻碍力;对空气而言就是空气阻力。你不需要用任何摩擦或黏性系数(coefficient)。
一个简单模型:速率越大,阻力越大。速率为零时,阻力为零。
一个穿过空气下落的物体
对于从静止释放、穿过空气下落的物体:
- 起初只有重力作用,所以物体以 $g$ 向下加速。
- 随着速率增大,向上的阻力增大。合力变小,所以加速度变小。
- 最终,阻力等于重力。合力为零,加速度为零,速率保持恒定——收尾速度(terminal velocity)。
在速度-时间图上,线起初是斜率为 $g$ 的直线,然后弯曲并在收尾速度处变平。这种形状(起步快、加速度渐减、最后匀速)正是"有空气阻力的下落"区别于"真空中自由落体"的地方。
收尾速度下落过程中的能量
在收尾速度时,一名跳伞者(parachutist)的动能恒定。但随着他们下降,重力势能(gravitational potential energy)一直在减少。它去了哪里?几乎全部变成了他们周围空气的热能(thermal energy)。它没有变成跳伞者的动能——那保持不变。
匀速行驶的骑车人或汽车
平路上匀速行驶的车辆合力为零。向前的驱动力与总阻力(摩擦、空气阻力和滚动阻力)等大反向。速率越高,阻力越大,所以驱动力也必须越大——因此功率(power)也必须越大。
探索
Stopping a car
Friction is what brakes a car. Set a speed and brake — the car keeps moving while the driver reacts, then friction slows it. Double the speed and watch the braking distance quadruple.
探索
Reach terminal velocity
Jump and watch the air-resistance arrow grow until it balances the weight — then the speed is constant. Open the parachute and the much bigger drag drops the diver to a slow, safe terminal velocity.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| friction | 摩擦力 | mó cā lì |
| viscous | 黏性 | nián xìng |
| drag | 阻力 | zǔ lì |
| fluid | 流体 | liú tǐ |
| coefficient | 系数 | xì shù |
| terminal velocity | 收尾速度 | shōu wěi sù dù |
| parachutist | 跳伞者 | tiào sǎn zhě |
| gravitational potential energy | 重力势能 | zhòng lì shì néng |
| thermal energy | 热能 | rè néng |
| power | 功率 | gōng lǜ |
3.3
线动量及其守恒
大纲
- state the principle of conservation of momentum
- apply the principle of conservation of momentum to solve simple problems, including elastic and inelastic interactions between objects in both one and two dimensions (knowledge of the concept of coefficient of restitution is not required)
- recall that, for an elastic collision, total kinetic energy is conserved and the relative speed of approach is equal to the relative speed of separation
- understand that, while momentum of a system is always conserved in interactions between objects, some change in kinetic energy may take place
来源:剑桥国际大纲
原理
对于没有合外力的系统,总动量保持恒定。这就是动量守恒(conservation of momentum)。
只要没有外部合力,它总是成立的——在碰撞、爆炸(explosions)和反冲(recoil)中都是如此。在二维情形下,动量沿每个方向各自守恒。
例题。 一辆 $2.0\ \text{kg}$ 的小车和一辆 $3.0\ \text{kg}$ 的小车被压紧在一个压缩的弹簧两侧,然后从静止释放。$2.0\ \text{kg}$ 的小车以 $6.0\ \text{m s}^{-1}$ 飞出。求另一辆小车的速率。
总动量保持为零(它从静止开始),所以
$$0 = (2.0)(6.0) + (3.0)(-v) \quad\Rightarrow\quad v = \frac{12}{3.0} = 4.0\ \text{m s}^{-1}$$
方向相反。
弹性碰撞与非弹性碰撞
在每一次碰撞中,动量都守恒(只要没有外部合力)。
弹性碰撞(elastic collision)是总动能也守恒的碰撞。一个快速判据:在弹性碰撞中,接近的相对速率(relative speed)等于分离的相对速率。
在非弹性碰撞(inelastic collision)中,动量守恒但动能减少——一部分变成热能、声能或形变(deformation)能。如果两个物体粘在一起,这次碰撞就是完全非弹性的。
解碰撞问题(一维)
对于质量为 $m_{1}, m_{2}$、初速度为 $u_{1}, u_{2}$ 的两个正面(head-on)相撞的物体,写出
$$m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}.$$
用带正负号的速度(在选定的一个方向上为正)。如果碰撞是弹性的,再加上相对速率方程
$$u_{1} - u_{2} = -(v_{1} - v_{2}),$$
或者,等价地,$\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$。这给出两个方程解两个未知量。
例题。 一辆 $1500\ \text{kg}$ 的汽车以 $12\ \text{m s}^{-1}$ 运动,撞上一辆静止的 $1000\ \text{kg}$ 的汽车,两者锁在一起。求碰后它们共同的速度。
动量守恒(两车粘在一起,所以 $v_{1} = v_{2} = v$):
$$1500 \times 12 + 1000 \times 0 = (1500 + 1000)\,v \quad\Rightarrow\quad v = \frac{18\,000}{2500} = 7.2\ \text{m s}^{-1}.$$
一个有用的结论,对于质量 $m$ 与一个静止(stationary)质量 $M$ 的正面弹性碰撞:
$$v_{m} = \frac{m - M}{m + M} u, \qquad v_{M} = \frac{2m}{m + M} u.$$
二维碰撞
如果物体在二维内运动,把速度分解为垂直(perpendicular)的分量(components),并沿每个方向各自应用动量守恒。对于物体以某角度相撞的碰撞,选一个轴沿第一个物体的运动方向、另一个轴与之垂直。总动量沿每个轴都守恒。
火箭 / 抛出质量
火箭以速度 $u$(相对自身)按质量流率(mass-flow rate)$\dot m$(每秒的千克数)抛出气体。它感受到一个推力
$$F = \dot m \cdot u,$$
它来自 $F = \Delta p / \Delta t$。每秒给予气体的动量等于作用在火箭上的推力(牛顿第三定律:火箭把气体推向一边,气体把火箭推向另一边)。
探索
A collision
Set the masses and speeds, then collide them. Total momentum is conserved — the total before equals the total after.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| conservation of momentum | 动量守恒 | dòng liàng shǒu héng |
| explosion | 爆炸 | bào zhà |
| recoil | 反冲 | fǎn chōng |
| elastic collision | 弹性碰撞 | tán xìng pèng zhuàng |
| relative speed | 相对速率 | xiāng duì sù lǜ |
| inelastic collision | 非弹性碰撞 | fēi tán xìng pèng zhuàng |
| deformation | 形变 | xíng biàn |
| head-on | 正面 | zhèng miàn |
| stationary | 静止 | jìng zhǐ |
| perpendicular | 垂直 | chuí zhí |
| component | 分量 | fèn liàng |
| mass-flow rate | 质量流率 | zhì liàng liú lǜ |
3.3
考试技巧
- 牛顿第二定律是 $F = \Delta p / \Delta t$(动量的变化率);$F = ma$ 是质量恒定时的特例。
- 正确辨认第三定律的一对力:同一类型的力,作用在两个不同的物体上——不是一个物体上相互平衡的力。
- 在每一次碰撞中动量都守恒;动能只在弹性碰撞中守恒。
- 对于收尾速度,要说明阻力随速率上升,直到阻力 $=$ 重力,于是加速度变为零。
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