C.1 · Одновариабельный анализ и его приложения

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: Точная алгебра, тригонометрия в радианах, функции и неравенства.

• Использовать пределы, непрерывность и дифференцируемость
• Применять производные, интегралы и основную теорему
• Распознавать суммы Римана и отличать их от бесконечных рядов

непрерывность: Совпадение значения функции с ее пределом.

сходимость: Приближение к конечному предельному значению.

Предел описывает значения вблизи точки, не требуя определения функции в ней. Непрерывность добавляет требование существования значения функции и его совпадения с пределом. Алгебраическое сокращение верно только вне сокращенного нуля, но может раскрыть устранимый предел. Односторонние пределы должны совпадать для двустороннего предела. Для пределов частного проверьте знаменатель и гипотезы перед применением правила; 0/0 — неопределенная форма, а не ответ.

Производная — это предел разностных отношений и подразумевает непрерывность; обратное неверно, как показывает |x| в нуле. Правила произведения, частного и сложной функции описывают различные структуры: производная f(g(x)) равна f′(g(x))g′(x), а не произведению несвязанных значений. Дифференцирование композиции во второй раз обычно дает два члена. Проверяйте области определения, ненулевые знаменатели и предположения о дифференцируемости перед использованием символьного выражения как производной.

Основная теорема гласит, что производная ∫ от a до x от непрерывного подынтегрального выражения f(t) равна f(x). С переменной верхней границей h(x) умножьте на h′(x); с двумя переменными границами вычтите соответствующий вклад нижней границы. Определенный интеграл также возникает как предел сумм Римана. Перепишите сумму как (1/n)Σf(k/n) перед идентификацией интеграла на [0,1], вместо того чтобы рассматривать зависящие от n члены как константы.

Например, Σ от k=1 до n от n/(n²+k²) равно (1/n)Σ1/(1+(k/n)²), стремясь к ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. Этот предел использует непрерывность и ширину разбиения 1/n. Ряд по неограниченному числу членов — это другой предел: стремление членов к нулю само по себе не гарантирует сходимость. Для Σ1/k частичные суммы расходятся; сравните, оцените или примените корректный признак сходимости ряда вместо использования необходимого условия члена как достаточного.

Для F(x)=интеграл от 0 до x² от e^t dt фундаментальная теорема и правило сложной функции дают F′(x)=e^(x²)·2x. При x=1 значение F′(1)=2e. Верхний предел равен x², поэтому пропуск множителя 2x означает упущенную скорость изменения.

Математический анализ уровня A-level является полезным предварительным материалом, но не охватывает математический анализ и приложения, проверяемые на уровне вуза.

Пусть $F(x)=\int_x^{x^2}(1+t^2)\,dt$. Найдите $F'(x)$ и $F'(2)$. Укажите, почему теорема применима.

Разобранное решение

Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой. К обоим границам применимы основная теорема математического анализа и правило дифференцирования сложной функции:

Независимо, первообразная равна $t+t^3/3$. Следовательно, $F=x^2+x^6/3-x-x^3/3$, имеющий ту же производную.

Найдите $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k/(n^2+k^2)$. Объясните, почему это предел суммы Римана. Затем определите, сходится ли $\sum_{k=1}^{\infty}1/k$.

Проверка после выполнения

Представьте каждый член в виде $\frac1n\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$. Непрерывная функция $f(t)=t/(1+t^2)$ на $[0,1]$ и сетка $1/n$ дают

Гармонический ряд расходится: блок от $2^{j-1}+1$ до $2^j$ содержит не менее $2^{j-1}$ членов, каждый из которых не меньше $1/2^j$, поэтому каждый блок добавляет не менее $1/2$. Стремление членов к нулю является необходимым, но недостаточным условием. Подынтегральная функция конечной суммы здесь зависит от масштабированного индекса; это не гармонический ряд.