เอกสารนี้ครอบคลุมหัวข้อที่ 5: ความน่าจะเป็นและสถิติ 1. เรื่องการบรรยายข้อมูล การนับตัวเลือก และการคำนวณโอกาสของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นและสถิติ 1
Mathematics A-Level · หัวข้อ 5
11:38
ความน่าจะเป็นและสถิติ 1
โยนลูกเต๋าหนึ่งลูก ผลลัพธ์จะเป็นอย่างไรก็ตาม แต่โยนมันนับพันครั้ง หรือวัดความสูงของมนุษย์นับพันคน และสิ่งน่าประหลาดใจบางอย่าง…
การบรรยายภาษาอังกฤษ · คำบรรยายภาษาอังกฤษ + 中文 ลอยตัวบนภาพ
5.1
การแสดงข้อมูล
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| • เลือกวิธีการนำเสนอข้อมูลสถิติดิบที่เหมาะสม และอภิปรายข้อดีและ/หรือข้อเสียของการนำเสนอรูปแบบต่าง ๆ | |
| วาดและตีความ แผนภูมิใบไม้-ก้าน, แผนภูมิกล่องและหนวด, ฮิสโตแกรม และ กราฟความถี่สะสม | รวมถึงแผนภูมิใบไม้-ก้านแบบกลับด้าน |
| เข้าใจและใช้ตัวชี้วัด แนวโน้มกลาง (ค่าเฉลี่ย,Median,*) และ การกระจายตัว (ช่วง, ช่วงระหว่างควอไทล์, ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ของข้อมูล | เช่น ในการเปรียบเทียบและวิเคราะห์ความแตกต่างของชุดข้อมูล |
| • ใช้กราฟความถี่สะสม | เช่น เพื่อประมาณค่ามัธยฐาน, สัดส่วน四分位,百分位数,สัดส่วนของการกระจายที่เกิน (หรือต่ำกว่า) ค่าที่กำหนดไว้ หรือระหว่างสองค่า. |
| • คำนวณและใช้ ค่าเฉลี่ย และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของชุดข้อมูลหนึ่ง (รวมถึงข้อมูลจัดกลุ่ม) ทั้งจากข้อมูลโดยตรงหรือจากผลรวมที่กำหนดให้ $\Sigma x$ และ $\Sigma x^2$, หรือผลรวมแบบรหัส $\Sigma(x - a)$ และ $\Sigma(x - a)^2$, และนำผลรวมเหล่านี้ไปใช้แก้ปัญหาที่อาจเกี่ยวข้องกับข้อมูลสูงสุดถึงสองชุด. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
เลือกแผนภาพที่เหมาะสมกับข้อมูล คุณควรสามารถวาดและอ่านได้:
- แผนภูมิก้านและใบ (stem-and-leaf diagram) (รักษาค่าเดิมไว้และแสดงรูปร่าง); ข้อมูลสองชุดเปรียบเทียบกันด้วยแบบ หลังชนหลัง (back-to-back) – ก้านกลางร่วมกัน ใบของชุดหนึ่งเพิ่มขึ้นทางซ้ายและอีกชุดเพิ่มขึ้นทางขวา เพื่อให้อาจเปรียบเทียบค่ามัธยฐานและการกระจายของทั้งสองชุดได้อย่างรวดเร็ว;
- กราฟกล่องและหนวด (box-and-whisker plot) (แสดงค่าต่ำสุด ค่าควอไทล์สามค่า และค่าสูงสุด);
- ฮิสโตแกรม (สำหรับข้อมูลแบบกลุ่ม ที่ พื้นที่ ของแท่งแต่ละแท่งแสดงถึงความถี่);
- กราฟความถี่สะสม (ผลรวมสะสม ใช้ประมาณค่ามัธยฐานและควอไทล์).
ค่าเฉลี่ยและการกระจาย
** Measures of central tendency (quartiles)
- ค่าเฉลี่ย $\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$ (ค่าเฉลี่ย);
- มัธยฐาน (ค่าตรงกลางเมื่อข้อมูลเรียงลำดับแล้ว);
- ค่าเฉลี่ยที่พบบ่อยที่สุด (ค่าที่เกิดขึ้นมากที่สุด)
ตัวชี้วัดความแปรปรวนแสดงถึงระดับการกระจายตัวของข้อมูล:
- ช่วง (ของข้อมูล) (ค่าสูงสุด $-$ ต่ำสุด);
- ช่วงระหว่างควอไทล์ (ควอไทล์บน $-$ ควอไทล์ล่าง);
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$.
คุณมักทำงานจากผลรวม $\sum x$ และ $\sum x^2$กำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ ความแปรปรวน
ตัวอย่างวิธีทำ สำหรับ $10$ ค่า $\sum x = 50$ และ $\sum x^2 = 300$ จงหาค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
$$\bar{x} = \frac{50}{10} = 5, \qquad \sigma = \sqrt{\frac{300}{10} - 5^2} = \sqrt{30 - 25} = \sqrt{5} = 2.24.$$
การแปลงรหัส ทำให้จัดการกับตัวเลขที่มีขนาดใหญ่ได้ง่ายขึ้น โดยแทนค่าแต่ละค่าด้วย $t=x-a$ เพื่อใช้ ค่าเฉลี่ยสมมติ ที่สะดวก $a$ จากนั้น $\bar{x}=a+\bar{t}$ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะ คงเดิม (การเลื่อนทุกค่าไม่ทำให้ข้อมูลกระจายตัวมากขึ้น) ดังนั้นจากผลรวมที่แปลงรหัสแล้ว $\sum(x-a)$ และ $\sum(x-a)^2$ คุณสามารถได้ $\bar x$ และ $\sigma$ โดยตรง และการเปรียบเทียบชุดข้อมูลสองชุดสามารถทำได้ผ่านผลรวมที่แปลงรหัส
สำรวจ
การกระจายและรูปทรงกระดิ่ง
P(−k < Z < k)
การกระจายวัดได้ด้วย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน — ประมาณ 68% ของข้อมูลอยู่ภายใน 1 sd, 95% ภายใน 2
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| stem-and-leaf diagram/stem ænd liːf ˈdaɪəɡræm/ | แผนภูมิก้านและใบ |
| back-to-back/bæk tə bæk/ | ย้อนกลับ |
| box-and-whisker plot/bɒks ænd ˈwɪskə plɒt/ | แผนภูมิกล่องและหนวด |
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | ฮิสโตแกรม |
| cumulative frequency/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈfriːkwənsi/ | ความถี่สะสม |
| measure of central tendency/ˈmeʒə ɒv ˈsentrəl ˈtendənsi/ | ค่ากลาง |
| mean/miːn/ | ค่าเฉลี่ย |
| median/ˈmiːdiːən/ | มัธยฐาน |
| mode/məʊd/ | โมด |
| variation/ˌveərɪˈeɪʃn/ | ความหลากหลาย (Variation) |
| central tendency/ˈsentrəl ˈtendənsi/ | ค่ากลาง |
5.2
การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดกลุ่ม
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| • เข้าใจคำว่า การเรียงสับเปลี่ยน และ การจัดหมู่, และแก้ปัญหาง่ายๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเลือก | |
| • แก้ปัญหาเกี่ยวกับการเรียงวัตถุเป็นแถว, بما其中包括涉及 – การซ้ำ (เช่น จำนวนวิธีในการเรียงตัวอักษรของคำว่า ‘NEEDLESS’) – ข้อจำกัด (เช่น จำนวนวิธีที่บุคคลหลายคนสามารถยืนเป็นแถวได้ หากบุคคลเฉพาะสองคนต้อง, หรือไม่ ต้อง ยืนติดกัน). | คำถามอาจรวมถึงกรณีเช่น บุคคลนั่งเป็นสอง (หรือมากกว่า) แถว. คำถามเกี่ยวกับการจัดวัตถุในวงกลมจะไม่รวมอยู่ด้วย. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
การเรียงสับเปลี่ยน คือการจัดเรียงที่ลำดับมีความสำคัญ; การจัดกลุ่ม คือการเลือกโดยที่ลำดับไม่มีความสำคัญ ตัวเลขเหล่านี้คือ
$${}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}, \qquad {}^nC_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}.$$
ในการจัดวัตถุเป็นแถวเมื่อมีบางสิ่งซ้ำกัน ให้หารด้วยแฟกทอเรียลของแต่ละจำนวนครั้งที่ซ้ำ
ตัวอย่างทำพร้อมคำอธิบาย. มีวิธีการเรียงตัวอักษรของคำว่า NEEDLESS ได้กี่รูปแบบ?
มีตัวอักษร $8$ ตัว โดย E ซ้ำ $3$ ครั้ง และ S ซ้ำ $2$ ครั้ง:
$$\frac{8!}{3!\,2!} = \frac{40320}{6 \times 2} = 3360.$$
สำรวจ
ห้องปฏิบัติการการเรียงสับเปลี่ยนหรือการจัดหมู่
เลือกว่าลำดับมีความสำคัญในปัญหาการนับหรือไม่
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| range (of data)/reɪndʒ/ | ช่วง (ของข้อมูล) |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | ช่วงระหว่างควอไทล์ |
| standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน |
| variance/ˈveərɪəns/ | ความแปรปรวน |
| Coding/ˈkəʊdɪŋ/ | Coding |
| assumed mean/əˈsjuːmd miːn/ | ค่าเฉลี่ยสมมติ |
| permutation/ˌpɜːmjuːˈteɪʃn/ | การจัดเรียง |
| combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | การผสมผสาน |
5.3
ความน่าจะเป็น
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ประเมินความน่าจะเป็นในกรณีง่ายๆ โดยการนับเหตุการณ์พื้นฐานที่มีโอกาสเท่ากัน, หรือโดยการคำนวณโดยใช้ การเรียงสับเปลี่ยน หรือ การจัดหมู่ | เช่น ผลรวมเมื่อโยนลูกเต๋าที่สมมาตรสองลูก. เช่น การสุ่มจับลูกบอลจากถุงที่มีลูกบอลสีต่างๆ. |
| ใช้การบวกและการคูณของความน่าจะเป็น, ตามความเหมาะสม, ในกรณีง่ายๆ | การใช้สูตรทั่วไป $\text{P}(A \cup B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(A \cap B)$ โดยตรงไม่จำเป็น. |
| เข้าใจความหมายของ เหตุการณ์ที่ไม่สัมพันธ์กัน และ เหตุการณ์ที่เป็นอิสระ, รวมถึงการตรวจสอบว่าเหตุการณ์ $A$ และ $B$ เป็นอิสระต่อกันหรือไม่ โดยเปรียบเทียบค่าของ $\text{P}(A \cap B)$ และ $\text{P}(A) \times \text{P}(B)$ | |
| คำนวณและใช้ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ในกรณีง่ายๆ. | เช่น สถานการณ์ที่สามารถแสดงได้ด้วยพื้นที่ตัวอย่างของเหตุการณ์พื้นฐานที่มีโอกาสเท่ากัน, หรือแผนภูมิต้นไม้. การใช้ $\text{P}(A|B) = \frac{\text{P}(A \cap B)}{\text{P}(B)}$ อาจจำเป็นในกรณีง่ายๆ. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
หาความน่าจะเป็นโดยการนับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าๆ กัน หรือใช้การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดกลุ่ม รวมความน่าจะเป็นด้วยกฎเหล่านี้:
- การบวก สำหรับ "หรือ": $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$;
- การคูณ สำหรับ "และ" เมื่อเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน: $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$
สองเหตุการณ์เป็น เหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นร่วมกันได้ (mutually exclusive events) หากไม่สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งคู่ และเป็น เหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน (independent events) หากเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นแล้วไม่ทำให้โอกาสของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลงไป ในการทดสอบความเป็นอิสระ ให้ตรวจสอบว่า $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข คือโอกาสของ $A$ เมื่อทราบว่ามี $B$ เกิดขึ้นแล้ว: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
ตัวอย่างวิธีทำ เหตุการณ์มี $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ และ $P(A \cap B) = 0.2$ $A$ และ $B$ เป็นอิสระต่อกันหรือไม่?
ทดสอบ: $P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$ ค่าเท่ากัน ดังนั้น $A$ และ $B$ จึงเป็นอิสระต่อกัน
สำรวจ
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
เปลี่ยนความน่าจะเป็นและอ่าน ต้นไม้ วิธีนี้แสดง P(A และ B) และความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไขที่เชื่อมโยงกัน
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| mutually exclusive events/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv ɪˈvents/ | เหตุการณ์ที่แยกจากกัน |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | เหตุการณ์อิสระ (independent events) |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข |
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง |
| probability distribution table/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈteɪbl/ | ตารางการแจกแจงความน่าจะเป็น |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | ค่าคาดหมาย |
5.4
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete random variables)
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| สร้างตาราง การแจกแจงความน่าจะเป็น ที่เกี่ยวข้องกับสถานการณ์ที่กำหนดซึ่งมี ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$, และคำนวณ $\text{E}(X)$ และ $\text{Var}(X)$ | |
| ใช้สูตรสำหรับความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบ ทวินาม และ เรขาคณิต, และระบุสถานการณ์จริงที่เหมาะสมที่จะใช้การแจกแจงเหล่านี้เป็นโมเดล | รวมถึงสัญลักษณ์ $\text{B}(n, p)$ และ $\text{Geo}(p)$. $\text{Geo}(p)$ หมายถึงการแจกแจงที่ $p_r = p(1 - p)^{r-1}$ สำหรับ $r = 1, 2, 3, \dots$. |
| ใช้สูตรสำหรับค่าคาดหมายและความแปรปรวนของการแจกแจงแบบทวินาม และค่าคาดหมายของการแจกแจงแบบเรขาคณิต. | ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์สูตร. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ รับค่าแยกต่าง ๆ ซึ่งแต่ละค่ามีความน่าจะเป็น จัดเรียงใน ตารางการแจกแจงความน่าจะเป็น; ความน่าจะเป็นทั้งหมดต้องรวมกันได้ $1$ จากนั้น ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) และ ความแปรปรวน คือ
$$E(X) = \sum x\,P(X = x), \qquad \mathrm{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2.$$
โมเดลพิเศษสองชนิด:
- การแจกแจงแบบทวินาม (binomial distribution) $X \sim B(n, p)$, จำนวนความสำเร็จใน $n$ การทดลองที่เป็นอิสระ: $P(X = r) = \binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$, โดยมี $E(X) = np$ และ $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$;
- การแจกแจงแบบเรขาคณิต (geometric distribution), สำหรับการทดลองที่สำเร็จครั้งแรกเกิดขึ้น: $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$, โดยมี $E(X) = \dfrac{1}{p}$
ตัวอย่างวิธีทำ $X \sim B(10, 0.3)$ หา $P(X = 2)$ และ $E(X)$
$$P(X = 2) = \binom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.05765 = 0.233, \qquad E(X) = 10 \times 0.3 = 3.$$
สำรวจ
การแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง
เปลี่ยน n และ p สำหรับการแจกแจง ทวินาม แล้วดูแท่งกราฟ — ความน่าจะเป็นของจำนวนความสำเร็จแต่ละจำนวน
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | binomial distribution |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | การแจกแจงเรขาคณิต |
5.5
การแจกแจงปกติ (The normal distribution)
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| เข้าใจการใช้ การแจกแจงปกติ เพื่อจำลอง ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง, และใช้ตารางการแจกแจงปกติ | อาจต้องการภาพร่างของเส้นโค้งปกติเพื่ออธิบายการแจกแจงหรือความน่าจะเป็น. |
| แก้ปัญหาเกี่ยวกับตัวแปร $X$, โดยที่ $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, รวมถึง: – การหาค่าของ $P(X > x_1)$, หรือความน่าที่เกี่ยวข้อง, เมื่อทราบค่าของ $x_1$, $\mu$, $\sigma$. – การหาความสัมพันธ์ระหว่าง $x_1$, $\mu$ และ $\sigma$ เมื่อทราบค่าของ $P(X > x_1)$ หรือความน่าที่เกี่ยวข้อง | สำหรับการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการ ปรับค่ามาตรฐาน, ควรแสดงรายละเอียดการทำงานทั้งหมด. เช่น $Z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$ |
| จำเงื่อนไขที่ใช้ การแจกแจงปกติ สามารถใช้เป็น การประมาณค่า ให้แก่ การแจกแจงแบบทวินาม, และใช้การประมาณนี้, พร้อม การแก้ไขความต่อเนื่อง, ในการแก้ปัญหา. | $n$ มีขนาดใหญ่เพียงพอเพื่อให้แน่ใจว่าทั้ง $np > 5$ และ $nq > 5$. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
การแจกแจงปกติ ใช้จำลอง ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ที่มีรูปร่างระฆังสมมาตร เขียนเป็น $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, โดยที่ $\mu$ คือค่าเฉลี่ยและ $\sigma$ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เพื่อใช้ตาราง ให้ทำการ ปรับสเกล (standardisation) เปลี่ยนเป็นตัวแปร $Z \sim N(0, 1)$:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.$$
จากนั้น $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, ซึ่งคุณสามารถอ่านได้จากตารางการแจกแจงปกติ $\Phi$
การแจกแจงปกติเป็น ค่าประมาณ ที่ดีของการแจกแจงแบบทวินามเมื่อ $n$ มีค่ามาก เนื่องจากคุณแทนที่ตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องด้วยตัวแปรแบบต่อเนื่อง ให้ใช้ การแก้ไขความต่อเนื่อง (ปรับโดย $0.5$)
ตัวอย่างวิธีทำ. ถุงข้าวมีมวล $X \sim N(\mu, 0.14^2)$. กำหนดให้ $P(X < 1.48) = 0.22$, จงหา $\mu$.
จากตาราง $P(Z < z) = 0.22$ ให้ค่า $z = -0.772$ ดังนั้น
$$\frac{1.48 - \mu}{0.14} = -0.772 \;\Rightarrow\; \mu = 1.48 + 0.772 \times 0.14 = 1.59\ \text{kg (3 s.f.)}.$$
สำรวจ
การแจกแจงปกติ
แรเงาพื้นที่เพื่อหาค่าความน่าจะเป็น ค่า z วัดว่าจุดหนึ่งห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เบี่ยงเบนมาตรฐาน
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | การแจกแจงปกติ |
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง |
| standardisation/ˌstændədaɪˈzeɪʃn/ | การมาตรฐาน |
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | การประมาณค่า |
| continuity correction/kɒntɪˈnjuːɪti kəˈrekʃn/ | การแก้ไขความต่อเนื่อง |
| Probability & Statistics/ˌprɒbəˈbɪlɪti ænd stəˈtɪstɪks/ | ความน่าจะเป็น & สถิติ |
5.5
ข้อแนะนำสำหรับการสอบ
- ตัดสินใจว่าลำดับมีความสำคัญหรือไม่: การเรียงสับเปลี่ยน ($^nP_r$) เมื่อมีความสำคัญ, การจับคู่ ($^nC_r$) เมื่อไม่มีความสำคัญ
- สำหรับ ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ตรวจสอบว่าผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับ $1$ และใช้ $E(X) = \sum x\,P(X=x)$
- สำหรับการแจกแจงปกติ มาตรฐาน化 ด้วย $z = (x - \mu)/\sigma$, วาดแผนภาพและระบายสี, แล้วอ่านตาราง
- ใช้ การแก้ไขความต่อเนื่อง เมื่อประมาณค่าตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องด้วยการแจกแจงปกติ
บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้
ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที