IGCSE Mathematics · Mathematics IGCSE · Topic 8 · หัวข้อ 8
7:31
ความน่าจะเป็น
พรุ่งนี้ฝนตกไหม? รถบัสจะสายไหม? ลูกเต๋าจะออกหกหรือไม่? ในชีวิตแทบไม่มีอะไรแน่นอน และแทบไม่มีอะไรที่เป็นไปไม่ได้ สิ่งส่วนใหญ่อยู่…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · การบรรยายภาษาอังกฤษ · คำบรรยายภาษาอังกฤษ + 中文 ลอยตัวบนภาพ
This handout covers Topic 8, Probability. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
เอกสารฉบับนี้ครอบคลุมหัวข้อที่ 8 ความน่าจะเป็น ส่วนที่ระบุ (Extended) จะทดสอบเฉพาะในข้อสอบ Extended เท่านั้น ส่วนที่เหลือทดสอบสำหรับทั้งสองระดับ
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use the probability scale from 0 to 1. | Probability notation is not required. Probabilities should be given as a fraction, decimal or percentage. Problems may require using information from tables, graphs or Venn diagrams (limited to two sets). |
| 2 Calculate the probability of a single event. | |
| 3 Understand that the probability of an event not occurring = 1 – the probability of the event occurring. | e.g. The probability that a counter is blue is 0.8. What is the probability that it is not blue? |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 เข้าใจและใช้สเกลความน่าจะเป็นตั้งแต่ 0 ถึง 1. | ไม่จำเป็นต้องใช้สัญลักษณ์ความน่าจะเป็น ควรแสดงความน่าจะเป็นในรูปเศษส่วน ทศนิยม หรือเปอร์เซ็นต์ ปัญหาอาจต้องใช้ข้อมูลจากตาราง กราฟ หรือแผนภาพเวนน์ (จำกัดไว้ที่สองเซต). |
| 2 คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดียว. | |
| 3 เข้าใจว่า ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ไม่เกิดขึ้น = 1 – ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เกิดขึ้น. | เช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกเต๋าสีน้ำเงินคือ 0.8 ความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่สีน้ำเงินคืออะไร? |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use the probability scale from 0 to 1. | $\text{P}(A)$ is the probability of $A$ |
| 2 Understand and use probability notation. | $\text{P}(A')$ is the probability of not $A$ |
| 3 Calculate the probability of a single event. | Probabilities should be given as a fraction, decimal or percentage. Problems may require using information from tables, graphs or Venn diagrams. |
| 4 Understand that the probability of an event not occurring = 1 – the probability of the event occurring. | e.g. $\text{P}(B) = 0.8$, find $\text{P}(B')$ |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 เข้าใจและใช้สเกลความน่าจะเป็นตั้งแต่ 0 ถึง 1. | $\text{P}(A)$ คือความน่าจะเป็นของ $A$ |
| 2 เข้าใจและใช้สัญลักษณ์ความน่าจะเป็น. | $\text{P}(A')$ คือความน่าจะเป็นที่ไม่เกิด $A$ |
| 3 คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดียว. | ควรแสดงค่าความน่าจะเป็นในรูปเศษส่วน ทศนิยม หรือเปอร์เซ็นต์ โจทย์อาจต้องใช้ข้อมูลจากตาราง กราฟ หรือแผนภาพเวนน์. |
| 4 เข้าใจว่า ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ไม่เกิดขึ้น = 1 – ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เกิดขึ้น. | เช่น $\text{P}(B) = 0.8$, หา $\text{P}(B')$ |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
Probability 概率 measures how likely an event 事件 is. It runs on a scale from $0$ (impossible) to $1$ (certain), and can be written as a fraction, decimal or percentage. We write $\text{P}(A)$ for the probability of event $A$.
For equally likely outcomes 结果,
The probability that an event does not happen is
Worked example. A bag has $3$ red and $5$ blue counters. Find the probability of not drawing red.
ความน่าจะเป็น วัดความน่าจะเป็นที่จะเกิด เหตุการณ์某事运行一个从$0$ (เป็นไปไม่ได้) ถึง $1$ (แน่นอน) บนสเกล และสามารถเขียนเป็นเศษส่วน ทศนิยม หรือเปอร์เซ็นต์ เราเขียน $\text{P}(A)$ แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$
สำหรับ ผลลัพธ์ ที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน
ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะ ไม่ เกิดขึ้นคือ
ตัวอย่างวิธีทำ. ถุงหนึ่งมีลูกปัดสีแดง $3$ ลูก และลูกปัดสีน้ำเงิน $5$ ลูก. จงหาความน่าจะเป็นที่จะ ไม่ ดึงลูกปัดสีแดง.
Slide the marker from 0 (impossible) to 1 (certain) to place an event on the probability scale. · เลื่อนมาร์คเกอร์จาก 0 (เป็นไปได้ยาก) ถึง 1 (แน่นอน) เพื่อวางเหตุการณ์บน สเกลความน่าจะเป็น
| English | ไทย |
|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | ความน่าจะเป็น |
| event/ɪˈvent/ | เหตุการณ์ |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | ผลลัพธ์ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand relative frequency as an estimate of probability. | e.g. use results of experiments with a spinner to estimate the probability of a given outcome. |
| 2 Calculate expected frequencies. | e.g. use probability to estimate an expected value from a population. Includes understanding what is meant by fair, bias and random. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 เข้าใจความถี่สัมพัทธ์ในฐานะตัวประมาณค่าความน่าจะเป็น. | เช่น ใช้ผลลัพธ์จากการทดลองหมุนลูกตุ้มเพื่อประมาณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่กำหนดให้. |
| 2 คำนวณความถี่ที่คาดไว้. | เช่น ใช้ความน่าจะเป็นเพื่อประมาณค่าที่คาดหวังจากประชากร รวมถึงความเข้าใจในความหมายของยุติธรรม (fair), มีอคติ (bias) และสุ่ม (random). |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand relative frequency as an estimate of probability. | e.g. use results of experiments with a spinner to estimate the probability of a given outcome. |
| 2 Calculate expected frequencies. | e.g. use probability to estimate an expected value from a population. |
| Includes understanding what is meant by fair, bias and random. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 เข้าใจความถี่สัมพัทธ์ในฐานะตัวประมาณค่าความน่าจะเป็น. | เช่น ใช้ผลลัพธ์จากการทดลองหมุนลูกตุ้มเพื่อประมาณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่กำหนดให้. |
| 2 คำนวณความถี่ที่คาดหวัง. | เช่น ใช้ความน่าจะเป็นเพื่อประมาณค่าที่คาดหวังจากประชากร. |
| รวมถึงความเข้าใจในความหมายของยุติธรรม, ความลำเอียง และความสุ่ม. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
When outcomes are not equally likely, do an experiment. The relative frequency 相对频率 estimates the probability:
The more trials you do, the better the estimate. A fair 公平 object gives equal chances; one with bias 偏倚 does not; random 随机 means each outcome happens by chance.
The expected frequency 期望频数 is how many times you expect an event in $n$ trials:
Worked example. The probability of rolling a six is $\tfrac{1}{6}$. How many sixes are expected in $300$ rolls?
เมื่อผลลัพธ์มีความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน ให้ทำการทดลอง. ความถี่สัมพัทธ์ ใช้ประมาณค่าความน่าจะเป็น:
ยิ่ง多做หลายครั้ง การประมาณค่าก็ยิ่งดี. วัตถุที่ ยุติธรรม จะให้โอกาสเท่ากัน; วัตถุที่มี ความเบี่ยงเบน จะไม่ให้โอกาสเท่ากัน; สุ่ม หมายความว่าแต่ละผลลัพธ์เกิดขึ้นโดยบังเอิญ.
ความถี่ที่คาดหวัง คือจำนวนครั้งที่เราคาดว่าจะเกิดเหตุการณ์ใน $n$ ครั้ง:
ตัวอย่างทำแบบฝึกหัด. ความน่าจะเป็นที่จะออกเลขหกคือ $\tfrac{1}{6}$. จะคาดหวังว่าจะได้ออกเลขหกกี่ครั้งใน $300$ ครั้งโยนลูกเต๋า?
Roll the two dice many times: the bars start jumpy but settle into the theoretical triangle peaking at 7 — experimental probability closing in on theory. · โยกลูกเต๋าสองลูกหลายครั้ง: แท่งกราฟเริ่มผันผวนแต่จะนิ่งลงเป็นสามเหลี่ยมทางทฤษฎีที่ยอดที่ 7 — ความน่าจะเป็นเชิงทดลองเข้าใกล้ทฤษฎี
| English | ไทย |
|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | ความถี่สัมพัทธ์ |
| fair/feə/ | fair (ยุติธรรม) |
| bias/ˈbaɪəs/ | อคติ |
| random/ˈrændəm/ | สุ่ม (random) |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | ความถี่ที่คาดหวัง |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | เหตุการณ์รวม |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | เหตุการณ์อิสระ (independent events) |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | ไม่อาจเกิดขึ้นพร้อมกัน |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | แผนภูมิพื้นที่ตัวอย่าง |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | แผนภาพเวนน์ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the probability of combined events using, where appropriate: • sample space diagrams • Venn diagrams • tree diagrams. | Combined events will only be with replacement. |
| Venn diagrams will be limited to two sets. | |
| In tree diagrams, outcomes will be written at the end of the branches and probabilities by the side of the branches. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วม โดยใช้เมื่อเหมาะสม: •แผนภาพพื้นที่ตัวอย่าง •แผนภาพเวนน์ •แผนภาพต้นไม้. | เหตุการณ์ร่วมจะอยู่ภายใต้เงื่อนไขการแทนกลับ (with replacement) เท่านั้น. |
| แผนภาพเวนน์จะจำกัดไว้ที่สองเซตเท่านั้น. | |
| ในแผนภาพต้นไม้ ผลลัพธ์จะถูกเขียนที่ปลายกิ่ง และความน่าจะเป็นจะเขียนอยู่ข้างกิ่ง. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the probability of combined events using, where appropriate: • sample space diagrams • Venn diagrams | Combined events could be with or without replacement. |
| The notation $\text{P}(A \cap B)$ and $\text{P}(A \cup B)$ may be used in the context of Venn diagrams. | |
| • tree diagrams. | On tree diagrams outcomes will be written at the end of branches and probabilities by the side of the branches. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วม โดยใช้: • แผนภูมิพื้นที่ตัวอย่าง • แผนภาพเวนน์ (ตามความเหมาะสม) | เหตุการณ์ร่วมอาจมีหรือไม่มีสิ่งแทนที่. |
| สัญลักษณ์ $\text{P}(A \cap B)$ และ $\text{P}(A \cup B)$ อาจใช้ในบริบทของแผนภาพเวนน์. | |
| • ต้นไม้แสดงความน่าจะเป็น. | ในต้นไม้แสดงความน่าจะเป็น ผลลัพธ์จะเขียนไว้ที่ปลายกิ่ง และความน่าจะเป็นจะเขียนอยู่ข้างกิ่ง. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
For two or more events together (combined events 组合事件), two rules help:
Three pictures help you organise the work.
A sample space diagram 样本空间图 is a table or grid listing every possible outcome — useful for two dice or two spinners. Count the outcomes you want out of the total.
A Venn diagram 维恩图 sorts outcomes into overlapping sets. From it you can read $\text{P}(A \cap B)$ (in both) and $\text{P}(A \cup B)$ (in either).
A tree diagram 树状图 shows each stage as a set of branches. Write the probability on each branch and the outcome at the end. Multiply along the branches, then add the paths you want.
Worked example (with replacement). From the bag ($3$ red, $5$ blue), a counter is drawn, replaced, then a second is drawn. This is with replacement 有放回, so the chances do not change. Find the probability of two reds.
Worked example (without replacement, Extended). Now the first counter is not replaced — drawing without replacement 无放回. After one red is taken, $2$ reds remain out of $7$:
สำหรับเหตุการณ์สองอย่างหรือมากกว่า (เหตุการณ์รวม), มีกฎสองข้อช่วย:
รูปภาพสามภาพช่วยให้จัดระเบียบงานได้
แผนภูมิพื้นที่ตัวอย่าง คือตารางหรือตาราง列举every possible outcome — มีประโยชน์สำหรับลูกเต๋าสองลูกหรือ spinner สองตัว. นับผลลัพธ์ที่ต้องการจากทั้งหมด.
แผนภูมิเวนน์ แยกผลลัพธ์ออกเป็นเซตที่ซ้อนทับกัน. จากนี้สามารถอ่านค่า $\text{P}(A \cap B)$ (อยู่ในทั้งสอง) และ $\text{P}(A \cup B)$ (อยู่ในอย่างใดอย่างหนึ่ง).
แผนภูมิต้นไม้ แสดงแต่ละขั้นเป็นชุดกิ่งก้าน. เขียนความน่าจะเป็นบนแต่ละกิ่งและผลลัพธ์ที่ปลาย. คูณตาม กิ่ง แล้ว บวก เส้นทางที่เราต้องการ.
ตัวอย่างวิธีทำ (แบบมีคืน). จากถุง ($3$ สีแดง, $5$ สีน้ำเงิน) ดึงลูกปัดมาหนึ่งลูก คืนเข้าถุง แล้วดึงลูกที่สองมา. นี่คือ แบบมีคืน ดังนั้นโอกาสไม่เปลี่ยน. จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้สีแดงสองลูก.
ตัวอย่างวิธีทำ (แบบไม่มีคืน, ขยาย). ตอนนี้ลูกปัดแรก ไม่ ถูกคืน — การดึง แบบไม่มีคืน. หลังดึงสีแดงออกไปหนึ่งลูก จะเหลือ $2$ สีแดง จาก $7$ ลูก:
Multiply the probabilities along each branch; the four outcomes always add up to 1. · คูณความน่าจะเป็นตามกิ่งแต่ละเส้น; ผลลัพธ์สี่อย่างรวมกันได้ 1 เสมอ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Combine two events: the area model shows AND (overlap) versus OR (union). · รวมสองเหตุการณ์: โมเดลพื้นที่ แสดง AND (ทับซ้อน) เทียบกับ OR ( unión )
| English | ไทย |
|---|---|
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | แผนภาพต้นไม้ |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | ด้วยการนำกลับมาใช้ใหม่ |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | โดยไม่มีการนำกลับมาใช้ใหม่ |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate conditional probability using Venn diagrams, tree diagrams and tables. | Knowledge of notation, $\text{P}(A|B)$, and formulas relating to conditional probability is not required. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| คำนวณความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไขโดยใช้แผนภาพเวนน์ ต้นไม้แสดงความน่าจะเป็น และตาราง. | ไม่จำเป็นต้องรู้สัญลักษณ์ $\text{P}(A|B)$ และสูตรที่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
Conditional probability 条件概率 is the probability of one event given that another has already happened. Read it from a Venn diagram, two-way table or tree diagram by looking only at the part that matches the condition.
Worked example. In a class of $30$, $18$ study French and, of those, $7$ also study German. A French student is picked. Find the probability they also study German.
Look only at the $18$ French students:
ความน่าจะเป็นเงื่อนไข คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่ง เมื่อทราบว่ามี อื่นๆ เกิดขึ้นก่อนแล้ว. อ่านได้จากแผนภูมิเวนน์ ตารางสองทาง หรือแผนภูมิต้นไม้โดยการดูเฉพาะส่วนที่ตรงกับเงื่อนไขเท่านั้น.
ตัวอย่างวิธีทำ. ในชั้นเรียน $30$ คน, $18$ เรียนภาษาฝรั่งเศส และในจำนวนนั้น $7$ ยังเรียนภาษาเยอรมันด้วย. สุ่มเลือกนักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส. จงหาความน่าจะเป็นที่เขา/เธอก็เรียนภาษาเยอรมันด้วย.
ดูเฉพาะ $18$ นักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส:
Change the branch probabilities and read combined and conditional probabilities off the tree. · เปลี่ยนความน่าจะเป็นในแต่ละกิ่งและอ่านความน่าจะเป็นร่วมและความน่าจะเป็นเงื่อนไขจาก ต้นไม้
Work through it step by step, with instant-check exercises. · ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที
Past Papers · ข้อสอบย้อนหลัง
Loading subjects… · กำลังโหลดวิชา…