A.5 · Многочлены и расширения полей

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: деление многочленов, поля и размерность векторного пространства.

• Проверить неприводимость многочлена над заданным полем
• Построить малые конечные поля из неприводимых многочленов
• Использовать степени расширения и теорему о башне
• Использовать корни Фибоначчи и соотношения коэффициентов для вычисления сумм и произведений

неприводимый многочлен: Многочлен положительной степени, который не раскладывается на множители меньшей положительной степени над указанным полем.

степень расширения: Размерность поля расширения как векторного пространства над базовым полем.

Многочлен неприводим над полем, если он имеет положительную степень и не раскладывается на многочлены меньшей положительной степени там. Квадратичный или кубический многочлен неприводим тогда и только тогда, когда у него нет корня в этом поле. Этот тест на наличие корня недостаточен для степеней четыре и выше; например, (x²+1)(x²+2) не имеет действительных корней, но приводимо над R. Всегда называйте базовое поле.

Факторкольцо F[x]/(p) является полем, когда p неприводимо. Сокращайте степени, используя p(alpha)=0, где alpha — класс вычета x. Если F содержит q элементов, а p имеет степень d, то факторкольцо содержит q^d элементов, представленных многочленами степени ниже d. Z/4Z содержит четыре элемента, но имеет делители нуля, поэтому это не поле из четырех элементов.

Над полем F2, p(x)=x²+x+1 принимает значения 1 в точках 0 и 1 и является неприводимым. В его факторкольце α²=α+1, поскольку вычитание равносильно сложению в характеристике два. Четыре элемента: 0,1, α, α+1. Все три ненулевых элемента должны быть обратимыми; вычисляйте их произведения, а не рассматривайте α как обычное вещественное число.

Для вложенных конечных расширений K ⊂ L ⊂ M теорема о башне дает [M:K]=[M:L][L:K]. Степень алгебраического элемента равна степени его минимального многочлена. Конечное расширение степени два не содержит элемента степени три над базовым полем. Над Q, sqrt(2) имеет степень два; присоединение sqrt(3) также порождает расширение степени четыре, поскольку sqrt(3) не принадлежит Q(sqrt(2)). Над C, примитивные корни n-й степени из единицы имеют точный порядок n и являются корнями циклотомического многочлена Φ_n. Для n=10, разделим x⁵+1 на x+1, чтобы исключить корень порядка два −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. Формулы Виета дают сумму 1 и произведение 1 его четырех примитивных корней. Не суммируйте все десятые корни или не предполагайте, что каждый нетривиальный десятый корень примитивен; порядок корня необходимо проверить. Для монического многочлена степени d произведение его корней равно (−1)^d, умноженному на свободный член.

В F2[alpha] при условии alpha²+alpha+1=0, умножим alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. Следовательно, alpha^−1=alpha+1. Также alpha³=1 и alpha ≠ 1, поэтому его мультипликативный порядок равен 3. Это порождает поле с четырьмя элементами. Напротив, в Z/2Z выполняется 2·0=4, что доказывает, что данный фактормодуль не является полем.

Приводимость многочлена меняется вместе с полем коэффициентов. Многочлен x²−2 неприводим над Q, но распадается над R.

Постройте $\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)$. Перечислите его элементы и найдите обратный элемент к вычету $\alpha=[x]$.

Разобранное решение

Квадратичная функция принимает значение один на обоих элементах $\mathbb F_2$, поэтому она не имеет корней и является неприводимой. Её факторкольцо — поле. При делении остаток имеет степень ниже двух: $0,1,\alpha,1+\alpha$. Связь в характеристике два: $\alpha^2=\alpha+1$. Следовательно $\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$, значит $\alpha^{-1}=\alpha+1$. Это не $\mathbb Z/4\mathbb Z$, которое содержит ненулевой делитель нуля.

Является ли $x^4+4$ неприводимым над $\mathbb Q$? Отвечает ли отсутствие рациональных корней на этот вопрос? Может ли расширение степени два от $\mathbb Q$ содержать корень неприводимого кубического полинома над $\mathbb Q$?

Проверка после выполнения

Прямое умножение даёт $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$, следовательно, он приводим над $\mathbb Q$, несмотря на отсутствие вещественных, а значит, и рациональных корней. Тест отсутствия корней характеризует неприводимость только для степеней два или три над полем. Если несократимый кубический корень $\beta$ принадлежал бы расширению L степени два, то $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\beta)\subset L$ и теорема о башне привели бы к тому, что 3 делит 2. Это невозможно. Вывод основан на несократимости, а не просто на наличии кубического уравнения.