Khí lý tưởng

Lượng chất là một đại lượng cơ bản SI. Đơn vị của nó là mol (mol) — một trong bảy đơn vị cơ bản SI, cùng với kilogram, mét, giây, ampe và kelvin từ Chủ đề 1.

Một mol của bất kỳ chất nào có số hạt bằng hằng số Avogadro:

Một "hạt" có nghĩa là bất cứ thứ gì bạn đang đếm — nguyên tử cho một nguyên tố đơn nguyên tử như heli, phân tử cho $\text{O}_{2}$ hoặc $\text{H}_{2}\text{O}$. Luôn nói rõ bạn đang đếm cái gì.

Đối với $n$ mol, số hạt là $N = n N_{\text{A}}$.

Khối lượng mol $M_{\text{m}}$ là khối lượng của một mol ($\text{kg mol}^{-1}$ hoặc $\text{g mol}^{-1}$). Khối lượng của $n$ mol là $M = n M_{\text{m}}$. Khối lượng của một hạt là $m_{0} = M_{\text{m}} / N_{\text{A}}$.

Cách diễn đạt của giám khảo. Hằng số Avogadro là số nguyên tử (hoặc phân tử) trong một mol của một chất — một điểm; thêm "trong $0.012\ \text{kg}$ carbon-12" được chấp nhận nhưng không cần thiết. Được hỏi về "mối quan hệ giữa $N_{\text{A}}$, $R$ và $k$", hãy viết $k = R/N_{\text{A}}$ (hoặc $R = N_{\text{A}}k$).

Ví dụ có lời giải. Oxy có khối lượng mol là $32\ \text{g mol}^{-1}$. Tìm khối lượng của một phân tử oxy, và số phân tử trong $8.0\ \text{g}$ oxy.

$m_{0} = \dfrac{M_{\text{m}}}{N_{\text{A}}} = \dfrac{0.032}{6.02 \times 10^{23}} = 5.3 \times 10^{-26}\ \text{kg}$. $8.0\ \text{g}$ là $n = 8.0/32 = 0.25\ \text{mol}$, nên có $N = nN_{\text{A}} = 1.5 \times 10^{23}$ phân tử. Giữ nguyên khối lượng mol trong $\text{kg mol}^{-1}$ khi đáp án nằm trong đơn vị kilogram — hệ số $1000$ là lỗi sai thường gặp.

Một khí lý tưởng tuân thủ đúng $pV \propto T$, trong đó $T$ là nhiệt độ nhiệt động lực học.

Phương trình trạng thái có thể được viết theo hai dạng bằng nhau:

Ở đây:

• $p$ — áp suất (Pa).
• $V$ — thể tích (m³).
• $T$ — nhiệt độ nhiệt động lực học theo kelvin (không bao giờ °C).
• $n$ — số mol; $N$ — số phân tử.
• $R$ — hằng số mol khí, $R = 8.31\ \text{J mol}^{-1}\ \text{K}^{-1}$.
• $k$ — hằng số Boltzmann, $k = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J K}^{-1}$.

Vì $N = n N_{\text{A}}$, ta có $k = R/N_{\text{A}}$: $k$ là hằng số khí cho mỗi phân tử, tương tự như $R$ là cho mỗi mol.

Định nghĩa hai điểm. Một khí lý tưởng là khí tuân theo $pV = nRT$ (hoặc $pV \propto T$, với $T$ là nhiệt độ nhiệt động lực học) ở mọi giá trị áp suất, thể tích và nhiệt độ. Cả hai điểm đều yêu cầu phương trình (hoặc tỉ lệ thuận với $T$ được gọi là nhiệt động lực học) và "ở mọi giá trị" hoặc "cho mọi $p$, $V$ và $T$". Khi được yêu cầu "nêu ý nghĩa của mỗi ký hiệu trong $pV = NkT$": $p$ là áp suất, $V$ là thể tích, $N$ là số phân tử, $k$ là hằng số Boltzmann và $T$ là nhiệt độ nhiệt động lực học — một khí thực gần như lý tưởng ở áp suất thấp và nhiệt độ cao, nơi các phân tử cách xa nhau.

Sử dụng phương trình trạng thái

Liệt kê các biến bạn có, tìm đại lượng chưa biết, và chọn dạng phù hợp với "lượng chất" của bạn (mol → $nRT$; phân tử → $NkT$). Luôn sử dụng đơn vị SI: Pa, m³, K.

Ví dụ giải. Một xi-lanh có thể tích $0.020\ \text{m}^{3}$ chứa khí ở $27\ ^{\circ}\text{C}$ và áp suất $2.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$. Có bao nhiêu mol khí? ($R = 8.31\ \text{J mol}^{-1}\ \text{K}^{-1}$.)

Chuyển sang kelvin: $T = 27 + 273 = 300\ \text{K}$. Sau đó từ $pV = nRT$,

Nếu một lượng khí cố định thay đổi từ trạng thái 1 sang trạng thái 2:

Ví dụ giải. Một khối lượng khí cố định ở $300\ \text{K}$ chiếm $0.50\ \text{m}^{3}$. Nó được làm nóng lên đến $450\ \text{K}$ ở áp suất không đổi. Tìm thể tích mới.

Ở áp suất không đổi $V/T$ là không đổi, nên

Ví dụ giải. Một bình kín có thể tích $0.0500\ \text{m}^{3}$ chứa $0.0424\ \text{kg}$ khí lý tưởng ở $227\ ^{\circ}\text{C}$ và $1.37 \times 10^{5}\ \text{Pa}$. Tìm lượng khí, khối lượng của một phân tử và vận tốc bình phương trung bình của các phân tử.

$T = 227 + 273 = 500\ \text{K}$. $n = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{1.37 \times 10^{5} \times 0.0500}{8.31 \times 500} = 1.65\ \text{mol}$. Khối lượng mol là $0.0424/1.65 = 0.0257\ \text{kg mol}^{-1}$, nên một phân tử có khối lượng $0.0257/(6.02 \times 10^{23}) = 4.3 \times 10^{-26}\ \text{kg}$. Từ $\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$, $\langle c^{2}\rangle = \dfrac{3kT}{m} = \dfrac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 500}{4.27 \times 10^{-26}} = 4.8 \times 10^{5}\ \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$ (vận tốc r.m.s. khoảng $700\ \text{m s}^{-1}$).

Ví dụ giải. Xi-lanh X (thể tích $0.0260\ \text{m}^{3}$, $0.740\ \text{mol}$) và xi-lanh Y (thể tích $0.0180\ \text{m}^{3}$, $0.320\ \text{mol}$) chứa khí lý tưởng và đang ở cân bằng nhiệt với nhau ở $290\ \text{K}$. Tìm áp suất trong mỗi xi-lanh và giải thích điều gì xảy ra với số phân tử trong mỗi xi-lanh nếu mở van nối chúng.

$p_{\text{X}} = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{0.740 \times 8.31 \times 290}{0.0260} = 6.86 \times 10^{4}\ \text{Pa}$ và $p_{\text{Y}} = \dfrac{0.320 \times 8.31 \times 290}{0.0180} = 4.28 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Khí chảy từ áp suất cao hơn (X) sang áp suất thấp hơn (Y) cho đến khi áp suất bằng nhau; nhiệt độ không đổi, nên áp suất cuối cùng là $p = \dfrac{(n_{\text{X}} + n_{\text{Y}})RT}{V_{\text{X}} + V_{\text{Y}}} = 5.8 \times 10^{4}\ \text{Pa}$, và X kết thúc với $n_{\text{X}} = pV_{\text{X}}/RT = 0.63\ \text{mol}$ — nó mất khoảng $0.11\ \text{mol}$ sang Y.

Ví dụ giải. Một lượng khí lý tưởng cố định ở nhiệt độ $T$ đang ở trạng thái X, với áp suất $2p$ và thể tích $V$. Nó được làm nguội ở thể tích không đổi đến trạng thái Y, nơi áp suất của nó là $p$; sau đó được gia nhiệt ở áp suất không đổi đến trạng thái Z, nơi thể tích của nó là $2V$; sau đó trở lại X. Tìm nhiệt độ tại Y và Z, và mô tả sự thay đổi nội năng quanh chu trình.

Từ X đến Y diễn ra ở thể tích không đổi, nên $p/T$ không đổi: giảm nửa áp suất sẽ làm giảm nửa nhiệt độ, $T_{\text{Y}} = T/2$. Từ Y đến Z diễn ra ở áp suất không đổi, nên $V/T$ không đổi: gấp đôi thể tích sẽ làm gấp đôi nhiệt độ, $T_{\text{Z}} = T$. Năng lượng nội bộ của khí lý tưởng chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ, nên nó giảm từ X đến Y (bằng $\tfrac{3}{2}nR \cdot T/2$), tăng đúng lượng đó từ Y đến Z, và không đổi từ Z quay trở lại X. Đọc từng đoạn trên đồ thị trước khi viết phương trình: đường thẳng đứng nghĩa là $V$ không đổi, đường ngang nghĩa là $p$ không đổi.

Các trường hợp đặc biệt:

• nhiệt độ không đổi (định luật Boyle): $p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$.
• áp suất không đổi (định luật Charles): $V / T = \text{constant}$.
• thể tích không đổi (định luật áp suất): $p / T = \text{constant}$.

Một sai lầm phổ biến là sử dụng °C thay vì K — $pV \propto T$ chỉ đúng với $T$ tính bằng kelvin.

Lý thuyết động học giải thích hành vi quy mô lớn của khí từ chuyển động ngẫu nhiên của các phân tử của nó.

Các giả thiết

Đối với khí lý tưởng:

1. một số lượng lớn các phân tử giống hệt nhau chuyển động ngẫu nhiên liên tục.
2. thể tích tự thân của các phân tử quá nhỏ để đáng kể so với bình chứa.
3. thời gian của mỗi va chạm quá ngắn để đáng kể so với thời gian giữa các va chạm.
4. lực phân tử bị bỏ qua ngoại trừ trong lúc va chạm (các phân tử di chuyển theo đường thẳng giữa chúng).
5. va chạm (với thành bình và với nhau) là đàn hồi — một va chạm đàn hồi không mất năng lượng động, do đó khí không tự làm mát.
6. các định luật Newton áp dụng.

Các giả định này trở nên kém chính xác ở áp suất rất cao (thể tích phân tử có ý nghĩa) hoặc nhiệt độ rất thấp (lực tương tác giữa các phân tử có ý nghĩa).

Như đề thi yêu cầu. "Nêu hai (hoặc ba) giả định cơ bản của thuyết động học": chọn từ các phân tử chuyển động ngẫu nhiên liên tục; thể tích của phân tử không đáng kể so với thể tích khí; không có lực nào giữa các phân tử ngoại trừ trong thời điểm va chạm; các va chạm là hoàn toàn đàn hồi; thời gian của một va chạm không đáng kể so với thời gian giữa các lần va chạm. "Nêu ý nghĩa của va chạm đàn hồi": một va chạm mà tổng động năng được bảo toàn (bên cạnh động lượng). "Sử dụng các giả định để giải thích tại sao khí trên bề mặt một ngôi sao, ở áp suất rất cao, không phải là khí lý tưởng": các phân tử nằm quá gần nhau đến mức thể tích riêng của chúng không còn nhỏ so với thể tích khí, và lực tương tác giữa các phân tử xuất hiện — đây là hai giả định bị vi phạm khi khí bị nén.

Ví dụ minh họa. Một quả bóng bay chứa $0.40\ \text{mol}$ hydro ($m = 3.34 \times 10^{-27}\ \text{kg}$ mỗi phân tử) trong $9.8 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. Ước tính khoảng cách trung bình giữa các phân tử, lực hấp dẫn giữa các phân tử lân cận, và nhận xét về giả định của thuyết động học mà bài toán này kiểm tra.

$N = 0.40 \times 6.02 \times 10^{23} = 2.4 \times 10^{23}$ phân tử, do đó mỗi phân tử chiếm $V/N = 4.1 \times 10^{-26}\ \text{m}^{3}$ và khoảng cách trung bình là $d = (V/N)^{1/3} = 3.4 \times 10^{-9}\ \text{m}$. Lực hấp dẫn giữa hai phân tử là $F = \dfrac{Gm^{2}}{d^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times (3.34 \times 10^{-27})^{2}}{(3.4 \times 10^{-9})^{2}} = 6 \times 10^{-47}\ \text{N}$ — nhỏ hơn trọng lượng của chính phân tử đó khoảng $10^{20}$ lần ($mg = 3.3 \times 10^{-26}\ \text{N}$). Lực tương tác giữa các phân tử thực sự không đáng kể ngoại trừ trong thời điểm va chạm, như thuyết đã giả định.

Áp suất của khí — phác thảo lời giải

Lấy một hộp lập phương cạnh $L$ chứa $N$ phân tử, mỗi phân tử có khối lượng $m$. Xét một phân tử di chuyển dọc theo trục $x$ với vận tốc $u_{1}$.

• một va chạm với tường bên phải: vận tốc đảo chiều thành $-u_{1}$, độ biến thiên động lượng $\Delta p_{x} = -2 m u_{1}$. Theo định luật III Newton, tường nhận được xung lượng là $+2 m u_{1}$.
• thời gian giữa các lần va chạm lên tường đó: đi $2L$ đi và về, nên $\Delta t = 2L/u_{1}$.
• lực trung bình từ phân tử này: $F_{1} = \Delta p / \Delta t = m u_{1}^{2} / L$.
• tổng hợp lại cho tất cả các phân tử: $F = (Nm/L)\langle u_{x}^{2} \rangle$, trong đó $\langle u_{x}^{2} \rangle$ là bình phương trung bình của vận tốc $x$.
• áp suất: $p = F/L^{2} = N m \langle u_{x}^{2} \rangle / V$.

Trong hệ 3-D, theo đối xứng $\langle u_{x}^{2} \rangle = \tfrac{1}{3} \langle c^{2} \rangle$, trong đó $\langle c^{2} \rangle$ là bình phương trung bình tốc độ. Vì vậy

"Giải thích làm thế nào chuyển động phân tử gây ra áp suất mà khí tác dụng lên" (3 điểm). Các phân tử chuyển động ngẫu nhiên và va chạm với các thành của bình chứa; tại mỗi va chạm, động lượng của một phân tử thay đổi (nó bật ngược lại), do đó theo định luật II Newton, thành bình tác dụng một lực lên nó, và theo định luật III Newton, nó tác dụng một lực bằng nhau lên thành bình; hàng triệu lần va chạm mỗi giây tạo ra một tổng lực ổn định lên thành bình, và áp suất chính là lực đó chia cho đơn vị diện tích. Cụm từ chương trình "một mô hình đơn giản xét va chạm một chiều" ám chỉ lời giải ở trên: việc theo dõi một phân tử nảy giữa hai mặt đối diện rồi lấy trung bình là đủ.

Dạng mật độ. Vì $Nm$ là tổng khối lượng của khí và $Nm/V$ là mật độ $\rho$ của nó, kết quả tương đương viết lại thành $p = \tfrac{1}{3}\rho\langle c^{2}\rangle$ — dạng này dùng khi câu hỏi cung cấp mật độ thay vì $N$ và $m$.

Ví dụ minh họa. Một khí lý tưởng ở áp suất $1.6 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ có khối lượng riêng $1.9\ \text{kg m}^{-3}$. Chứng minh rằng vận tốc hiệu dụng bình phương (r.m.s.) của các phân tử là khoảng $500\ \text{m s}^{-1}$.

$\langle c^{2}\rangle = \dfrac{3p}{\rho} = \dfrac{3 \times 1.6 \times 10^{5}}{1.9} = 2.53 \times 10^{5}\ \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, do đó $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.53 \times 10^{5}} = 503\ \text{m s}^{-1} \approx 500\ \text{m s}^{-1}$. Trong bài "chứng minh", giữ lại một chữ số thập phân nữa ($503$) trước khi so sánh với giá trị đã cho.

Vận tốc hiệu dụng (root-mean-square speed)

Căn bậc hai của $\langle c^{2} \rangle$ là vận tốc hiệu dụng (r.m.s.):

Đây là một đại lượng đo lường hữu ích về tốc độ di chuyển của phân tử, lớn hơn một chút so với vận tốc trung bình (việc bình phương giúp ưu tiên hóa các phân tử có tốc độ cao hơn).

So sánh hai biểu thức cho $pV$:

Đặt chúng bằng nhau, triệt tiêu $N$, và nhân với $\tfrac{3}{2}$:

Vế phải là động năng tịnh tiến trung bình $\langle E_{\text{k}} \rangle$ của một phân tử. Vì vậy

Đây là một kết quả quan trọng: động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử khí lý tưởng chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ nhiệt động, không phụ thuộc vào loại khí hay áp suất của nó.

Ví dụ có lời giải. Tìm vận tốc hiệu dụng bình phương (r.m.s.) của các phân tử oxy ở $300\ \text{K}$. (Khối lượng một $\text{O}_{2}$ phân tử là $= 5.3 \times 10^{-26}\ \text{kg}$, $k = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J K}^{-1}$.)

Từ $\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$, bình phương vận tốc trung bình là $\langle c^{2}\rangle = 3kT/m$:

Ví dụ có lời giải. Bề mặt Mặt Trăng đạt khoảng $400\ \text{K}$ dưới ánh sáng mặt trời. Tính vận tốc r.m.s. của các phân tử hydro ($m = 3.34 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) ở nhiệt độ này, và sử dụng vận tốc thoát ly của Mặt Trăng là $2.4\ \text{km s}^{-1}$ để giải thích tại sao Mặt Trăng không có khí quyển chứa hydro.

$c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 400}{3.34 \times 10^{-27}}} = 2.2 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$. Vận tốc r.m.s. này gần bằng vận tốc thoát ly, và các vận tốc phân bố rộng rãi xung quanh giá trị đó, nên một phần lớn các phân tử di chuyển nhanh hơn $2.4\ \text{km s}^{-1}$ tại bất kỳ thời điểm nào và thoát ra ngoài; theo thời gian, hydro bị mất đi.

Ví dụ có lời giải. Khí ở bề mặt một ngôi sao chủ yếu gồm các nguyên tử hydro ($m = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) với vận tốc r.m.s. là $9300\ \text{m s}^{-1}$. Tìm nhiệt độ của bề mặt ngôi sao.

$T = \dfrac{m\langle c^{2}\rangle}{3k} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 9300^{2}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}} = 3.5 \times 10^{3}\ \text{K}$.

Ví dụ có lời giải. Đối với một mẫu khí cố định, đồ thị $pV$ theo $kT$ là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ có hệ số góc là $7.2 \times 10^{22}$. Khi $pV = 270\ \text{J}$, vận tốc r.m.s. của các phân tử là $1900\ \text{m s}^{-1}$. Tìm số lượng phân tử và khối lượng của một phân tử tính theo đơn vị u.

Từ $pV = NkT$, hệ số góc là $N = 7.2 \times 10^{22}$. Từ $pV = \tfrac{1}{3}Nm\langle c^{2}\rangle$: $m = \dfrac{3pV}{N\langle c^{2}\rangle} = \dfrac{3 \times 270}{7.2 \times 10^{22} \times 1900^{2}} = 3.1 \times 10^{-27}\ \text{kg} = \dfrac{3.1 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}} = 1.9\ \text{u}$ — phân tử hydro, nằm trong sai số làm tròn.

So sánh các loại khí và các mẫu. Ở cùng một nhiệt độ, mọi loại khí đều có cùng động năng trung bình trên mỗi phân tử, do đó $\langle c^{2}\rangle \propto 1/m$: hydro ($M_{\text{m}} = 2$) và oxy ($M_{\text{m}} = 32$) có $\dfrac{c_{\text{H}}}{c_{\text{O}}} = \sqrt{\dfrac{32}{2}} = 4$. Hai mẫu ở cùng $T$ — X với $N$ phân tử khối lượng $m$ trong thể tích $V$, Y với $2N$ phân tử khối lượng $2m$ trong thể tích $2V$ — có áp suất như nhau ($p = NkT/V$ và cả hai đều $N$ và $V$ gấp đôi), cùng động năng trung bình trên mỗi phân tử, nhưng các phân tử của Y có bình phương vận tốc trung bình bằng một nửa ($3kT/2m$) và Y có nội năng gấp đôi (nhiều phân tử gấp đôi).

Hệ quả

• khi tăng nhiệt độ tuyệt đối lên hai lần thì động năng trung bình của mỗi phân tử cũng tăng gấp đôi, do đó $\langle c^{2} \rangle$ tăng gấp đôi và $c_{\text{r.m.s.}}$ tăng thêm $\sqrt{2}$.
• đối với hai loại khí ở cùng nhiệt độ, khí nhẹ hơn sẽ có $\langle c^{2} \rangle$ lớn hơn. Các phân tử hydro chuyển động nhanh hơn trung bình so với các phân tử oxy trong cùng một căn phòng.
• tổng động năng dịch chuyển của $N$ phân tử: $\tfrac{3}{2} N k T = \tfrac{3}{2} n R T$.

Nội năng của khí lý tưởng

Đối với khí lý tưởng, các phân tử là các hạt điểm không có thế năng tương phân tử và (trong mô hình đơn giản này) không có quay hay dao động. Vì vậy nội năng chỉ là tổng động năng:

Như vậy nội năng của khí lý tưởng tỷ lệ thuận với nhiệt độ nhiệt động lực học — khi tăng $T$ lên hai lần thì $U$ cũng tăng gấp đôi.

Theo cách đề thi yêu cầu. "Sử dụng một trong những giả thuyết cơ bản để giải thích điều gì có thể suy luận về thế năng của các phân tử": có không có lực tác dụng giữa các phân tử (ngoại trừ trong va chạm), do đó không có thế năng liên quan đến sự tách rời của chúng — năng lượng chuyển động ngẫu nhiên hoàn toàn là động năng. "Giải thích tại sao nội năng của khí lý tưởng tỷ lệ thuận trực tiếp với nhiệt độ nhiệt động lực học" (2 điểm): nội năng là tổng động năng và thế năng của các phân tử; thế năng bằng không (không có lực tương phân tử), và động năng trung bình của một phân tử là $\tfrac{3}{2}kT$, tỷ lệ thuận với $T$; do đó tổng, $U = \tfrac{3}{2}NkT$, tỷ lệ thuận với $T$. "Chứng minh $\tfrac{3}{2}kT$" (2 điểm): đặt $pV = NkT$ bằng $pV = \tfrac{1}{3}Nm\langle c^{2}\rangle$, triệt tiêu $N$, và biến đổi để thu được $\tfrac{1}{2}m\langle c^{2}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — hãy thể hiện việc triệt tiêu và hệ số $\tfrac{3}{2}$.

Ví dụ có lời giải. Một mẫu $0.26\ \text{m}^{3}$ khí lý tưởng ở $2.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ và $290\ \text{K}$. Tìm số lượng phân tử, động năng dịch chuyển trung bình của một phân tử, và nội năng của khí.

$N = \dfrac{pV}{kT} = \dfrac{2.0 \times 10^{5} \times 0.26}{1.38 \times 10^{-23} \times 290} = 1.3 \times 10^{25}$. $\langle E_{\text{k}}\rangle = \tfrac{3}{2}kT = 1.5 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 290 = 6.0 \times 10^{-21}\ \text{J}$. $U = N\langle E_{\text{k}}\rangle = 1.3 \times 10^{25} \times 6.0 \times 10^{-21} = 7.8 \times 10^{4}\ \text{J}$ — hoặc trực tiếp từ $U = \tfrac{3}{2}pV = 7.8 \times 10^{4}\ \text{J}$, một phép kiểm tra gọn gàng.

Thay đổi áp suất ở nhiệt độ không đổi

Khi tăng $p$ lên hai lần ở $T$ không đổi (bằng cách nén khí xuống còn một nửa thể tích) thì không thay đổi $\langle E_{\text{k}} \rangle$ — điều đó chỉ phụ thuộc vào $T$. Có nhiều va chạm với thành bình hơn mỗi giây, nhưng mỗi phân tử vẫn có cùng động năng trung bình.

Câu hỏi định nghĩa được chấm dựa trên văn phong cố định. Hãy học thuộc những định nghĩa này và chỉ đưa ra một đáp án duy nhất.

• Sử dụng $pV = nRT$ ($n$ theo mol) hoặc $pV = NkT$ ($N$ phân tử), với nhiệt độ tính bằng kelvin và thể tích tính bằng $\text{m}^{3}$ ($1\ \text{cm}^{3} = 10^{-6}\ \text{m}^{3}$).
• Học thuộc lòng các giả thuyết của thuyết động học phân tử từng chữ (chuyển động ngẫu nhiên, thể tích phân tử bỏ qua, không có lực tương phân tử ngoại trừ trong va chạm, va chạm đàn hồi, thời gian va chạm bỏ qua), và biết rõ hai giả thuyết nào thất bại ở áp suất cao.
• Động năng dịch chuyển trung bình $= \frac{3}{2}kT$ — nó phụ thuộc chỉ vào nhiệt độ; ở cùng $T$, phân tử nhẹ hơn sẽ nhanh hơn, $\langle c^{2}\rangle \propto 1/m$.
• Đối với câu hỏi "chứng minh rằng" về áp suất, hãy trình bày chuỗi logic: va chạm với thành bình, sự thay đổi động lượng, lực (theo định luật II và III Newton), lực trên một đơn vị diện tích.
• Sử dụng $p = \tfrac{1}{3}\rho\langle c^{2}\rangle$ khi khối lượng riêng được cho; sử dụng $U = \tfrac{3}{2}NkT = \tfrac{3}{2}pV$ khi yêu cầu tính năng lượng nội.

Lỗi thường gặp

• Sử dụng °C trong $pV = nRT$ hoặc trong $\langle E_{\text{k}}\rangle = \tfrac{3}{2}kT$. Hãy chuyển đổi trước; chỉ tỷ lệ nhiệt độ mới tính được ở thang Kelvin.
• Định nghĩa khí lý tưởng chỉ bằng "tuân theo $pV = nRT$" là chưa đủ. Hãy thêm "ở mọi giá trị của $p$, $V$ và $T$".
• Nhầm lẫn giữa $n$ (số mol) với $N$ (phân tử), hoặc $R$ với $k$. $N = nN_{\text{A}}$ và $k = R/N_{\text{A}}$.
• Đưa ra "phân tử di chuyển ngẫu nhiên" làm nguyên nhân tạo áp suất. Điểm số chỉ dành cho phần giải thích sự thay đổi động lượng tại thành bình và lực thu được trên một đơn vị diện tích.
• Vẽ đồ thị $c_{\text{r.m.s.}}$ theo $T$ dưới dạng đường thẳng. $\langle c^{2}\rangle$ là đại lượng tuyến tính theo $T$; $c_{\text{r.m.s.}}$ tăng dần khi $\sqrt{T}$ tăng.
• Nói rằng động lượng phân tử thay đổi khi áp suất gấp đôi ở nhiệt độ không đổi. Thực tế chỉ có số lần va chạm mỗi giây thay đổi.