Сначала выберите модель подсчёта: упорядоченные выборки r различных объектов из n используют формулу n(n−1)⋯(n−r+1), а неупорядоченные подмножества — C(n,r). Полный простой граф на n вершинах имеет по одному ребру для каждой пары вершин, что даёт n(n−1)/2 рёбер; петли и кратные рёбра изменили бы модель. Для n прямых в общем положении на плоскости k-я прямая пересекает предыдущие k−1 прямых в различных точках и добавляет k областей. Общее число равно 1+n(n+1)/2; параллельные прямые или троекратное пересечение нарушают это количество.
Используйте дополнения для подсчёта хотя бы одного появления и условите вероятность на фактическое оставшееся население после выборки без возвращения. Для r независимых одинаково распределённых исходов, выбранных из n равновозможных значений, вероятность того, что все они различны, составляет n(n−1)⋯(n−r+1)/n^r при r≤n. Её дополнение считает повторяющиеся исходы. Для биномиального числа при N независимых испытаниях и фиксированной вероятности успеха p математическое ожидание равно Np, а дисперсия — Np(1−p). Равенство вероятностей само по себе не устанавливает независимость.
Рекуррентное соотношение описывает последующие значения через предыдущие и требует достаточного количества начальных данных для определения последовательности. Разделите индекс от значения: a_n=2a_(n−1) при a_0=3 даёт a_n=3·2^n. Графовые и алгоритмические рассуждения часто устанавливают рекуррентное соотношение, определяя, что новый вершина или шаг добавляют. Закрытая формула должна удовлетворять как рекуррентному соотношению, так и начальным условиям; подгонка нескольких наблюдаемых членов не доказывает её для каждого индекса.
Численное приближение требует обоснования погрешности. Метод половинного деления сохраняет скобку со сменой знака для непрерывной функции и уменьшает её ширину вдвое на каждом шаге; корень может отсутствовать, если функция не является непрерывной. Итерация Ньютона: x_new=x−f(x)/f′(x), требует ненулевого производной в текущей точке; сходимость не гарантирована автоматически из любой начальной точки. Остаточная величина приближения и его ошибка по x — это разные вещи. Указывайте предположения метода и критерий остановки, а не treats лишние отображаемые десятичные разряды как точность.
