A.4 · Кольца, идеалы и модули

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: Кольца, поля, аддитивные подгруппы и гомоморфизмы.

• Различать обратимые элементы, делители нуля и области целостности
• Идентифицировать идеалы и интерпретировать факторкольца
• Сравнивать модули над кольцами с векторными пространствами над полями
• Выводить свойства булевых колец без предположения о коммутативности

идеал: Аддитивная подгруппа кольца, поглощающая умножение на все элементы кольца.

торсионный элемент: Элемент аннигилируется ненулевым скаляром в указанном модуле.

Для примеров области, идеала и факторкольца ниже используйте коммутативное кольцо с единицей 1, отличное от 0. Исходная задача может указывать общее кольцо; не предполагайте коммутативность умножения, если это не указано или не доказано. Обратимый элемент имеет мультипликативный обратный. Ненулевой делитель нуля умножает некоторый ненулевой элемент в ноль. Область целостности не содержит таких делителей нуля; тогда работает сокращение ненулевого множителя. Поле — это область, в которой каждый ненулевой элемент является обратимым. Z является областью, но не полем; Z/6Z не является ни тем, ни другим.

Идеал I — это аддитивная подгруппа, которая поглощает умножение на каждый элемент кольца. Это условие строже, чем быть подкольцом. В Z идеалом является nZ; элементы факторкольца — это классы вычетов целых чисел по модулю n. В коммутативном кольце R/I является полем тогда и только тогда, когда I максимален, и является областью целостности тогда и только тогда, когда I прост. В обоих утверждениях идеал должен быть собственным.

Модуль допускает скаляры из кольца вместо требования поля. Каждая абелева группа является Z-модулем путём повторного сложения, но она не обязательно имеет базис векторного пространства. В Z/6Z как Z-модуле ⟨6⟩ умножить ненулевой вычет ⟨1⟩ даёт ноль; это торсион. Для векторного пространства над полем ненулевой скаляр обратим и не может аннулировать ненулевой вектор.

Подмодуль замкнут относительно сложения и всех разрешённых скалярных действий. Линейное отображение модулей сохраняет оба свойства. Ядро и образ являются подмодулями, а факторгруппа по ядру изоморфна образу. Не применяйте конечномерную теорему ранга и дефекта к произвольному модулю без установления соответствующего свободного-модульного контекста; целочисленные строковые преобразования и полевые строковые преобразования допускают различные деления. В общем булевом кольце каждый a удовлетворяет a²=a. Не полагайтесь на коммутативность для доказательства: идempotность a+a даёт ⟨4⟩a=2a, следовательно, ⟨2⟩a=0. Раскрыв (a+b)²=a+b получаем ab+ba=0, а характеристика два делает −ba=ba; поэтому ab=ba. Идempotность не означает nilpotence: в F2 ненулевой элемент ⟨1⟩ удовлетворяет ⟨1⟩^n=1 для любого положительного n.

В Z/6Z, 2·3=0, поэтому 2 и 3 — делители нуля. Единичными элементами являются 1 и 5, так как их gcd с 6 равен 1. В Z идеал ⟨5⟩Z порождает поле Z/5Z, а ⟨6⟩Z дает факторкольцо с делителями нуля. Как Z-модули, отображение из Z в Z/6Z имеет ядро ⟨6⟩Z; фактор кольцо идентифицирует целые числа, отличающиеся на кратное ⟨6⟩, вместо того чтобы образовывать вещественное векторное пространство.

Множество может быть подмодулем, не являясь векторным пространством над рациональными числами. Деление на скаляр корректно только тогда, когда обратный скаляр принадлежит данной структуре.

В ⟨$\mathbb Z/12\mathbb Z$⟩ запишите единицы и ненулевые делители нуля. Является ли идеал ⟨$(4)$⟩ простым или максимальным?

Разобранное решение

Единицами являются вычеты, взаимно простые со 12: $1,5,7,11$. Остальные ненулевые вычеты $2,3,4,6,8,9,10$ являются делителями нуля. Для каждого такого a, $a\cdot(12/\gcd(a,12))=0$ по модулю 12, при этом второй множитель отличен от нуля. Идеал $(4)=\{0,4,8\}$ дает фактор-кольцо, изоморфное $\mathbb Z/4\mathbb Z$. Это не область целостности, поскольку $2\cdot2=0$, и это не поле. Следовательно, идеал не является ни простым, ни максимальным.

Как $\mathbb Z$-модуль, может ли ⟨$\mathbb Z/6\mathbb Z$⟩ быть свободным? Сравните идеалы ⟨$(2)$⟩ и ⟨$(x)$⟩ в ⟨$\mathbb Z$⟩ и ⟨$\mathbb Q[x]$⟩ соответственно, используя их факторгруппы.

Проверка после выполнения

Ненулевой свободный $\mathbb Z$-модуль не имеет ненулевого вектора, аннулированного ненулевым целым числом: проверьте каждую координату целого числа. Но ⟨$6[1]=0$⟩ в ⟨$\mathbb Z/6\mathbb Z$⟩. Он не является свободным; аргумент с базисом в стиле поля невалиден. $\mathbb Z/(2)\cong\mathbb F_2$ — поле, следовательно, ⟨$(2)$⟩ максимально и просто. Отображение оценки в нуле переводит ⟨$\mathbb Q[x]$⟩ на ⟨$\mathbb Q$⟩ с ядром ⟨$(x)$⟩; его факторгруппа также является полем. Оба аргумента используют собственные идеалы в коммутативных кольцах с единичным элементом.