การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

จำนวนวิธีการจัดวางหนังสือในชั้นหนังสือ?

• คุณมีหนังสือ 10 เล่ม และต้องการเลือกมาแสดง 3 เล่ม จะทำได้กี่วิธี? หากลำดับสำคัญ คือ การจัดเรียง หาก只是想เลือก 3 เล่มใดๆ คือ การจับคู่
• เทคนิคการนับเป็นรากฐานของความน่าจะเป็น — และปรากฏได้ทุกที่ ตั้งแต่โอกาสรับรางวัลสลากกินแบ่งไปจนถึงความปลอดภัยรหัสผ่าน

การเรียงสับเปลี่ยน (ลำดับมีความสำคัญ)

• การจัดเรียง คือการจัดวางที่ ลำดับสำคัญ: ${}^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$.
• ตัวอย่าง: จัดหนังสือ 3 เล่มจาก 10 เล่ม: ${}^{10}P_3 = \dfrac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

การจัดเรียง: หนังสือ 3 เล่มจัดได้ 3 × 2 × 1 = 6 รูปแบบ

การจับคู่ (ลำดับไม่สำคัญ)

• การจับคู่ คือการเลือกที่ ลำดับไม่สำคัญ: ${}^nC_r = \dbinom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$.
• ตัวอย่าง: เลือกหนังสือ 3 เล่มจาก 10 เล่ม: ${}^{10}C_3 = \dfrac{10!}{3!\,7!} = \dfrac{720}{6} = 120$.

ลำดับสำคัญสำหรับการจัดเรียง แต่ไม่สำคัญสำหรับการจับคู่

การจัดวางที่มีตัวซ้ำ

• เพื่อจัดคำที่มีตัวอักษรซ้ำ ให้หารด้วยแฟกทอเรียลของแต่ละจำนวนครั้งที่ซ้ำ
• ตัวอย่าง: NEEDLESS มี 8 ตัวอักษร ที่มี E ซ้ำ 3 ตัว และ S ซ้ำ 2 ตัว: จำนวนการจัด $= \dfrac{8!}{3!\,2!} = \dfrac{40320}{12} = 3360$.

หลักการคูณ

• หากตัวเลือกหนึ่งทำได้ใน $m$ วิธี และอีกตัวเลือกหนึ่งใน $n$ วิธี ทั้งคู่一起做ได้ใน $m \times n$ วิธี
• ตัวอย่าง: เสื้อ 3 ตัว และกางเกง 4 ตัว → $3 \times 4 = 12$ ชุด

คุณเข้าใจแล้ว