C.2 · Многомерный анализ и векторный анализ

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Необходимые знания: производные функций одной переменной, скалярное произведение и повторные интегралы.

• Вычислять частные производные, градиенты и производные по направлению
• Использовать кратные интегралы и замену координат
• Применять условия дифференцируемости для различения плоскостей и кривых поверхностей

градиент: Вектор частных производных.

Якобиан: Местный коэффициент масштабирования площади или объема при замене координат.

Частная производная меняет одну координату, фиксируя остальные. Для f=x²+3xy имеем f_x=2x+3y и f_y=3x. Градиент объединяет эти производные; если f дифференцируема, то производная по направлению единичного вектора v равна grad f·v. Перед вычислением скалярного произведения необходимо нормировать направление. Использование вектора направления длиной два без нормирования удвоит результат.

Дифференцируемость означает существование корректной линейной аппроксимации, а не просто наличие некоторых частных производных в одной точке. Непрерывность первых частных производных в окрестности является достаточным условием. Для композиции f(x(t),y(t)) правило дифференцирования сложной функции дает f_x x′+f_y y′. Вторые производные могут включать как прямые, так и смешанные слагаемые; равенство нулю смешанной производной не накладывает ограничений на чистые вторые производные.

Кратный интеграл суммирует вклады по заданной области. Опишите область перед выбором повторных пределов; неравные прямоугольные границы могут измениться при перестановке порядка интегрирования. В полярных координатах элемент площади равен r dr dtheta, а не просто dr dtheta. При общей замене координат используется абсолютное значение якобиана. Знак относится к ориентированным векторным величинам, тогда как масштабирование площади и объема использует неотрицательный множитель.

Если обе первые частные производные глобально определенной функции на R² постоянны (f_x=a и f_y=b), последовательное интегрирование дает f=ax+by+c — плоскость. Это нельзя вывести только из параллельных прямых линий уровня: e^x имеет вертикальные параллельные линии уровня, но кривой график. Равенство f_xy=f_yx=0 также не гарантирует плоскость: контрпримером служит x²+y². Различайте постоянство первых производных, отсутствие смешанной зависимости и форму выбранных линий уровня.

Для f(x,y)=x²+3y² градиент f=(2x,6y). В точке (1,1) он равен (2,6). В направлении (3,4) единичный вектор составляет (3/5,4/5), что даёт направленную производную 2·3/5+6·4/5=6.

Не единичный вектор направления дает масштабированную скоростную характеристику направления, а не производную на единицу расстояния.

Для $f(x,y)=x^2+xy+2y^2$ найдите производную по направлению в точке $(1,-1)$ в сторону $(3,4)$. Вычислите $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ по единичному диску $D$.

Разобранное решение

Многочлен дифференцируем. Нормируйте направление: $u=(3/5,4/5)$. Градиент равен $(2x+y,x+4y)$, следовательно, $(1,-3)$ в данной точке.

Полярные координаты дают $x^2+y^2=r^2$ и $dA=r\,dr\,d\theta$:

Определите $g(x,y)=xy/\sqrt{x^2+y^2}$ вне начала координат и $g(0,0)=0$. Обе частные производные в начале координат равны нулю. Является ли $g$ дифференцируемым в этой точке? Непрерывно ли оно?

Проверка после выполнения

Вдоль каждой оси $g=0$, поэтому обе частные производные равны нулю. Непрерывность следует из $|xy|\le(x^2+y^2)/2$, которое дает $|g(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}/2\to0$. Если функция дифференцируема, ее линейная производная была бы равна нулю. Вдоль $x=y=t\ne0$,

Требуемое отношение остатка не стремится к нулю. Таким образом, непрерывность и существование частных производных не гарантируют дифференцируемость.