动力学

质量

质量(mass)告诉你改变一个物体的运动有多难。质量越大,要给它某个加速度(acceleration)所需的力(force)就越大。质量以千克($\text{kg}$)为单位,是一个标量(scalar)。

动量

线动量(linear momentum)是质量与速度的乘积:

动量是一个矢量(vector)——它与速度(velocity)指向同一方向。它的单位是 $\text{kg m s}^{-1}$,和 $\text{N s}$ 相同。

力是动量的变化率

牛顿第二定律的一般形式:物体所受的合力(resultant force)等于它动量的变化率。

当质量恒定时,这变成 $F = ma$,因为 $\Delta p = m\,\Delta v$ 且 $\Delta v / \Delta t = a$。剑桥的题目常常要你在碰撞(collision)或冲量(impulse)问题中直接用 $F = \Delta p / \Delta t$:平均力等于动量的变化除以接触时间。

一个球以动量 $p_{1}$ 撞墙,又以相反方向的动量 $p_{2}$ 弹回。动量的变化是 $\Delta p = p_{2} - p_{1}$(给每个方向正确的正负号)。平均力是 $\Delta p / \Delta t$,其中 $\Delta t$ 是接触时间。

例题。 一个 $0.20\ \text{kg}$ 的球以 $8.0\ \text{m s}^{-1}$ 撞墙,又直接以 $6.0\ \text{m s}^{-1}$ 弹回。接触持续 $0.050\ \text{s}$。求球所受的平均力。

取弹回方向为正,所以 $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$、$v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:

当你知道动量但不知道速率时,动能(kinetic energy)的变化是

这来自 $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$。

动量-时间图

因为 $F = \Delta p / \Delta t$,动量-时间图的斜率就是合力,正如速度-时间图的斜率是加速度。直线表示恒定的合力;水平线表示合力为零;向下倾斜的线表示有一个与运动方向相反的力。

例题。 图中给出一辆摩托车的动量。求最初 $10\ \text{s}$ 内它所受的合力。

斜率 $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$。在 $10\ \text{s}$ 到 $16\ \text{s}$ 之间动量不变,所以合力为零:驱动力恰好与阻力平衡。从 $16\ \text{s}$ 到 $20\ \text{s}$ 动量减少 $2000\ \text{kg m s}^{-1}$,所以合力为 $-500\ \text{N}$,向后作用。

如果题目告诉你速率在变而合力保持不变,那么这个力不可能是空气阻力:阻力取决于速率,所以它会随速率变化而变化,而且阻力总是与运动方向相反。

第一定律

一个物体保持静止,或沿直线以匀速继续运动,除非有一个合外力(external force)作用在它上面。简言之:合力为零就意味着加速度为零。

第二定律

物体所受的合力等于它动量的变化率,并且作用方向与那个变化相同。用 SI 单位,

加速度与合力总是指向同一方向。

第三定律

当物体 A 推物体 B 时,物体 B 以一个等大反向的力回推物体 A。这两个力:

• 作用在不同的物体上,
• 是同一类型的(都是引力、都是接触力、都是静电(electrostatic)力,等等),
• 大小相同、方向相反。

一个常见陷阱:桌上一个物块的重力(weight)和桌子给的支持力(normal contact force)不是一对第三定律力(它们作用在同一物体上,而且类型不同)。物块重力的第三定律配对力,是物块对地球的吸引。桌子接触力的第三定律配对力,是物块对桌子的推力。

要说出第三定律的配对力,把句子里的两个物体对调。"自行车后轮向后推路面"配对"路面向前推后轮",而这个向前的推力正是驱动自行车的力。"地球吸引月球"配对"月球吸引地球",力的大小相同。

对于火箭:作用在火箭上的推力(thrust)和作用在气体上的力是一对第三定律力(发动机把气体往下推,气体把发动机往上推)。重力和空气阻力不属于这一对。

重力(weight)是重力场(gravitational field)对物体施加的力。在地球表面附近,

其中 $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ 是自由落体加速度。重力是一个指向地心的矢量。不要把它和质量搞混:质量处处相同,但重力随地点变化。

在月球上 $g$ 约为 $1.6\ \text{m s}^{-2}$,所以宇航员的质量不变,而重力约为地球上的六分之一。当选择题问哪个陈述描述了重力时,答案是说"重力场对物体施加的力"的那个,而不是"质量乘以加速度",也不是"合力"。

摩擦力和阻力

两个固体表面之间的摩擦力(friction)沿表面作用,阻碍滑动。黏性(viscous)力或阻力(drag)是流体(fluid,液体或气体)对在其中运动的物体的阻碍力;对空气而言就是空气阻力。你不需要用任何摩擦或黏性系数(coefficient)。

一个简单模型:速率越大,阻力越大。速率为零时,阻力为零。阻力还随物体的横截面积(cross-sectional area)和流体的密度增大;降落伞的原理就是把面积、从而把阻力变得大得多。这些摩擦力和阻力都是阻碍运动的力(resistive forces):它们与运动方向相反,并把动能转化为热能。

一个穿过空气下落的物体

对于从静止释放、穿过空气下落的物体:

1. 起初只有重力作用,所以物体以 $g$ 向下加速。
2. 随着速率增大,向上的阻力增大。合力变小,所以加速度变小。
3. 最终,阻力等于重力。合力为零,加速度为零,速率保持恒定——收尾速度(terminal velocity)。

在速度-时间图上,线起初是斜率为 $g$ 的直线,然后弯曲并在收尾速度处变平。这种形状(起步快、加速度渐减、最后匀速)正是"有空气阻力的下落"区别于匀强重力场(uniform gravitational field)中"真空中自由落体"的地方。在加速度-时间图上,加速度从 $g$ 开始减小,沿曲线降到零。

两个大小相同、密度不同的球有不同的收尾速度:密度大的球重力更大,所以需要更大的阻力来平衡它,而阻力只有在更高的速率下才能达到这个值。这也正是降落伞改变一切的原因:伞打开时,阻力突然超过重力,合力向上,跳伞者减速(速度仍向下时加速度向上),直到阻力重新降到等于重力,达到一个新的、低得多的收尾速度。

在液体中下落:三个力

一个在液体中下落的球受到三个力:向下的重力、向上的浮力(upthrust)和向上的黏性阻力(viscous drag)。浮力来自流体静压强(hydrostatic pressure):液体中的压强随深度增大,所以液体对球底部的推力比对顶部的更大,这些推力的合力向上。它的大小等于球排开的液体的重力,$U = \rho_{\text{liquid}} V g$(主题 4)。阻力随速率增大。当重力 $=$ 浮力 $+$ 阻力时,合力为零,球以收尾速率下落。"画出带标注的箭头"类题目要的正是这三个力:浮力和阻力都向上,重力向下。

例题。 一个半径 $2.0\ \text{mm}$、重力 $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ 的钢球在密度 $850\ \text{kg m}^{-3}$ 的油中下落。它所受的黏性阻力为 $F = 6\pi \eta r v$,其中 $\eta$ 是油的黏度(viscosity),$v$ 是速率。(a) 求 $\eta$ 的 SI 基本单位。(b) 证明球所受的浮力为 $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$。(c) 取 SI 单位下 $\eta = 0.20$,求收尾速率。

(a) $\eta = F / (6\pi r v)$,所以它的单位是 $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$。

(b) $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$,所以 $U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$。

(c) 在收尾速率时,阻力 $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$。所以 $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$。

收尾速度下落过程中的能量

在收尾速度时,一名跳伞者(parachutist)的动能恒定。但随着他们下降,重力势能(gravitational potential energy)一直在减少。它去了哪里?几乎全部变成了他们周围空气的热能(thermal energy)。它没有变成跳伞者的动能——那保持不变。

匀速行驶的骑车人或汽车

平路上匀速行驶的车辆合力为零。向前的驱动力(driving force)与总阻力(摩擦、空气阻力和滚动阻力)等大反向。速率越高,阻力越大,所以驱动力也必须越大——因此功率(power)也必须越大。

在斜坡上,重力有一个沿路面的分量。匀速上坡时,驱动力必须同时平衡阻力和重力沿斜坡向下的那部分 $W\sin\theta$;下坡时,这个分量反而帮助运动。

例题。 一辆质量为 $1500\ \text{kg}$ 的汽车以恒定速度 $30\ \text{m s}^{-1}$ 沿倾角为 $12°$ 的斜坡向上行驶。总阻力为 $1600\ \text{N}$。求驱动力及发动机的有用输出功率。

匀速意味着沿斜坡方向合力为零:$D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$。功率是力乘以速度(主题 5):$P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$。

原理

对于没有合外力的系统,总动量保持恒定。这就是动量守恒(conservation of momentum)。按考官给两分的表述来说:只要没有合外力作用于系统,一个物体系统的总动量保持不变。 两半都要写:只写"总动量不变"只得一分。

只要没有外部合力,它总是成立的——在碰撞、爆炸(explosions)和反冲(recoil)中都是如此。在二维情形下,动量沿每个方向各自守恒。

例题。 一辆 $2.0\ \text{kg}$ 的小车和一辆 $3.0\ \text{kg}$ 的小车被压紧在一个压缩的弹簧两侧,然后从静止释放。$2.0\ \text{kg}$ 的小车以 $6.0\ \text{m s}^{-1}$ 飞出。求另一辆小车的速率。

总动量保持为零(它从静止开始),所以

方向相反。

弹性碰撞与非弹性碰撞

在每一次碰撞中,动量都守恒(只要没有外部合力)。

弹性碰撞(elastic collision)是总动能也守恒的碰撞。一个快速判据:在弹性碰撞中,接近的相对速率(relative speed)等于分离的相对速率。

在非弹性碰撞(inelastic collision)中,动量守恒但动能减少——一部分变成热能、声能或形变(deformation)能。如果两个物体粘在一起,这次碰撞就是完全非弹性的。

解碰撞问题(一维)

对于质量为 $m_{1}, m_{2}$、初速度为 $u_{1}, u_{2}$ 的两个正面(head-on)相撞的物体,写出

用带正负号的速度(在选定的一个方向上为正)。如果碰撞是弹性的,再加上相对速率方程

或者,等价地,$\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$。这给出两个方程解两个未知量。

例题。 一辆 $1500\ \text{kg}$ 的汽车以 $12\ \text{m s}^{-1}$ 运动,撞上一辆静止的 $1000\ \text{kg}$ 的汽车,两者锁在一起。求碰后它们共同的速度。

动量守恒(两车粘在一起,所以 $v_{1} = v_{2} = v$):

题目常常接着问有多大比例的动能转化为其他形式。碰前:$E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$。碰后:$\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$。所以 $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$,即原动能的 $40\%$,变成了热能、声能和汽车的形变。动量守恒;动能不守恒。

例题。 一个静止的质量为 $222\,u$ 的原子核发射一个质量为 $4\,u$ 的 α粒子 后衰变，速度为 $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$。求剩余原子核的速度。

衰变前总动量为零,所以衰变后两者的动量等大反向:$218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$,得 $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$,方向与 α 粒子相反。单位 $u$ 约掉了,所以从不需要它的数值。在衰变中,动量、电荷(质子数)、核子数和总的质量-能量都守恒(主题 11)。

一个有用的结论,对于质量 $m$ 与一个静止(stationary)质量 $M$ 的正面弹性碰撞:

二维碰撞

如果物体在二维内运动,把速度分解为垂直(perpendicular)的分量(components),并沿每个方向各自应用动量守恒。对于物体以某角度相撞的碰撞,选一个轴沿第一个物体的运动方向、另一个轴与之垂直。总动量沿每个轴都守恒。

例题。 在无摩擦的表面上,球 A 的动量为 $4.0\ \text{N s}$ 向正东,球 B 的动量为 $3.0\ \text{N s}$ 向正北。两球相撞并粘在一起。求合成物体的动量。

动量沿每个轴各自守恒:碰后仍是向东 $4.0\ \text{N s}$、向北 $3.0\ \text{N s}$,与碰前完全一样。总动量是矢量和,$\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$,方向为东偏北 $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$;合成物体沿这个方向运动,速率是 $5.0\ \text{N s}$ 除以总质量。给出两个动量箭头的选择题问的正是这个:把箭头首尾相接相加。

火箭 / 抛出质量

火箭以速度 $u$(相对自身)按质量流率(mass-flow rate)$\dot m$(每秒的千克数)抛出气体。它感受到一个推力

这源于 $F = \Delta p / \Delta t$。气体每秒获得的动量等于火箭受到的推力（牛顿第三定律：火箭向一方推气，气向另一方推火箭）。发动机以速率 $90\ \text{kg}$ 喷射速度为 $190\ \text{m s}^{-1}$ 的气体，产生的推力为 $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$。

例题。 一枚重力为 $W$ 的火箭以初始加速度 $a$ 离开地面。它的发动机产生多大的推力?

取向上为正。合力是推力减重力,所以 $T - W = ma$。由 $m = W / g$ 得 $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$。一枚重力 $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$、以 $4.0\ \text{m s}^{-2}$ 加速的火箭需要 $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$ 的推力。推力必须先超过重力,火箭才会动。

沿不同直线运动的连接体

为每个物体分别画出受力图。跨过光滑滑轮的轻绳两侧张力相同；绷紧且不可伸长的绳子使各物体具有相同的加速度大小。选择沿每个物体运动方向的正方向。

例题。 一个 4.0 kg 的物块放在光滑桌面上，通过细线连接一个悬挂的 1.0 kg 重物。对于物块，$T=m_1a$；对于悬挂重物，$m_2g-T=m_2a$。将两式相加可消去内部张力：$a=m_2g/(m_1+m_2)=1.0\times9.81/(4.0+1.0)=1.96\ \text{m s}^{-2}$。因此 $T=m_1a=4.0\times1.96=7.85\ \text{N}$。物块上的支持力与重力平衡，但悬挂重物的重力与张力并不平衡（因其加速运动）。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。

• 牛顿第二定律是 $F = \Delta p / \Delta t$(动量的变化率);$F = ma$ 是质量恒定时的特例。
• 正确辨认第三定律的一对力:同一类型的力,作用在两个不同的物体上——不是一个物体上相互平衡的力。
• 在每一次碰撞中动量都守恒;动能只在弹性碰撞中守恒。
• 对于收尾速度,要说明阻力随速率上升,直到阻力 $=$ 重力,于是加速度变为零。

常见错误

• 写"这些力是平衡的"或"这些力相互抵消"。要说"物体所受的合力为零"。
• 因为动量是"总的",就在正碰中把两个速率相加。选定正方向,给相反方向的速度加负号,再相加。
• 用速度的分量计算动能。动能要用每个物体的完整速率。
• 把一个物体所受的重力和支持力叫作一对第三定律力。一对力作用在两个不同的物体上,而且是同一类型的力。
• 陈述动量守恒时不写条件。它只在没有合外力作用于系统时成立。