A.2 · Абстрактная алгебра и теория чисел

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: целочисленная арифметика, множества, функции и доказательство методом контрпримера.

• Использовать группы, подгруппы, гомоморфизмы и фактор-структуры
• Различать кольца, области целостности и поля
• Применять делимость, сравнения и элементарную теорию чисел

гомоморфизм: Отображение, сохраняющее соответствующую операцию.

поле: Коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Группа требует замкнутости, ассоциативности, наличия нейтрального элемента и обратимости каждого элемента. Коммутативность — дополнительное условие.

Гомоморфизм сохраняет операцию. Его явром является нормальная подгруппа, определяющая элементы, отображаемые в нейтральный элемент.

В поле возможно деление на любой ненулевой элемент. Целые числа образуют кольцо, но не являются полем.

Работайте со сравнениями по модулю n. У остатка a есть мультипликативный обратный элемент тогда и только тогда, когда gcd(a,n)=1.

По модулю 8, 3 имеет обратный элемент 3, потому что 3·3=9≡1. Но 2 не имеет обратного элемента, так как gcd(2,8)=2. По модулю простого числа каждый ненулевой вычет имеет обратный элемент; это образует конечное поле.

Не сокращайте множитель в модульном уравнении без проверки его обратимости.

Сравните аддитивные группы и мультипликативные структуры колец $\mathbb Z/5\mathbb Z$ и $\mathbb Z/6\mathbb Z$. Перечислите все мультипликативные единицы в каждом. Объясните, почему удаление нуля не всегда приводит к образованию мультипликативной группы.

Разобранное решение

Оба множества вычетов образуют аддитивные группы: замыкание, ассоциативность и нейтральный элемент следуют из сложения целых чисел, а $-a$ является аддитивным обратным. Вычет является обратимым именно тогда, когда его наибольший общий делитель с модулем равен единице. Обратимые вычеты по модулю пять — это $1,2,3,4$; по модулю шесть — это $1,5$. По модулю шесть $2\cdot3=0$ получается при умножении двух ненулевых элементов. Множество ненулевых элементов даже не замкнуто относительно умножения. По модулю пять каждый ненулевой вычет имеет обратный; это кольцо является полем. Кольцо, его аддитивная группа и группа обратимых элементов — это различные структуры.

Отображение приведения $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$ задаётся правилом $\phi(n)=[n]$. Определите его ядро, образ и фактор-кольцо. Решите сравнение $2x\equiv2\pmod6$ полностью и объясните, почему сокращение 2 по модулю 6 невозможно.

Проверка после выполнения

Отображение сохраняет сложение и умножение. Его ядро $6\mathbb Z$, а образ — все шесть остатков. Факторизация идентифицирует целые числа с одинаковыми остатками, поэтому $\mathbb Z/\ker\phi\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. Конгруэнтность означает $6\mid2(x-1)$, что эквивалентно $3\mid x-1$. Следовательно $x\equiv1\pmod3$, давая остатки $1$ и $4$ по модулю six. Оба подстановки верны. Сокращение 2 при сохранении модуля six привело бы к потере 4; у 2 нет мультипликативного обратного элемента там.