T.3 · Комплексный анализ и вычеты

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: комплексная арифметика, частные производные, ряды и ориентированные контуры.

• Проверять комплексную дифференцируемость
• Использовать контурные интегралы и вычеты
• Вычислять контурные интегралы с использованием вычетов для полюсов первого и более высокого порядка

аналитическая: Комплексно-дифференцируема во всём окрестности.

вычет: Коэффициент при (z−a)^−1 в разложении Лорана.

Запишите f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Комплексная дифференцируемость накладывает условия u_x=v_y и u_y=−v_x; при наличии непрерывных частных производных первых порядков в локальной области уравнения Коши–Римана обеспечивают аналитичность. Они отличаются от вещественной дифференцируемости отображения двух координат. Сопряжённая функция x−iy не удовлетворяет этим уравнениям ни в какой открытой окрестности, хотя вещественные частные производные существуют. Указывайте проверяемую область, а не только удобный пункт.

Аналитическая функция комплексно-дифференцируема во всём окрестности и имеет локальный сходящийся степенной ряд. Устранимая особая точка может быть аналитически заполнена, если функция ограничена вблизи отсутствующей точки. Полюс имеет конечную главную часть в разложении Лорана; существенная особая точка содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями. Вычет — это коэффициент при (z−a)⁻¹, а не обязательно старший или наибольший член с отрицательной степенью.

Для изолированного полюса порядка m запишите f(z)=g(z)/(z−a)^m, где g аналитична в точке a. Вычет равен g^(m−1)(a)/(m−1)!. Для простого полюса используется g(a); для двойного полюса — g′(a). Это следует из разложения g в ряд Тейлора. Таким образом, e^z/(z−a)² имеет вычет e^a, тогда как постоянный числитель над чистым двойным полюсом даёт нулевой вычет. Порядок полюса сам по себе не определяет значение контурного интеграла.

Для положительно ориентированного контура, охватывающего изолированные особые точки, теорема о вычетах даёт ∮f(z)dz=2πi, умноженное на сумму заключённых вычетов, при условии аналитичности функции на контуре и в остальной части требуемого внутреннего пространства. Изменение ориентации меняет знак. Формула производных Коши: ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! при соблюдении условий аналитической области. Особая точка на контуре препятствует прямому применению; особая точка вне контура не вносит вклада в этот интеграл.

Для f(z)=конъюгат(z) имеем u=x и v=−y. Тогда u_x=1, но v_y=−1, следовательно, f не является комплексно-дифференцируемой. Для 1/(z−2) положительно ориентированная окружность |z−2|=1 охватывает простой полюс с вычетом 1, поэтому интеграл равен 2πi.

Непрерывность или реальная дифференцируемость по отдельности не гарантируют комплексной аналитичности.

Используйте уравнения Коши–Римана для сравнения $z^2$ и $\overline z$. Найдите вычет $e^z/z^2$ в нуле и его интеграл вокруг единичной окружности против часовой стрелки.

Разобранное решение

Для $z^2$, $u=x^2-y^2$ и $v=2xy$: $u_x=2x=v_y$ и $u_y=-2y=-v_x$. Частные производные непрерывны повсюду, поэтому функция аналитична на всей комплексной плоскости. Для $\overline z$, $u=x,v=-y$ и $u_x=1\ne-1=v_y$: она не является комплексно-дифференцируемой ни в одной точке. Поскольку $e^z=1+z+z^2/2+\cdots$, коэффициент при $z^{-1}$ в $e^z/z^2$ равен 1. Следовательно, вычет равен 1, а интеграл — $2\pi i$. Двойной полюс не обязателен для нулевого вычета.

Интегрируйте $1/[z(z-2)]$ по контуру $|z|=1$, сначала против часовой стрелки, затем по часовой. Можно ли применить тот же аргумент с теоремой о вычетах к $|z|=2$?

Проверка после выполнения

Внутри единичной окружности находится только ноль. Его вычет равен $\lim_{z\to0}1/(z-2)=-1/2$. Таким образом, интеграл против часовой стрелки составляет $-\pi i$, а по часовой — $\pi i$. Полюс в точке 2 расположен вне контура и не вносит вклада. Окружность $|z|=2$ проходит через полюс. Обычный контурный интеграл не определён этой формулой; теорема требует аналитичности на контуре. Исключение или метод главных значений потребовали бы другой, явно сформулированной задачи.