Абстрактная алгебра и теория чисел
Введено| English | Значение |
|---|---|
| field/fiːld/ | поле |
| homomorphism/ˈhɒməmɔːfɪzəm/ | гомоморфизм |
Решение перед ответом
- Ненулевой элемент может не иметь мультипликативного обратного. Арифметика целых чисел и арифметика поля подчиняются различным правилам.
- Ваша цель: Использовать группы, подгруппы, гомоморфизмы и факторструктуры.
Прочитайте соотношение
- Группа требует замкнутости, ассоциативности, наличия тождественного элемента и обратных элементов. Коммутативность является дополнительным условием.
- Различайте кольца, области целостности и поля.
The integers under addition form:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Addition has identity 0 and inverse −a.
Используйте определяющее правило
- Гомоморфизм сохраняет операцию. Его ядро является нормальной подгруппой и идентифицирует элементы, отображаемые в тождественный элемент.
- Применяйте делимость, сравнения и элементарную теорию чисел.
Which has an inverse modulo 9?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
gcd(2,9)=1; its inverse is 5.
Проверьте условия
- Поле допускает деление на любой ненулевой элемент. Целые числа образуют кольцо, но не поле.
- Применяйте делимость, сравнения и элементарную теорию чисел.
По модулю 8, 3 имеет обратный элемент 3, потому что 3·3=9≡1. Но 2 не имеет обратного элемента, так как gcd(2,8)=2. По модулю простого числа каждый ненулевой вычет имеет обратный элемент; это образует конечное поле.
The remainder when 17 is divided by 5 is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
17=3×5+2.
Применяйте формат задания
- Работа с конгруэнциями по модулю n. Резидуум a имеет мультипликативный обратный элемент тогда и только тогда, когда gcd(a,n)=1.
- Применяйте делимость, сравнения и элементарную теорию чисел.
Не сокращайте множитель в модульном уравнении без проверки его обратимости.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Использовать группы, подгруппы, гомоморфизмы и фактор-структуры
Every nonzero residue modulo a composite number has an inverse.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A residue sharing a factor with the modulus is not invertible.
Сохраняйте различия
- гомоморфизм — Отображение, сохраняющее соответствующую операцию.
- поле — Коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный.
- Использование групп, подгрупп, гомоморфизмов и факторструктур.
- Различайте кольца, области целостности и поля.
- Применяйте делимость, сравнения и элементарную теорию чисел.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.