A.1 · Линейная алгебра

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: Линейные уравнения, умножение матриц, многочлены и комплексные корни.

• Связывать ранг, дефект и решения линейных систем
• Анализировать векторные пространства и линейные преобразования
• Вычислять собственные значения, определители и условия диагонализируемости

ранг: Размерность образа линейного отображения.

собственное значение: Скаляр, удовлетворяющий условию Av=λv для ненулевого v.

Действительное векторное пространство замкнуто относительно заданного сложения и умножения на скаляр и удовлетворяет аксиомам векторного пространства. Базис — это независимый порождающий список: каждый вектор имеет единственное представление координат в этом списке. Для проверки независимости столбцов матрицы решите однородную систему Ac=0; только нулевой вектор коэффициентов означает независимость. Порождающее множество может содержать избыточные векторы, поэтому одного лишь порождающего свойства недостаточно для базиса.

Приведение к ступенчатому виду выявляет опорные элементы и свободные переменные без изменения множества решений линейной системы. Ранг — это размерность образа столбцов, эквивалентно числу опорных элементов. Дефект (нуль- ранг) — это размерность ядра: для отображения из n-мерной области ранг плюс дефект равно n. В неоднородной системе строка с нулевыми коэффициентами при nonzero правой части означает несоответствие; свободные переменные дают бесконечно много решений только после установления совместности. Размерность кообласти не обязательно равна рангу.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля, ядро тривиально, а ранг равен размеру матрицы. Эти утверждения не требуют, чтобы каждый элемент был ненулевым. Определители треугольных матриц равны произведению диагональных элементов, поэтому матрица, зависящая от комплексной переменной, может быть вырожденной в комплексных корнях, отсутствующих в вычислениях только по действительным числам. Обмен строк меняет знак определителя; прибавление кратной одной строки другой не изменяет его. Проверяйте вырожденность перед применением формулы обратной матрицы.

Собственный вектор ненулевой и удовлетворяет Av=λv, поэтому собственные значения являются корнями det(A−λI). Диагонализируемость требует полного независимого базиса собственных векторов над выбранным полем. Различные собственные значения дают независимые собственные векторы, тогда как кратные собственные значения могут иметь слишком малое собственное подпространство. Действительная симметричная матрица обладает действительным ортонормированным базисом собственных векторов. Действительная матрица нечетной размерности имеет хотя бы одно действительное собственное значение, поскольку её действительный характеристический многочлен имеет нечетную степень; однако этого самого факта недостаточно для диагонализируемости или того, чтобы все собственные значения были действительными.

Матрица A=[[1,1],[0,1]] имеет характеристический многочлен (1−λ)². Собственные векторы удовлетворяют условию y=0, поэтому её собственное подпространство имеет размерность один. Для диагонализуемой матрицы размера 2×2 необходимо два линейно независимых собственных вектора; A не диагонализируема.

Алгебраическая кратность собственного значения не является автоматически равной размерности его собственного подпространства.

Для $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ с $T(x,y,z)=(x+2y+z,2x+4y+2z)$ найдите базисы ядра и образа. Решите $T(v)=(3,6)$ и $T(v)=(3,7)$.

Разобранное решение

Вторая строка вдвое больше первой, поэтому ранг равен единице. Однородное уравнение дает $x=-2y-z$.

Два представленных вектора независимы. Каждый образ равен $(s,2s)$, и $(1,2)$ встречается; это базис образа. Ранг плюс дефект равен $1+2=3$, размерности области определения. Для $(3,6)$ все решения равны $(3-2a-b,a,b)$, при $a,b\in\mathbb R$. Для $(3,7)$ решений нет, поскольку $7\ne2\cdot3$.

Пусть $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$. Найдите собственные значения, определитель и диагонализацию над полями $\mathbb R$ и $\mathbb C$. Вычислите $A^n$ для целых $n\ge1$ без повторного перемножения.

Проверка после выполнения

Характеристический многочлен равен $(2-\lambda)^2$ и $\det A=4$. Решение уравнения $(A-2I)v=0$ даёт $v_2=0$, поэтому собственное подпространство имеет размерность один над каждым из полей. Требуется два линейно независимых собственных вектора; матрица обратима, но не диагонализируема ни над одним из полей. Представьте выражение $A=2I+N$ в виде суммы, где $N^2=0$. Разложение бинома с перестановкой множителей содержит лишь два члена:

Умножив это выражение на $A$, получаем формулу из $n+1$, что независимо подтверждает значение коэффициента.