T.1 · Real analysis and topology

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: Квантифицированные высказывания, неравенства, последовательности и непрерывные функции.

• Применить определения пределов последовательностей и функций
• Различать компактность, связность и полноту
• Использовать метрико-пространственные и элементарные топологические рассуждения

компактный: Каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.

супремум: Наименьшая верхняя грань множества.

Утверждение эпсилон–дельта контролирует все достаточно близкие входные значения. Порядок кванторов имеет значение.

В вещественном евклидовом пространстве замкнутые и ограниченные множества являются компактными. Не применяйте это эквивалентность ко всем метрическим пространствам.

Непрерывные образы компактных множеств компактны, поэтому непрерывная функция на компактной области достигает своих экстремумов.

Связность исключает разделение на непересекающиеся непустые открытые части. Непрерывность сохраняет связность; полнота — отдельное свойство.

f(x)=x на (0,1) непрерывна и ограничена, но никогда не принимает своего супремума 1. На [0,1] та же функция достигает максимума в точке 1. Отсутствующая граница объясняет, почему теорема о компактной области неприменима к первому случаю.

Заключение теоремы нельзя использовать до того, как проверены её гипотезы.

Докажите непрерывность $f(x)=x^2$ в точке 2, используя явный выбор эпсилон–дельта. Отдельно объясните, почему она достигает минимума на $[1,3]$.

Разобранное решение

Задано $\epsilon>0$, выберите $\delta=\min(1,\epsilon/5)$. Если $|x-2|<\delta$, то $1<x<3$, следовательно $|x+2|<5$.

Выбор зависит от эпсилон, а не от последующего входа x. Интервал $[1,3]$ непуст и компактен в обычном вещественном метрическом пространстве. Непрерывность гарантирует достижение экстремумов. Здесь $x^2\ge1$, с равенством при 1, поэтому минимум составляет 1.

В метрическом пространстве $X=(0,1)$ с обычной метрикой является ли X ограниченным? Является ли оно замкнутым в самом себе? Является ли оно компактным или полным? Объясните, почему «замкнутое и ограниченное влечет компактность» здесь неприменимо.

Проверка после выполнения

X ограничено и замкнуто относительно самого себя, поскольку его дополнение в X пусто. Последовательность Коши $1/(n+2)$ не имеет предела в X, поэтому X не является полным и, следовательно, не компактным как метрическое пространство. Непосредственно, относительное открытое покрытие $\{(1/n,1):n\ge2\}$ покрывает X, но не имеет конечного подпокрытия. Теорема Гейне–Бореля требует замкнутости и ограниченности как подмножества евклидова пространства, а не просто замкнутости в произвольно выбранном пространстве. X не является замкнутым в $\mathbb R$. Никакая гипотеза теоремы не может изменять свое окружающее пространство посреди доказательства.