ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

คำศัพท์

English	ไทย
discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/	ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
expectation/ekspɪkˈteɪʃn/	ค่าคาดหมาย
variance/ˈveərɪəns/	ความแปรปรวน
probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	การแจกแจงความน่าจะเป็น
binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	binomial distribution
trial/ˈtraɪəl/	การทดลอง
geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	การแจกแจงเรขาคณิต

ลูกเต๋าที่ไม่ยุติธรรม

ลูกเต๋ายุติธรรมให้แต่ละหน้ามีความน่าจะเป็น $\dfrac{1}{6}$. แต่ถ้าลูกเต๋าไม่ยุติธรรม? แต่ละผลลัพธ์ยังคงมีความน่าจะเป็น แต่ไม่เท่ากันอีกต่อไป.
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง assigns ความน่าจะเป็นให้กับแต่ละผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ — เป็นรากฐานของการสร้างแบบจำลองทางสถิติ.

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ รับค่าแยกต่างหาก แต่ละค่ามีความน่าจะเป็น (ผลรวมเท่ากับ 1).
ค่าคาดหวัง (ค่าเฉลี่ย): $E(X) = \sum x\,P(X = x)$.
ความแปรปรวน: $\text{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2$.

Example

ตัวอย่างคำนวณ. $X$ รับค่า 1, 2, 3 ด้วยความน่าจะเป็น 0.2, 0.5, 0.3. $E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$. $E(X^2) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$. $\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$.

Watch out

ความน่าจะเป็นต้องรวมกันได้ 1. ก่อนจะคำนวณค่าคาดหวังหรือความแปรปรวน ต้องตรวจสอบเสมอว่า $\sum P(X = x) = 1$. ถ้าไม่เป็น如此 แบบกระจายความน่าจะเป็นนั้นไม่ถูกต้อง.

สำรวจ

การแจกแจงแบบไบนอมิאל

X ~ B(n, p)

แต่ละแท่งคือโอกาสของ k ความสำเร็จ เปลี่ยน n และ p และดู ค่าเฉลี่ย np ขยับ

ฝึกฝน

ในตารางการแจกแจงความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นต้องบวกกันได้ 1

ฝึกฝน

X รับค่า 1, 2, 3 ด้วย P = 0.2, 0.5, 0.3 E(X) = ΣxP(X=x) หาค่า

ฝึกฝน

ถ้า E(X) = 2.1 และ E(X²) = 4.9, Var(X) = E(X²) − (E(X))² หาค่า

ฝึกฝน

จับคู่แนวคิดไบนอมิאלแต่ละอย่างกับผลลัพธ์

n p

n p (1 − p)

n การทดลองที่เป็นอิสระeach experiment ความน่าจะเป็นความสำเร็จ p

สองผลลัพธ์: ความสำเร็จหรือล้มเหลว

ค่าเฉลี่ย, E(X)
ความแปรปรวน, Var(X)
B(n, p)
แต่ละการทดลอง

การแจกแจงทวินาม

ทวินาม $X \sim B(n, p)$ — จำนวนความสำเร็จใน $n$ การทดลองที่เป็นอิสระ:
$P(X = r) = \dbinom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$
$E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$.

แต่ละแท่งคือ P(X = r) สำหรับ B(10, 0.3); การแจกแจงสูงสุดที่ค่าเฉลี่ย np = 3.

ฝึกฝน

สำหรับ X ~ B(10, 0.3) E(X) = np คืออะไร?

ฝึกฝน

สำหรับ X ~ B(10, 0.3) Var(X) = np(1−p) คืออะไร?

การแจกแจงเรขาคณิต

เรขาคณิต —序号ของการทดลองสำเร็จครั้งแรก:
$P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$
$E(X) = \dfrac{1}{p}$.

ฝึกฝน

สำหรับการแจกแจงแบบเรขาคณิตด้วย p = 0.2, E(X) = 1/p หาค่า

ตัวอย่างคำนวณ — ทวินาม

$X \sim B(10, 0.3)$. หา $P(X = 2)$ และ $E(X)$.
$P(X = 2) = \dbinom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.0576 = 0.233$.
$E(X) = np = 10 \times 0.3 = 3$.