Dao động

Một hạt chuyển động với chuyển động điều hòa đơn (SHM) khi gia tốc của nó:

• tỷ lệ với độ lệch khỏi một điểm cân bằng cố định, và
• hướng trở lại về điểm đó — trái dấu với độ lệch.

Phương trình đặc trưng là

trong đó $x$ là độ lệch khỏi cân bằng và $\omega$ là hằng số dương, tần số góc. Dấu trừ có nghĩa là "hướng trở lại về vị trí cân bằng".

Định nghĩa hai điểm. Chuyển động điều hòa đơn là chuyển động trong đó gia tốc tỷ lệ với độ lệch khỏi một điểm cố định và luôn hướng về điểm đó (ngược chiều với độ lệch). Cả hai phần đều cần thiết. "Ý nghĩa của dấu trừ": gia tốc nằm ở chiều ngược lại so với độ lệch — luôn hướng về vị trí cân bằng. "Nêu ý nghĩa của tần số dao động": số lần dao động hoàn chỉnh trong một đơn vị thời gian.

Nhiều hệ thống thực hiện điều này gần một điểm cân bằng ổn định: khối lượng trên lò xo, con lắc (quãng swing nhỏ), khối nổi bị đẩy xuống, điện tích trên tụ điện trong mạch LC, nguyên tử trong chất rắn.

Các thuật ngữ quan trọng

• độ dịch chuyển $x$ — khoảng cách từ vị trí cân bằng tại một thời điểm (một vector dọc theo phương chuyển động).
• biên độ $x_{0}$ — độ dịch chuyển lớn nhất so với vị trí cân bằng. Luôn có giá trị dương.
• chu kỳ $T$ — thời gian để thực hiện một dao động toàn phần.
• tần số $f$ — số lần dao động trong một giây; $f = 1/T$. Đơn vị: Hz.
• tần số góc $\omega$ — $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$. Đơn vị: $\text{rad s}^{-1}$.
• lệch pha — phân số của một chu kỳ (tính bằng radian) mà một dao động dẫn hoặc trễ hơn một dao động khác. Khoảng cách một phần tư chu kỳ tương ứng với độ lệch pha là $\pi/2$.

Vì vậy $T = 2\pi/\omega$ và $f = \omega/(2\pi)$ — khi đã biết bất kỳ đại lượng nào trong số $\omega$, $f$, $T$, bạn đều có thể tìm ra các đại lượng còn lại.

Ví dụ có hướng dẫn giải. Một vật khối gắn trên lò xo dao động điều hòa với biên độ $0.050\ \text{m}$ và tần số $2.5\ \text{Hz}$. Tìm gia tốc cực đại của nó.

Tần số góc là $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2.5 = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. Gia tốc đạt giá trị lớn nhất tại các điểm biên, nơi $|a| = \omega^{2}x_{0}$:

Chứng minh chuyển động là dao động điều hòa

Đề bài tập trung 4 điểm thường gặp nhất trong các kỳ thi, và công thức luôn như nhau: (1) dịch chuyển vật thể một đoạn $x$ khỏi vị trí cân bằng; (2) tìm lực hồi phục tổng hợp, kết quả thu được là $F = -(\text{constant}) \times x$; (3) áp dụng định luật II Newton, $a = F/m = -(\text{constant}/m)\,x$; (4) biểu thức này có dạng $a = -\omega^{2}x$, do đó chuyển động là dao động điều hòa với $\omega^{2} = \text{constant}/m$, và $T = 2\pi/\omega$. Hãy giải thích bằng lời tại sao lực chỉ về phía cân bằng và tại sao nó tỷ lệ thuận với $x$ — đây chính là những điểm số, không phải phần biến đổi đại số.

Ví dụ có hướng dẫn giải. Một vật khối $m$ treo vào một lò xo có độ cứng $k$. Chứng minh rằng khi bị dịch chuyển và thả ra, vật sẽ chuyển động theo quy luật dao động điều hòa, và tính chu kỳ.

Tại vị trí cân bằng, lực căng của lò xo cân bằng với trọng lực. Dịch chuyển vật khối xuống một khoảng $x$: lực căng tăng thêm $kx$ (theo định luật Hooke), do đó xuất hiện một lực tổng hợp $kx$ hướng lên, về phía cân bằng. Định luật II Newton: $a = -\dfrac{k}{m}x$. Đây là $a = -\omega^{2}x$ với $\omega^{2} = k/m$, nên chuyển động là dao động điều hòa và $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$. (Một xe đẩy giữ giữa hai lò xo giống hệt nhau sẽ chịu lực kéo về từ cả hai phía, $F = -2kx$, nên $\omega^{2} = 2k/m$.)

Ví dụ có hướng dẫn giải. Một khối hình hộp chữ nhật có diện tích tiết diện ngang $A$ và khối lượng $m$ nổi trên bề mặt chất lỏng có mật độ $\rho$ với đáy nằm sâu $h$ dưới mặt nước. Nó bị pushed xuống một khoảng nhỏ $x$ rồi thả ra. Chứng minh rằng nó dao động điều hòa và tìm chu kỳ theo $h$ và $g$.

Khi khối bị đẩy xuống $x$, một thể tích extra $Ax$ bị chìm, nên lực đẩy Archimedes tăng thêm trọng lượng của lượng chất lỏng extra đó, $\rho g A x$; lực extra này tác dụng hướng lên, về phía vị trí cân bằng. Do đó $a = -\dfrac{\rho g A}{m}x$: tỷ lệ thuận với $x$ và ngược chiều, nên chuyển động là dao động điều hòa với $\omega^{2} = \rho g A/m$. Tại vị trí cân bằng, lực đẩy Archimedes tác dụng lên thể tích chìm $Ah$ bằng trọng lực, $\rho g A h = mg$, nên $m = \rho A h$ và $\omega^{2} = g/h$: $T = 2\pi\sqrt{h/g}$ — cùng dạng với con lắc đơn có chiều dài $h$.

Ví dụ có hướng dẫn giải. Một ống U có diện tích tiết diện ngang $A$ chứa chất lỏng có mật độ $\rho$; cột chất lỏng trong mỗi nhánh có độ dài $L$. Chất lỏng bị dịch chuyển使得 một mặt thoáng cao hơn $x$ so với mực cân bằng, và mặt thoáng kia thấp hơn $x$. Chứng minh rằng chất lỏng dao động điều hòa.

Hai mặt thoáng giờ chênh lệch nhau về độ cao $2x$, nên một cột chất lỏng cao $2x$ bị mất cân bằng: lực hồi phục tác dụng lên chất lỏng chính là trọng lượng của cột chất lỏng đó, $2x\rho g A$, có hướng làm cho hai mặt thoáng bằng nhau. Khối lượng đang di chuyển là toàn bộ chất lỏng, $2L\rho A$. Vậy $a = -\dfrac{2x\rho g A}{2L\rho A} = -\dfrac{g}{L}x$: dao động điều hòa, với $\omega^{2} = g/L$ và $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Lưu ý rằng $\rho$ và $A$ triệt tiêu lẫn nhau — chu kỳ không phụ thuộc vào chất lỏng cũng như ống.

Nếu hạt bắt đầu tại $x = 0$ và đang chuyển động theo chiều dương tại $t = 0$, thì

Lấy đạo hàm bậc nhất ta được vận tốc:

trong đó $v_{0} = x_{0} \omega$ là vận tốc cực đại (khi hạt đi qua vị trí cân bằng).

Lấy đạo hàm lần nữa ta được gia tốc:

đó chính là phương trình đặc trưng của SHM một lần nữa. (Nếu hạt bắt đầu từ vị trí cực đại $x = x_{0}$ tại $t = 0$, hãy sử dụng $x = x_{0} \cos(\omega t)$. Chọn phương trình phù hợp với điều kiện ban đầu.)

Vận tốc theo độ dịch chuyển

Một hệ thức hữu ích không sử dụng thời gian:

• tại vị trí cân bằng ($x = 0$): $v = \pm \omega x_{0}$ (vận tốc cực đại). Có cả hai dấu, vì hạt đi qua vị trí cân bằng hai lần trong mỗi chu kỳ.
• tại các điểm biên ($x = \pm x_{0}$): $v = 0$ (tạm dừng ngay lúc đó).

Ví dụ có hướng dẫn giải. Cùng một dao động có biên độ $x_{0} = 0.050\ \text{m}$ và tần số góc $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. Tìm vận tốc khi độ dịch chuyển là $x = 0.030\ \text{m}$.

Đọc đồ thị $v$–$x$. Chiều rộng cho biết biên độ ($x = \pm x_{0}$ khi $v = 0$) và chiều cao cho vận tốc cực đại ($v = \pm\omega x_{0}$ tại $x = 0$), nên $\omega = v_{0}/x_{0}$ và chu kỳ suy ra. Khi yêu cầu vẽ $a$ theo $x$ trên cùng hệ trục, hãy kẻ đường thẳng qua gốc tọa độ với hệ số góc âm $-\omega^{2}$, đạt đến $\mp\omega^{2}x_{0}$ tại $x = \pm x_{0}$.

Ví dụ giải. Vận tốc của một khối dao động thay đổi theo thời gian như $v = 0.56\sin(5.1t)$, với $v$ tính bằng $\text{m s}^{-1}$ và $t$ tính bằng giây. Tìm biên độ, chu kỳ và gia tốc cực đại.

So sánh với $v = v_{0}\sin\omega t$: $v_{0} = 0.56\ \text{m s}^{-1}$ và $\omega = 5.1\ \text{rad s}^{-1}$. Vì $v_{0} = \omega x_{0}$, biên độ là $x_{0} = 0.56/5.1 = 0.11\ \text{m}$; $T = 2\pi/\omega = 1.2\ \text{s}$; $a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = \omega v_{0} = 5.1 \times 0.56 = 2.9\ \text{m s}^{-2}$. (Vì đại lượng này $v$ là hàm sin, khối vật nằm tại vị trí cực đại tại thời điểm $t = 0$: độ dịch chuyển của nó là hàm cosin.)

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA NHƯ BÓNG ĐÈN CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN. Một quả bóng chuyển động quanh một đường tròn bán kính $R$ với vận tốc góc $\omega$, chiếu sáng từ bên cạnh, sẽ tạo ra bóng tối di chuyển qua lại theo dao động điều hòa có biên độ $R$ và cùng $\omega$: li độ của bóng tối là $x = R\cos\omega t$ (nếu bắt đầu từ điểm cực hạn), vận tốc cực đại là $R\omega$ và gia tốc cực đại là $R\omega^{2}$. Đối với đường tròn có đường kính $0.46\ \text{m}$ và $\omega = 1.9\ \text{rad s}^{-1}$, bóng tối có biên độ $0.23\ \text{m}$, $v_{0} = 0.44\ \text{m s}^{-1}$ và $a_{\text{max}} = 0.83\ \text{m s}^{-2}$ — lớn nhất về kích thước ở hai đầu quỹ đạo và luôn hướng trở lại về phía trung tâm.

Đồ thị theo thời gian

Đối với $x = x_{0}\sin\omega t$:

• $x$ theo $t$ — một đường cong sine, biên độ $x_{0}$, chu kỳ $T = 2\pi/\omega$.
• $v$ theo $t$ — một đường cong cosine, lối pha trước $x$ một góc $\pi/2$, biên độ $\omega x_{0}$.
• $a$ theo $t$ — một đường cong sine ngược, lối pha so với $x$ một góc $\pi$ (180°), biên độ $\omega^{2} x_{0}$.

Đồ thị $a$ theo $x$

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ với độ dốc âm $-\omega^{2}$. Vậy bạn có thể đọc được $\omega$ từ đồ thị: độ dốc $= -\omega^{2}$, nên $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$, sau đó $T = 2\pi / \omega$. Đây là dạng đề thi phổ biến.

Ví dụ có lời giải. Một đồ thị biểu diễn chiều cao $h$ của một vật có khối lượng $36\ \text{kg}$ thực hiện dao động điều hòa dọc theo phương thẳng đứng cho thấy $h$ dao động giữa $2\ \text{m}$ và $10\ \text{m}$, với mỗi chu kỳ đầy đủ mất $4.0\ \text{s}$. Tìm biên độ, tần số góc, vận tốc cực đại, gia tốc cực đại và động năng cực đại.

Biên độ $x_{0} = (10 - 2)/2 = 4.0\ \text{m}$ (bằng một nửa khoảng cách đỉnh-đáy; chiều cao cân bằng là $6\ \text{m}$). $\omega = 2\pi/T = 2\pi/4.0 = 1.57\ \text{rad s}^{-1}$. $v_{\text{max}} = \omega x_{0} = 6.3\ \text{m s}^{-1}$; $a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = 9.9\ \text{m s}^{-2}$; $E_{\text{K,max}} = \tfrac{1}{2}mv_{\text{max}}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 36 \times 6.28^{2} = 7.1 \times 10^{2}\ \text{J}$. Việc đọc biên độ là toàn bộ khoảng chiều cao thay vì một nửa nó là sai lầm thường gặp nhất ở đây.

Ví dụ có lời giải. Một vật nhỏ đặt trên một mặt phẳng ngang dao động dọc theo phương thẳng đứng theo dao động điều hòa có biên độ $6.0\ \text{mm}$. Tìm tần số cao nhất sao cho vật vẫn tiếp xúc với mặt phẳng suốt quá trình, và chỉ ra vị trí nào trong chuyển động mà sự tiếp xúc bị mất đi lần đầu tiên.

Vật rời khỏi mặt phẳng khi gia tốc hướng xuống của mặt phẳng vượt quá $g$ — tại đỉnh của dao động, nơi gia tốc lớn nhất và hướng xuống: lúc đó mặt phẳng rơi xuống nhanh hơn vật có thể. Giới hạn là $\omega^{2}x_{0} = g$: $\omega = \sqrt{9.81/0.0060} = 40\ \text{rad s}^{-1}$, nên $f = \omega/2\pi = 6.4\ \text{Hz}$. Dưới mức này, lực pháp tuyến tại điểm tiếp xúc ở đỉnh là nhỏ nhưng dương; trên mức này, bằng không.

Một bộ dao động điều hòa liên tục chuyển hóa năng lượng giữa hai dạng:

• động năng $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$.
• thế năng $E_{\text{P}}$ (đàn hồi đối với lò xo, trọng trường đối với con lắc).

Không có giảm xóc (damping), tổng năng lượng là không đổi (đây là định luật bảo toàn năng lượng).

Giá trị cực đại và cực tiểu

• tại vị trí cân bằng ($x = 0$): $v$ lớn nhất, nên $E_{\text{K}}$ lớn nhất và $E_{\text{P}}$ nhỏ nhất (bằng không, tùy chọn).
• tại các điểm cực hạn ($x = \pm x_{0}$): $v = 0$, do đó $E_{\text{K}} = 0$ và $E_{\text{P}}$ lớn nhất.

Tổng năng lượng

Sử dụng $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$:

Hai事实 quan trọng: tổng năng lượng tỷ lệ thuận với bình phương của biên độ (kéo đôi $x_{0}$ sẽ làm tăng năng lượng gấp bốn lần), và tỷ lệ với $\omega^{2}$.

Năng lượng theo li độ

Sử dụng $v^{2} = \omega^{2}(x_{0}^{2} - x^{2})$:

Do đó $E_{\text{K}}$ là một parabol mở xuống (đỉnh tại $x = 0$, bằng không tại $x = \pm x_{0}$) và $E_{\text{P}}$ là một parabol mở lên (bằng không tại $x = 0$, lớn nhất tại $x = \pm x_{0}$). Tổng của chúng là hằng số.

Ví dụ minh họa. Một khối vật $0.20\ \text{kg}$ dao động với biên độ $x_{0} = 0.050\ \text{m}$ và tần số góc $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. Tìm tổng năng lượng của dao động.

Tổng năng lượng bằng động năng cực đại, khi khối vật đi qua $x = 0$ tại $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$:

Điều này vẫn giữ nguyên, hoán đổi giữa dạng động năng và thế năng hai lần mỗi chu kỳ.

Mô tả sự hoán đổi mà không cần tính toán. Tại cực đại chuyển động, vật dao động tạm dừng lại: động năng bằng không và thế năng đạt cực đại. Khi di chuyển về vị trí cân bằng, lực hồi phục thực hiện công lên vật, nên thế năng chuyển hóa thành động năng; tại vị trí cân bằng, động năng đạt cực đại và thế năng đạt cực tiểu. Vượt qua vị trí cân bằng, động năng lại chuyển hóa thành thế năng cho đến cực đại kia. Tổng năng lượng luôn không đổi, và sự trao đổi xảy ra hai lần mỗi chu kỳ, do đó các đồ thị năng lượng theo thời gian có tần số gấp đôi so với đồ thị li độ theo thời gian.

Ví dụ minh họa. Một quả lắc con có khối lượng $0.81\ \text{kg}$ dao động nhỏ với biên độ $32\ \text{mm}$ và chu kỳ $1.9\ \text{s}$. Tìm tổng năng lượng của dao động, và phát biểu điều gì sẽ xảy ra nếu biên độ giảm xuống còn $16\ \text{mm}$.

$\omega = 2\pi/1.9 = 3.31\ \text{rad s}^{-1}$; $E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.81 \times 3.31^{2} \times 0.032^{2} = 4.5 \times 10^{-3}\ \text{J}$.减半 biên độ làm giảm năng lượng xuống bốn phần ($E \propto x_{0}^{2}$), còn $1.1 \times 10^{-3}\ \text{J}$; phần chênh lệch đã bị tiêu tán dưới dạng nhiệt năng do lực cản không khí.

Lực cản (ma sát, lực cản môi trường, lực cản không khí) gây ra giảm tắt dần — biên độ thu hẹp theo thời gian khi năng lượng mất đi dưới dạng nhiệt. Ba trường hợp cụ thể:

Tắt dần nhẹ

Biên độ thu hẹp chậm qua nhiều chu kỳ (trường hợp tắt dần nhẹ). Hệ thống vẫn dao động gần tần số tự nhiên, nhưng mỗi chu kỳ nhỏ hơn chu kỳ trước. Hệ thống treo ô tô thường bị tắt dần nhẹ đến trung bình, giúp giảm xóc nhưng vẫn giữ độ êm ái.

Tắt dần tới hạn

Độ cản tối thiểu đưa hệ thống trở về vị trí cân bằng không vượt quá và không dao động — trường hợp cản tới hạn. Hệ thống trở về trạng thái cân bằng trong thời gian ngắn nhất. Một galvanometer hoặc vôn kế tương tự được thiết kế có cản tới hạn để kim chỉ thị nhanh chóng ổn định.

Cản nặng

Lực cản rất lớn khiến hệ thống trở về trạng thái cân bằng chậm, không có dao động, nhưng chậm hơn cả trường hợp tới hạn — đây là trường hợp tắt dần mạnh. Một cánh cửa có bộ đóng cửa mạnh sẽ bị tắt dần mạnh.

Trên đồ thị li độ–thời gian: tắt dần nhẹ là sóng có biên độ giảm dần đều; tắt dần tới hạn quay về nhanh mà không vượt quá; tắt dần mạnh quay về chậm.

Theo cách đề thi yêu cầu. Tắt dần là sự giảm biên độ của dao động do lực cản làm tiêu tán năng lượng của vật dao động. Trong tắt dần nhẹ, hệ thống dao động với biên độ giảm dần theo thời gian (giảm theo hàm mũ); chu kỳ gần như không đổi. Trong tắt dần tới hạn, hệ thống trở về trạng thái cân bằng trong thời gian ngắn nhất có thể mà không dao động. Trong tắt dần mạnh, nó trở về cân bằng chậm, không dao động. Vẽ sơ đồ: đường cong tắt dần nhẹ là hình sin nằm bên trong một bao envelopes co lại; đường cong tới hạn và mạnh đều tiến tới zero mà không cắt trục, đường cong mạnh thì chậm hơn.

Ví dụ minh họa. Một nam châm thanh treo trên lò xo, một cực nằm trong cuộn dây được nối qua công tắc với điện trở. Nam châm được kích thích dao động. Giải thích tại sao dao động mất đi nhanh hơn khi công tắc đóng.

Nam châm chuyển động làm thay đổi từ thông liên kết với cuộn dây, nên xuất hiện suất điện động cảm ứng (định luật Faraday); khi công tắc đóng, dòng điện chạy qua điện trở và tiêu tán năng lượng dưới dạng nhiệt. Theo định luật Lenz, dòng điện cảm ứng opposing chuyển động của nam châm — tạo thêm lực cản. Năng lượng này lấy từ dao động, nên biên độ giảm nhanh hơn: mạch điện bổ sung thêm tắt dần. Khi công tắc mở, có suất điện động nhưng không có dòng điện, nên không có sự hao hụt năng lượng thêm.

Dao động cưỡng bức được điều khiển bởi một lực ngoài chu kỳ có tần số $f_{\text{d}}$ do người thí nghiệm chọn. Hệ thống sau đó dao động theo tần số tác dụng $f_{\text{d}}$ này, chứ không phải theo tần số riêng của nó. Đồ thị biểu diễn biên độ theo $f_{\text{d}}$ là đường cong cộng hưởng có một đỉnh cao.

Cộng hưởng

Cộng hưởng xảy ra khi tần số tác dụng bằng tần số riêng $f_{0}$ của hệ thống. Tại điểm cộng hưởng, biên độ đạt lớn nhất và sự truyền năng lượng từ nguồn tác dụng là hiệu quả nhất.

Ví dụ:

• Một chiếc xích đu được đẩy với tốc độ phù hợp sẽ tạo ra biên độ lớn.
• Một chiếc ly rượu vang bị vỡ bởi âm thanh ở đúng tần số rung tự nhiên của nó.
• Một tòa nhà bị rung lắc do động đất có tần số trùng khớp với tần số tự nhiên — các kỹ sư thiết kế các tòa nhà sao cho tần số tự nhiên của chúng nằm ngoài dải tần số chính của động đất.

Hình dạng của đỉnh phụ thuộc vào độ cản: độ cản nhẹ → đỉnh nhọn hơn và cao hơn; độ cản nặng → đỉnh rộng hơn và thấp hơn, dịch chuyển nhẹ về phía tần số thấp hơn.

Định nghĩa hai điểm. Cộng hưởng là trạng thái mà một hệ thống bị ép dao động ở tần số tự nhiên của nó, và biên độ của dao động đạt giá trị cực đại (sự truyền năng lượng từ nguồn dao động là lớn nhất). Cả hai phần — tần số kích thích bằng tần số tự nhiên, và biên độ cực đại — đều cần thiết.

Ví dụ minh họa. Một quả bóng trên dây căng có tần số tự nhiên là $4.0\ \text{Hz}$. Dây được kích thích bởi một máy phát dao động có tần số tăng dần chậm từ $0$ đến $10\ \text{Hz}$. Vẽ đồ thị biểu diễn sự biến thiên biên độ của quả bóng theo tần số kích thích, và nêu tác dụng của việc thêm độ cản.

Đường cong bắt đầu từ một biên độ nhỏ, khác không ở tần số thấp, tăng lên thành một đỉnh nhọn tại $4.0\ \text{Hz}$, và giảm dần về phía không ở tần số cao; đỉnh này nằm ở tần số tự nhiên, và chỉ tại đó biên độ mới đạt giá trị cực đại. Thêm độ cản làm cho đỉnh thấp hơn và rộng hơn đồng thời dịch chuyển nhẹ về phía tần số thấp hơn; biên độ xa vùng cộng hưởng hầu như không thay đổi.

Câu hỏi định nghĩa được chấm dựa trên văn phong cố định. Hãy học thuộc những định nghĩa này và chỉ đưa ra một đáp án duy nhất.

• Điều kiện SHM là $a = -\omega^2 x$ (gia tốc tỷ lệ với li độ, hướng về vị trí cân bằng); để chứng minh một chuyển động là SHM, hãy tìm lực hồi phục, chứng minh nó tỷ lệ với $x$ và hướng ngược lại, rồi đọc $\omega^{2}$.
• Học $x = x_0\sin\omega t$ (hoặc cos), $v_{max} = \omega x_0$, $a_{max} = \omega^2 x_0$ và $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$; KE và PE hoán đổi lẫn nhau với tổng năng lượng không đổi, $E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} \propto x_{0}^{2}$.
• Vận tốc bằng không tại các cực trị và lớn nhất tại tâm; gia tốc lớn nhất tại các cực trị và bằng không tại tâm.
• Biên độ là một nửa phạm vi đỉnh-đỉnh của đồ thị li độ; $\omega$ thu được từ chu kỳ, hoặc từ độ dốc của $a$–$x$, hoặc từ $v_{0}/x_{0}$.
• Cộng hưởng xảy ra khi tần số kích thích bằng tần số tự nhiên; độ cản làm giảm độ cao và mở rộng đỉnh.

Lỗi thường gặp

• Định nghĩa SHM là "dao động quanh vị trí cân bằng". Bảng chấm điểm yêu cầu gia tốc tỷ lệ với li độ và hướng về điểm cố định.
• Nói rằng dấu trừ có nghĩa là gia tốc mang giá trị âm. Nó có nghĩa là gia tốc ngược hướng với li độ.
• Vẽ sơ đồ $v$ theo $x$ thành một đường thẳng. Nó là một elip; $a$ theo $x$ là đường thẳng.
• Coi biên độ là toàn bộ phạm vi của li độ. Thực tế nó chỉ là một nửa phạm vi.
• Định nghĩa cộng hưởng là "biên độ lớn". Đó là dao động cưỡng bức ở tần số tự nhiên, tạo ra biên độ cực đại.
• Gọi độ cản tới hạn là "không có độ cản", hoặc độ cản nặng là "sự trở về nhanh nhất". Độ cản tới hạn là sự trở về nhanh nhất mà không có dao động; độ cản nặng thì chậm hơn.