C.3 · Дифференциальные уравнения и начальные условия

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: Дифференцирование, интегрирование, экспоненты и квадратные уравнения.

• Решать уравнения с разделяющимися переменными первого порядка
• Решать линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
• Использовать начальные условия и условия единственности

начальное условие: Значение решения или производной, заданное в начальной точке.

характеристический корень: Корень многочлена, определяющего экспоненциальные решения.

Для y′=ky разделение переменных и интегрирование дают y=Ce^(kt); нулевое решение восстанавливается, если деление на y было допущено. Начальное значение определяет C.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами решается через характеристический многочлен. Различные корни дают показательные функции; кратный корень требует вида (C1+C2t)e^(rt).

Комплексные корни α±iβ дают e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). Действительное движение содержит информацию как об амплитуде, так и о фазе.

Существование и единственность зависят от гипотез в окрестности начальной точки. Сингулярный коэффициент или нарушение локального условия Липшица могут опровергнуть привычный вывод о единственности.

Решите y″+4y=0 при y(0)=3 и y′(0)=4. Корни характеристического уравнения ±2i, поэтому y=A cos2t+B sin2t. Первое условие дает A=3; дифференцируя, получаем y′(0)=2B=4, откуда B=2.

Кратный корень характеристического уравнения требует множителя t; две копии одной экспоненты не являются независимыми решениями.

Решите $y''-4y'+4y=0$ при заданных $y(0)=1$, $y'(0)=0$. Проверьте оба начальных условия и само уравнение.

Разобранное решение

Характеристический многочлен равен $(r-2)^2$. Независимые решения — $e^{2t}$ и $te^{2t}$, следовательно, общее решение имеет вид $y=(C_1+C_2t)e^{2t}$. Начальное значение даёт $C_1=1$; производная в нуле даёт $2C_1+C_2=0$, поэтому $C_2=-2$.

Подстановка дает $y''-4y'+4y=0$, и оба начальных значения верны. Два копирования $e^{2t}$ не породили бы пространство решений.

Докажите, что задача Коши $y'=2\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$ имеет более одного решения для $t\ge0$. Укажите отсутствующую стандартную гипотезу единственности.

Проверка после выполнения

Одно решение тождественно равно нулю. Для любого $a\ge0$, подставьте $y_a(t)=0$ вместо $0\le t\le a$ и $y_a(t)=(t-a)^2$ вместо $t>a$. Производная равна нулю на первом интервале и $2(t-a)$ на втором; обе стороны имеют нулевую производную в точке a. Следовательно, $y_a$ дифференцируем и удовлетворяет уравнению и начальным условиям. Правая часть непрерывна, но не является локально липшицевой по y в нуле: $|2\sqrt h-0|/|h|=2/\sqrt h$ неограничена. Существование решения не означает его единственности, а деление на $\sqrt y$ привело бы к потере решений с задержкой.