Многочлены и расширения полей
Введено| English | Значение |
|---|---|
| irreducible polynomial/ɪrɪˈdjuːsɪbl ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | неприводимый многочлен |
| extension degree/ekˈstenʃn dɪˈɡriː/ | степень расширения |
Решение перед ответом
- Поле с четырьмя элементами не использует арифметику по модулю 4. Оно требует нового элемента, удовлетворяющего полиномиальному соотношению.
- Ваша цель: Проверить неприводимость многочлена над указанным полем.
Прочитайте соотношение
- Многочлен неприводим над полем, если его степень положительна и он не раскладывается на многочлены меньшей положительной степени. Квадратный или кубический многочлен неприводим тогда и только тогда, когда у него нет корня в этом поле. Этот тест по корням недостаточен для степеней четыре и выше; например, (x²+1)(x²+2) не имеет действительных корней, но приводим над R. Всегда указывайте базовое поле.
- Конструируйте малые конечные поля из неприводимых многочленов.
Which polynomial is irreducible over F2?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The quadratic x²+x+1 has no root among 0 and 1. The others factor as x·x, (x+1)², x(x+1) and x²(x+1), respectively, over F2.
Используйте определяющее правило
- Фактормодуль F[x]/(p) является полем, когда p неприводим. Упрощайте степени, используя p(alpha)=0, где alpha — класс вычета x. Если F содержит q элементов, а p имеет степень d, то фактормодуль содержит q^d элементов, представляемых многочленами степени ниже d. Z/4Z имеет четыре элемента, но содержит делители нуля, поэтому это не поле с четырьмя элементами.
- Используйте степени расширения и теорему о башне.
If [L:K]=3 and [M:L]=2, what is [M:K]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The tower law multiplies finite degrees, giving 2 times 3=6.
Проверьте условия
- Над F2, p(x)=x²+x+1 принимает значение 1 как при x=0, так и при x=1, и является неприводимым. В его фактормодуле alpha²=alpha+1, поскольку вычитание равносильно сложению в характеристике два. Четыре элемента: 0,1, alpha, alpha+1. Все три ненулевых элемента должны быть единицами; вычисляйте их произведения, а не рассматривайте alpha как обычный вещественный число.
- Используйте циклотомические корни и связи коэффициентов для вычисления сумм и произведений.
В F2[alpha] при условии alpha²+alpha+1=0, умножим alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. Следовательно, alpha^−1=alpha+1. Также alpha³=1 и alpha ≠ 1, поэтому его мультипликативный порядок равен 3. Это порождает поле с четырьмя элементами. Напротив, в Z/2Z выполняется 2·0=4, что доказывает, что данный фактормодуль не является полем.
In the field F2[alpha] above, alpha³ equals ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
alpha²=alpha+1 gives alpha³=alpha²+alpha=1.
Применяйте формат задания
- Для вкладывающихся конечных расширений K ⊂ L ⊂ M теорема о башне дает [M:K]=[M:L][L:K]. Степень алгебраического элемента равна степени его минимального многочлена. Конечное расширение степени два не содержит элемента степени три над базовым полем. Над Q, sqrt(2) имеет степень два; присоединение также sqrt(3) порождает расширение степени четыре, так как sqrt(3) не содержится в Q(sqrt(2)). Над C примитивные корни nth степени из единицы имеют точный порядок n и являются корнями циклотомического многочлена Φ_n. Для n=10, разделим x⁵+1 на x+1, чтобы исключить корень порядка два −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. Формулы Виета дают сумму 1 и произведение 1 четырех его примитивных корней. Не суммируйте все десятые корни или не предполагайте, что любой нетривиальный десятый корень является примитивным; порядок каждого корня должен быть проверен. Для монического многочлена степени d произведение его корней равно (−1)^d, умноженному на свободный член.
- Используйте циклотомические корни и связи коэффициентов для вычисления сумм и произведений.
Приводимость многочлена меняется вместе с полем коэффициентов. Многочлен x²−2 неприводим над Q, но распадается над R.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Проверять неприводимость многочлена над указанным полем
A degree-four polynomial without real roots is necessarily irreducible over R.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
(x²+1)(x²+2) has no real roots and is explicitly reducible.
Сохраняйте различия
- неприводимый многочлен — Многочлен положительной степени, не раскладывающийся на множители меньшей положительной степени над указанным полем.
- степень расширения — Размерность поля расширения как векторного пространства над его базовым полем.
- Проверить.owner полинома на.owner над заданным полем.
- Конструируйте малые конечные поля из неприводимых многочленов.
- Используйте степени расширения и теорему о башне.
- Используйте циклотомические корни и связи коэффициентов для вычисления сумм и произведений.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.