Hàm lượng giác

Định lý Pythagoras liên kết ba cạnh của một tam giác vuông (một tam giác có một góc $90^{\circ}$). Nếu cạnh dài nhất (gọi là cạnh huyền, đối diện với góc vuông) là $c$, thì

Sử dụng nó để tìm cạnh bị thiếu.

Ví dụ minh họa. Một tam giác vuông có cạnh huyền là $13\text{ cm}$ và một cạnh ngắn là $5\text{ cm}$. Tìm cạnh ngắn còn lại.

Gán tên cho các cạnh từ góc bạn đang sử dụng: cạnh đối (nằm ngược lại góc), cạnh kề (kề bên góc), và cạnh huyền. Ba tỷ số là tỷ số sin, cosin và tangent (sin, cos, tan):

Nhớ chúng qua SOH-CAH-TOA. Để tìm một góc, hãy sử dụng hàm ngược ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).

Ví dụ có hướng dẫn (tìm cạnh). Trong tam giác vuông, cạnh huyền là $10\text{ cm}$ và góc là $30^{\circ}$. Tìm cạnh đối.

Ví dụ minh họa (tìm góc). Cạnh đối là $4\text{ cm}$ và cạnh kề là $3\text{ cm}$.

Góc nâng là góc hướng lên từ đường ngang đến một vật thể ở phía trên bạn. Góc hạ là góc hướng xuống từ đường ngang đến một vật thể ở phía dưới bạn. Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách vuông góc.

Ví dụ minh họa. Từ một điểm $50\text{ m}$ từ chân tháp, góc nâng lên đỉnh là $40^{\circ}$. Tìm chiều cao của tháp.

Bạn phải nhớ những giá trị chính xác này mà không cần máy tính.

Đối với $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:

• $y = \sin x$ là sóng bắt đầu tại $0$, đạt đỉnh tại $90^{\circ}$, trở lại $0$ tại $180^{\circ}$, đi xuống $-1$ tại $270^{\circ}$.
• $y = \cos x$ là cùng một dạng sóng nhưng bắt đầu tại $1$.
• $y = \tan x$ tăng nhanh chóng và lặp lại sau mỗi $180^{\circ}$.

Một phương trình lượng giác thường có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng này. Hãy sử dụng đồ thị (hoặc sự đối xứng của sóng) để tìm tất cả chúng.

Ví dụ có lời giải. Giải $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ đối với $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.

Một nghiệm là $x = 60^{\circ}$. Sóng sin cũng bằng $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ tại $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Vậy $x = 60^{\circ}$ hoặc $120^{\circ}$.

Ví dụ có lời giải. Giải $2\cos x + 1 = 0$ đối với $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.

Đối với bất kỳ tam giác nào (không chỉ tam giác vuông), với các cạnh $a, b, c$ đối diện với các góc $A, B, C$:

Sử dụng định lý sin khi bạn có một cạnh và góc đối diện với nó. Sử dụng định lý cosin khi bạn có hai cạnh và góc nằm giữa chúng, hoặc cả ba cạnh. Với định lý sin, hãy chú ý đến trường hợp mơ hồ, nơi một góc có thể là góc nhọn hoặc góc tù.

Diện tích của bất kỳ tam giác nào là

Ví dụ minh họa. Một tam giác có $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ và góc nằm giữa chúng là $A = 40^{\circ}$. Tìm cạnh $a$.

Trong không gian ba chiều, hãy tìm một tam giác vuông bên trong khối đa diện, sau đó áp dụng định lý Pythagoras hoặc lượng giác lên tam giác đó. Một nhiệm vụ phổ biến là góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng (một mặt phẳng).

Ví dụ minh họa. Một hộp có đáy $6\text{ cm}$ × $8\text{ cm}$ và chiều cao $5\text{ cm}$. Tìm góc giữa đường chéo không gian và mặt đáy.

Trước hết là đường chéo đáy: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. Đường chéo này và chiều cao tạo thành một tam giác vuông, vì vậy góc $\theta$ so với mặt đáy là

• Sử dụng Pythagoras ($a^2 + b^2 = c^2$) khi không có góc; sử dụng SOH-CAH-TOA khi có góc tham gia.
• Cạnh huyền luôn nằm đối diện với góc vuông. Gán tên các cạnh (đối, kề, huyền) tương đối với góc bạn đang sử dụng.
• Để tìm một góc, hãy sử dụng hàm ngược ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$), và kiểm tra xem máy tính của bạn đã cài đặt ở chế độ độ chưa.
• Đối với tam giác không có góc vuông, hãy sử dụng định lý sin hoặc định lý cosin — định lý cosin khi bạn biết hai cạnh và góc nằm giữa chúng.