Функции комплексного переменного и вычеты
Введено| English | Значение |
|---|---|
| residue/ˈresɪdjuː/ | вычет |
| analytic/ˌænəˈlɪtɪk/ | аналитический |
Решение перед ответом
- Функция может быть гладкой по двум вещественным координатам, но не обладать комплексной дифференцируемостью.
- Ваша цель: проверить комплексную дифференцируемость.
Прочитайте соотношение
- Запишите f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Комплексная дифференцируемость накладывает условия u_x=v_y и u_y=−v_x; при наличии непрерывных первых частных производных локально уравнения Коши–Римана установят аналитичность в этой области. Они отличаются от вещественной дифференцируемости отображения с двумя координатами. Сопряженная функция x−iy не удовлетворяет этим уравнениям ни в какой открытой окрестности, хотя вещественные частные производные существуют. Указывайте проверяемую область, а не только удобный пункт.
- Использовать контурные интегралы и вычеты.
The residue of 3/(z−1) at z=1 is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The coefficient of the simple-pole term is 3.
Используйте определяющее правило
- Аналитическая функция комплексно-дифференцируема во всей окрестности и имеет сходящийся логарифмический ряд. Устранимая особая точка может быть заполнена аналитически, когда функция ограничена около пропущенной точки. Полюс имеет конечную главную часть в своем ряде Лорена; существенно особая точка имеет бесконечно много членов с отрицательными степенями. Вычет — это коэффициент при (z−a)⁻¹, а не обязательно старший член или наибольший член с отрицательной степенью.
- Вычисляйте контурные интегралы с вычетами простых и кратных полюсов.
A positively oriented circle enclosing only that pole gives integral:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Multiply residue 3 by 2πi.
Проверьте условия
- Для изолированного полюса порядка m запишите f(z)=g(z)/(z−a)^m, где g аналитична в точке a. Вычет равен g^(m−1)(a)/(m−1)!. Простой полюс использует g(a); двойной полюс использует g′(a). Это следует из разложения g в ряд Тейлора. Таким образом, e^z/(z−a)² имеет вычет e^a, тогда как постоянный числитель над чисто двойным полюсом имеет нулевой вычет. Порядок полюса сам по себе не определяет контурный интеграл.
- Вычисляйте контурные интегралы с вычетами простых и кратных полюсов.
Для f(z)=конъюгат(z) имеем u=x и v=−y. Тогда u_x=1, но v_y=−1, следовательно, f не является комплексно-дифференцируемой. Для 1/(z−2) положительно ориентированная окружность |z−2|=1 охватывает простой полюс с вычетом 1, поэтому интеграл равен 2πi.
The residue of 5/z at zero is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The Laurent coefficient of z^-1 is 5.
Применяйте формат задания
- Для положительно ориентированного контура, охватывающего изолированные особые точки, теорема о вычетах дает ∮f(z)dz=2πi умноженное на сумму заключенных вычетов, при условии, что функция аналитична на контуре и в остальной части требуемой внутренней области. Изменение ориентации меняет знак. Формула Коши для производной: ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! при соблюдении условий аналитической области. Особая точка на контуре препятствует прямому применению; особая точка вне контура не вносит вклада в данный интеграл.
- Вычисляйте контурные интегралы с вычетами простых и кратных полюсов.
Непрерывность или реальная дифференцируемость по отдельности не гарантируют комплексной аналитичности.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Проверка комплексной дифференцируемости
Every continuous complex function is analytic.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Complex differentiability imposes Cauchy–Riemann conditions.
What is the residue of e^(2z)/(z−1)³ at z=1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
For a triple pole use g″(1)/2! with g(z)=e^(2z). Its second derivative is 4e^(2z), so the residue is 2e².
Сохраняйте различия
- аналитическая — Комплексно-дифференцируема во всём окрестности точки.
- вычет — Коэффициент при (z−a)^−1 в разложении Лорана.
- Проверка комплексной дифференцируемости.
- Использовать контурные интегралы и вычеты.
- Вычисляйте контурные интегралы с вычетами простых и кратных полюсов.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.