IGCSE Mathematics · Toán học IGCSE · Topic 8 · Chủ đề 8
7:31
Xác suất
Ngày mai có mưa không? Xe buýt có bị trễ không? Cuộn này có ra sáu không? Gần như không có gì trong cuộc sống là chắc chắn, và gần như không có gì là bất khả thi. Hầu hết mọi thứ đều nằm…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
This handout covers Topic 8, Probability. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
Tài liệu này bao gồm Chủ đề 8, Xác suất. Các phần được đánh dấu (Extended) chỉ kiểm tra trong đề thi Extended; tất cả các nội dung khác dành cho cả hai mức độ.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use the probability scale from 0 to 1. | Probability notation is not required. Probabilities should be given as a fraction, decimal or percentage. Problems may require using information from tables, graphs or Venn diagrams (limited to two sets). |
| 2 Calculate the probability of a single event. | |
| 3 Understand that the probability of an event not occurring = 1 – the probability of the event occurring. | e.g. The probability that a counter is blue is 0.8. What is the probability that it is not blue? |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| 1 Hiểu và sử dụng thang đo xác suất từ 0 đến 1. | Ký hiệu xác suất không yêu cầu. Xác suất nên được cho dưới dạng phân số, số thập phân hoặc phần trăm. Bài toán có thể yêu cầu sử dụng thông tin từ bảng, biểu đồ hoặc sơ đồ Venn (giới hạn ở hai tập hợp). |
| 2 Tính xác suất của một biến cố đơn lẻ. | |
| 3 Hiểu rằng xác suất của một biến cố không xảy ra = 1 – xác suất của biến cố đó xảy ra. | Ví dụ: Xác suất để một quân cờ màu xanh là 0.8. Xác suất để nó không màu xanh là bao nhiêu? |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use the probability scale from 0 to 1. | $\text{P}(A)$ is the probability of $A$ |
| 2 Understand and use probability notation. | $\text{P}(A')$ is the probability of not $A$ |
| 3 Calculate the probability of a single event. | Probabilities should be given as a fraction, decimal or percentage. Problems may require using information from tables, graphs or Venn diagrams. |
| 4 Understand that the probability of an event not occurring = 1 – the probability of the event occurring. | e.g. $\text{P}(B) = 0.8$, find $\text{P}(B')$ |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| 1 Hiểu và sử dụng thang đo xác suất từ 0 đến 1. | $\text{P}(A)$ là xác suất của $A$ |
| 2 Hiểu và sử dụng ký hiệu xác suất. | $\text{P}(A')$ là xác suất của không xảy ra $A$ |
| 3 Tính xác suất của một biến cố đơn lẻ. | Xác suất nên được biểu diễn dưới dạng phân số, thập phân hoặc phần trăm. Các bài toán có thể yêu cầu sử dụng thông tin từ bảng, đồ thị hoặc sơ đồ Venn. |
| 4 Hiểu rằng xác suất của một biến cố không xảy ra = 1 – xác suất của biến cố đó xảy ra. | Ví dụ: $\text{P}(B) = 0.8$, tìm $\text{P}(B')$ |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
Probability 概率 measures how likely an event 事件 is. It runs on a scale from $0$ (impossible) to $1$ (certain), and can be written as a fraction, decimal or percentage. We write $\text{P}(A)$ for the probability of event $A$.
For equally likely outcomes 结果,
The probability that an event does not happen is
Worked example. A bag has $3$ red and $5$ blue counters. Find the probability of not drawing red.
Xác suất đo lường mức độ xảy ra của một kiện. Nó chạy trên thang đo từ $0$ (không thể) đến $1$ (chắc chắn), và có thể được viết dưới dạng phân số, thập phân hoặc phần trăm. Chúng ta viết $\text{P}(A)$ cho xác suất của kiện $A$.
Đối với các kết quả có khả năng như nhau,
Xác suất để một sự kiện không xảy ra là
Ví dụ đã giải. Một túi chứa $3$ quân đỏ và $5$ quân xanh dương. Tìm xác suất không rút được quân đỏ.
Slide the marker from 0 (impossible) to 1 (certain) to place an event on the probability scale. · Trượt đánh dấu từ 0 (không thể xảy ra) đến 1 (chắc chắn) để đặt sự kiện lên thang đo xác suất.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | xác suất |
| event/ɪˈvent/ | sự kiện |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | kết quả |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand relative frequency as an estimate of probability. | e.g. use results of experiments with a spinner to estimate the probability of a given outcome. |
| 2 Calculate expected frequencies. | e.g. use probability to estimate an expected value from a population. Includes understanding what is meant by fair, bias and random. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| 1 Hiểu tần suất tương đối như một ước lượng của xác suất. | Ví dụ: sử dụng kết quả thực nghiệm với con quay để ước lượng xác suất của một kết quả cụ thể. |
| 2 Tính tần suất dự kiến. | Ví dụ: sử dụng xác suất để ước lượng giá trị dự kiến từ một quần thể. Bao gồm hiểu ý nghĩa của công bằng, thiên lệch và ngẫu nhiên. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand relative frequency as an estimate of probability. | e.g. use results of experiments with a spinner to estimate the probability of a given outcome. |
| 2 Calculate expected frequencies. | e.g. use probability to estimate an expected value from a population. |
| Includes understanding what is meant by fair, bias and random. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| 1 Hiểu tần suất tương đối như một ước lượng của xác suất. | Ví dụ: sử dụng kết quả thực nghiệm với con quay để ước lượng xác suất của một kết quả cụ thể. |
| 2 Tính tần suất kỳ vọng. | Ví dụ: sử dụng xác suất để ước lượng giá trị kỳ vọng từ một quần thể. |
| Bao gồm hiểu ý nghĩa của công bằng, thiên lệch và ngẫu nhiên. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
When outcomes are not equally likely, do an experiment. The relative frequency 相对频率 estimates the probability:
The more trials you do, the better the estimate. A fair 公平 object gives equal chances; one with bias 偏倚 does not; random 随机 means each outcome happens by chance.
The expected frequency 期望频数 is how many times you expect an event in $n$ trials:
Worked example. The probability of rolling a six is $\tfrac{1}{6}$. How many sixes are expected in $300$ rolls?
Khi các kết quả không có khả năng như nhau, hãy thực hiện một thí nghiệm. Tần suất tương đối ước lượng xác suất:
Càng nhiều lần thử thì ước lượng càng tốt. Một vật công bằng mang lại cơ hội ngang bằng; một vật có thiên lệch thì không; ngẫu nhiên nghĩa là mỗi kết quả xảy ra do may mắn.
Tần suất kỳ vọng là số lần bạn mong đợi một sự kiện xảy ra trong $n$ lần thử:
Ví dụ đã giải. Xác suất lăn ra mặt sáu là $\tfrac{1}{6}$. Có bao nhiêu mặt sáu được kỳ vọng trong $300$ lần lăn?
Roll the two dice many times: the bars start jumpy but settle into the theoretical triangle peaking at 7 — experimental probability closing in on theory. · Lăn hai con xúc xắc nhiều lần: các thanh bắt đầu dao động nhưng sau đó ổn định thành tam giác lý thuyết đỉnh tại 7 — xác suất thực nghiệm hội tụ về lý thuyết.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | tần suất tương đối |
| fair/feə/ | fair |
| bias/ˈbaɪəs/ | sự thiên lệch |
| random/ˈrændəm/ | ngẫu nhiên |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | tần suất dự kiến |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | kiến tạo đồng thời |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | sự kiện độc lập |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | tách biệt |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | sơ đồ không gian mẫu |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | biểu đồ Venn |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the probability of combined events using, where appropriate: • sample space diagrams • Venn diagrams • tree diagrams. | Combined events will only be with replacement. |
| Venn diagrams will be limited to two sets. | |
| In tree diagrams, outcomes will be written at the end of the branches and probabilities by the side of the branches. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| Tính xác suất của các biến cố kết hợp sử dụng, khi thích hợp: • sơ đồ không gian mẫu • sơ đồ Venn • sơ đồ cây. | Các biến cố kết hợp chỉ áp dụng với việc thay thế lại. |
| Sơ đồ Venn sẽ giới hạn ở hai tập hợp. | |
| Trong sơ đồ cây, các kết quả sẽ được viết ở cuối các nhánh và xác suất bên cạnh các nhánh. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the probability of combined events using, where appropriate: • sample space diagrams • Venn diagrams | Combined events could be with or without replacement. |
| The notation $\text{P}(A \cap B)$ and $\text{P}(A \cup B)$ may be used in the context of Venn diagrams. | |
| • tree diagrams. | On tree diagrams outcomes will be written at the end of branches and probabilities by the side of the branches. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| Tính xác suất của các biến cố kết hợp bằng cách sử dụng, khi phù hợp: • sơ đồ không gian mẫu • sơ đồ Venn | Biến cố kết hợp có thể có hoàn lại hoặc không hoàn lại. |
| Ký hiệu $\text{P}(A \cap B)$ và $\text{P}(A \cup B)$ có thể được sử dụng trong ngữ cảnh của sơ đồ Venn. | |
| • sơ đồ cây. | Trên sơ đồ cây, các kết quả sẽ được viết ở cuối các nhánh và xác suất bên cạnh các nhánh. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
For two or more events together (combined events 组合事件), two rules help:
Three pictures help you organise the work.
A sample space diagram 样本空间图 is a table or grid listing every possible outcome — useful for two dice or two spinners. Count the outcomes you want out of the total.
A Venn diagram 维恩图 sorts outcomes into overlapping sets. From it you can read $\text{P}(A \cap B)$ (in both) and $\text{P}(A \cup B)$ (in either).
A tree diagram 树状图 shows each stage as a set of branches. Write the probability on each branch and the outcome at the end. Multiply along the branches, then add the paths you want.
Worked example (with replacement). From the bag ($3$ red, $5$ blue), a counter is drawn, replaced, then a second is drawn. This is with replacement 有放回, so the chances do not change. Find the probability of two reds.
Worked example (without replacement, Extended). Now the first counter is not replaced — drawing without replacement 无放回. After one red is taken, $2$ reds remain out of $7$:
Đối với hai hoặc nhiều sự kiện cùng lúc (sự kiện kết hợp), hai quy tắc giúp ích:
Ba hình ảnh giúp bạn tổ chức bài làm.
Một sơ đồ không gian mẫu là bảng hoặc lưới liệt kê mọi kết quả có thể xảy ra — hữu ích cho hai xúc xắc hoặc hai quay. Đếm số kết quả bạn muốn trên tổng số kết quả.
Một sơ đồ Venn phân loại các kết quả vào các tập hợp giao nhau. Từ đó bạn có thể đọc $\text{P}(A \cap B)$ (ở cả hai) và $\text{P}(A \cup B)$ (ở một trong hai).
Một sơ đồ cây hiển thị mỗi giai đoạn dưới dạng một bộ nhánh. Viết xác suất lên mỗi nhánh và kết quả ở đầu cuối. Nhân dọc theo các nhánh, sau đó cộng các đường đi bạn muốn.
Ví dụ đã giải (có hoàn trả). Từ túi ($3$ đỏ, $5$ xanh dương), rút một quân, hoàn trả, rồi rút quân thứ hai. Đây là có hoàn trả, nên cơ hội không thay đổi. Tìm xác suất để có hai quân đỏ.
Ví dụ đã giải (không hoàn trả, Nâng cao). Bây giờ quân đầu tiên không được hoàn trả — rút không hoàn trả. Sau khi lấy đi một quân đỏ, còn lại $2$ quân đỏ trong tổng số $7$:
Multiply the probabilities along each branch; the four outcomes always add up to 1. · Nhân các xác suất dọc theo mỗi nhánh; bốn kết quả luôn cộng lại bằng 1.
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Combine two events: the area model shows AND (overlap) versus OR (union). · Kết hợp hai sự kiện: mô hình diện tích hiển thị AND (giao) so với OR (hợp).
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | cây xác suất |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | có hoàn trả |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | không hoàn lại |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | xác suất có điều kiện |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate conditional probability using Venn diagrams, tree diagrams and tables. | Knowledge of notation, $\text{P}(A|B)$, and formulas relating to conditional probability is not required. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| Tính xác suất có điều kiện bằng sơ đồ Venn, sơ đồ cây và bảng. | Không yêu cầu kiến thức về ký hiệu, $\text{P}(A|B)$, và các công thức liên quan đến xác suất có điều kiện. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
Conditional probability 条件概率 is the probability of one event given that another has already happened. Read it from a Venn diagram, two-way table or tree diagram by looking only at the part that matches the condition.
Worked example. In a class of $30$, $18$ study French and, of those, $7$ also study German. A French student is picked. Find the probability they also study German.
Look only at the $18$ French students:
Xác suất điều kiện là xác suất của một sự kiện biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Đọc nó từ sơ đồ Venn, bảng hai chiều hoặc sơ đồ cây bằng cách chỉ xem xét phần phù hợp với điều kiện.
Ví dụ đã giải. Trong một lớp học có $30$ người, $18$ học tiếng Pháp và, trong số đó, $7$ cũng học tiếng Đức. Chọn ngẫu nhiên một học sinh học tiếng Pháp. Tìm xác suất họ cũng học tiếng Đức.
Chỉ nhìn vào $18$ học sinh học tiếng Pháp:
Change the branch probabilities and read combined and conditional probabilities off the tree. · Thay đổi xác suất các nhánh và đọc xác suất kết hợp và có điều kiện từ cây.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.
Loading subjects… · Đang tải danh sách môn…