การแจกแจงปกติ
| English | ไทย |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | การแจกแจงปกติ |
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | ตัวแปรต่อเนื่อง |
| standardize/ˈstændədaɪz/ | ทำให้เป็นมาตรฐาน |
| approximate/əˈprɒksɪmət/ | ประมาณค่า |
| continuity correction/kɒntɪˈnjuːɪti kəˈrekʃn/ | การแก้ไขความต่อเนื่อง |
เส้นโค้งที่ควบคุมโลก
- ส่วนสูง, คะแนน IQ, ความผิดพลาดในการวัด, ผลการสอบ — ทั้งหมดเป็นไปตามเส้นโค้งระฆังสมมาตรเดียวกัน
- การแจกแจงปกติ คือการแจกแจงที่สำคัญที่สุดในสถิติ หากเชี่ยวชาญคุณจะสามารถสร้างแบบจำลองตัวแปรต่อเนื่องเกือบทุกชนิดได้
การแจกแจงปกติ
- การแจกแจงปกติ สร้างแบบจำลองตัวแปรต่อเนื่องที่มีรูปร่าง ระฆัง สมมาตร: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.
- ค่าเฉลี่ย $\mu$ กำหนดจุดศูนย์กลาง; ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma$ กำหนดการกระจาย
กฎ 68-95-99.7 ประมาณ 68% ของค่าอยู่ภายใน 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย, 95% ภายใน 2, และ 99.7% ภายใน 3
เส้นโค้งปกติสมมาตรรอบๆ ค่าเฉลี่ย; ประมาณ 68% ของพื้นที่อยู่ภายใน 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
เส้นโค้งปกติ
P(Z < z)
พื้นที่ใต้ระฆังจนถึง z คือ ความน่าจะเป็น P(Z < z) — ลาก z เพื่ออ่านค่า
เส้นโค้งการแจกแจงปกติเป็น:
เป็นเส้นโค้งระฆังสมมาตรที่ศูนย์กลางอยู่ที่ mean μ
โดยประมาณแล้วมีค่าร้อยละเท่าไหร่ที่อยู่ใน 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ mean?
กฎ 68-95-99.7: ~68% Within 1σ, ~95% Within 2σ, ~99.7% Within 3σ
เติมสูตรมาตรฐาน化: Z = (X − μ) / ______
Z = (X − μ)/σ แปลงตัวแปร normal ใดๆ เป็นstandard normal N(0, 1)
การทำให้เป็นมาตรฐาน
- เพื่อใช้ตาราง ทำให้เป็นมาตรฐาน ไปที่ $Z \sim N(0, 1)$:
- จากนั้น $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, อ่านจากตาราง $\Phi$.
กระดาน Galton: ลูกบอลตกลงผ่านแถวหมุดและสะสมเป็นรูปทรงระฆังของการแจกแจงปกติ
X ~ N(50, 4) หมายความว่า μ = 50, σ = 2 มาตรฐาน化 x = 56: Z = (x − μ)/σ คืออะไร?
Z = (56 − 50)/2 = 6/2 = 3.
X ~ N(100, 25) หมายความว่า μ = 100, σ = 5 มาตรฐาน化 x = 90: Z = (90 − 100)/5 หาค่า Z
Z = (90 − 100)/5 = −10/5 = −2.
ตัวอย่างวิธีทำ
- $X \sim N(50, 16)$ (ดังนั้น $\mu = 50$, $\sigma = 4$). หา $P(X < 58)$.
- $Z = \dfrac{58 - 50}{4} = 2$.
- $P(Z < 2) = \Phi(2) = 0.9772$.
ทำให้เป็นมาตรฐานก่อนใช้ตาราง. ตาราง $\Phi$ ใช้ได้เฉพาะกับ $Z \sim N(0, 1)$. คุณต้องแปลง $X$ เป็น $Z$ ก่อนโดยใช้ $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.
กระดาน Galton ผลิตการแจกแจงปกติรูปทรงระฆัง
ถ้า Z = 2, Φ(2) = 0.9772 P(Z < 2) (ถึง 4 ทศนิยม) คืออะไร?
P(Z < 2) = Φ(2) = 0.9772 จากตารางnormal standard
การประมาณค่าทวินาม
- สำหรับ $n$ ที่ใหญ่ การแจกแจงปกติ ประมาณค่า ทวินาม: $B(n, p) \approx N(np, np(1-p))$.
- เนื่องจากเราแทนที่ตัวแปรไม่ต่อเนื่องด้วยตัวแปรต่อเนื่อง ให้ใช้ การแก้ไขความต่อเนื่อง (ปรับโดย 0.5).
สำหรับ n ใหญ่ แท่งทวินามจะ-follow เส้นโค้งปกติเรียบ N(np, np(1−p))
การแจกแจงทวินาม B(10, 0.3); ค่าเฉลี่ยของมันคือ np = 3
- ปกติสร้างแบบจำลอง ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง; ใช้ การทำให้เป็นมาตรฐาน $Z=(X-\mu)/\sigma$, และในฐานะ การประมาณค่า ทวินาม.
เมื่อการแจกแจงปกติประมาณการไบนอมิאל จะใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง 0.5
การแทนตัวแปรไม่ต่อเนื่องด้วยตัวแปรต่อเนื่องต้องการการแก้ไขความต่อเนื่อง ±0.5
คุณเข้าใจแล้ว
- $X \sim N(\mu, \sigma^2)$; ทำให้เป็นมาตรฐาน ด้วย $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$
- อ่านความน่าจะเป็นเป็นพื้นที่จากตาราง $\Phi$ สำหรับ $Z \sim N(0,1)$
- ปกติ ประมาณค่า ทวินามสำหรับ $n$ ที่ใหญ่ (ใช้ การแก้ไขความต่อเนื่อง)