A.3 · Группы, косетки и фактор-отображения

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: аксиомы группы, функции, делимость целых чисел и перестановки.

• Проверить структуру группы, вычислить порядки элементов и индексы подгрупп
• Использовать ядра и образы для идентификации факторгрупп
• Различать нормальные подгруппы и произвольные подгруппы
• Классифицировать сопряжение перестановок по типу цикла

косетка: Сдвиг подгруппы, который образует один элемент разбиения на косетки.

нормальная подгруппа: Подгруппа, инвариантная относительно сопряжения любым элементом группы.

Перед вычислением порядка проверьте замкнутость, ассоциативность, наличие нейтрального элемента и обратного элемента для каждого элемента при указанной операции. Подмножество может наследовать ассоциативность, но нарушать замкнутость или не содержать нейтральный элемент. В конечной группе порядок элемента — это наименьшая положительная степень, дающая нейтральный элемент. В аддитивной группе Z/nZ это наименьшее положительное кратное, дающее ноль; порядок остатка a равен n/gcd(a,n). Теорема Лагранжа гласит, что порядок подгруппы делит порядок группы. Обратное утверждение не является общей теоремой существования, а порядок группы не совпадает с порядком каждого её элемента.

Левая косетка gH — это сдвиг подгруппы H. Косетки имеют одинаковый размер и разбивают группу на непересекающиеся множества, поэтому индекс равен |G|/|H| в конечной группе. В аддитивной группе запись имеет вид g+H. Принадлежность одной и той же косетке означает, что разность элементов лежит в H. Косетка обычно сама не является подгруппой, поскольку может не содержать нейтральный элемент.

Гомоморфизм сохраняет операцию. Его ядро состоит из элементов, отображаемых в единицу, а образ — из значений, которые действительно достигаются. Каждое ядро является нормальным подгруппой. Первая теорема об изоморфизме устанавливает соответствие между G/ker(φ) и im(φ); не заменяйте образ всем кодоменом, если отображение не является сюръективным.

Умножение факторгруппы определено корректно только тогда, когда H является нормальной подгруппой. Все подгруппы абелевой группы являются нормальными. В неабелевой группе проверьте gHg^−1=H; подгруппа индекса два является нормальной. Для перестановок применяйте композицию согласно указанной конвенции: здесь правый элемент применяется первым. Длины непересекающихся циклов определяют порядок перестановки через их наименьшее общее кратное. Сопряжение hσh⁻¹ переименовывает элементы в циклах σ, поэтому сохраняет длины циклов; обратно, перестановки с одинаковыми длинами циклов могут быть связаны переименованием. Таким образом, классы сопряженности в S_n соответствуют разбиениям n, включая циклы фиксированных точек. В S4 типы представлены как 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 и 4: всего пять классов, а не один класс для каждого возможного порядка элемента. Типы 2+1+1 и 2+2 оба имеют порядок два, но не являются сопряженными.

Определите phi из Z/12Z в Z/3Z путем приведения остатков по модулю 3. Оно сюръективно и сохраняет сложение. Его ядро H равно {0,3,6,9}, поэтому |H|=4, а индекс составляет 12/4=3. Остальные классы вычета: {1,4,7,10} и {2,5,8,11}. Таким образом, (Z/12Z)/H изоморфно Z/3Z. Элемент 3 в исходной группе имеет порядок 12/gcd(3,12)=4, а не 3.

В факторгруппе один элемент соответствует одному классу вычета, а не одному элементу её ядра. Гомоморфизм не обязательно является сюръективным на указанный кодомен.

В аддитивной группе $\mathbb Z/18\mathbb Z$ пусть $H=\langle6\rangle$. Запишите H и её классы вычета. Определите порядок ⟨6⟩ и укажите факторгруппу.

Разобранное решение

$H=\{0,6,12\}$ имеет размер три. Шесть классов вычета — это $r+H=\{r,r+6,r+12\}$ для ⟨$r=0,1,2,3,4,5$⟩. Они разбивают все 18 вычетов. Элемент ⟨6⟩ имеет порядок три, тогда как факторгруппа имеет порядок шесть. Редукция по модулю шести является сюръекцией с ядром H, следовательно, $(\mathbb Z/18\mathbb Z)/H\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. Нормальность выполняется, поскольку исходная группа абелева.

В $S_3$ пусть $H=\{e,(12)\}$. Проверьте, является ли ⟨$H$⟩ нормальным подмножеством, и решите, определяет ли умножение классов вычета факторгруппу. Отдельно найдите порядок ⟨$(123)(45)$⟩ в ⟨$S_5$⟩.

Проверка после выполнения

Сопряжение через ⟨$(123)$⟩ переводит ⟨$(12)$⟩ в ⟨$(23)$⟩, который находится вне H. Следовательно, H не является нормальным. Левые классы вычета всё ещё разбивают ⟨$S_3$⟩, но умножение этих классов не определено однозначно независимо от представителей. Разложённые циклы в ⟨$(123)(45)$⟩ имеют длины три и два, поэтому его порядок равен $\operatorname{lcm}(3,2)=6$. Порядок элемента и индекс подмножества — это разные величины.