Для величины V, зависящей от изменяющейся глубины h(t), правило дифференцирования сложной функции дает dV/dt = V′(h) dh/dt. При опорожнении резервуара dh/dt < 0, поэтому знаковая скорость изменения объема отрицательна; модуль расхода равен ее противоположному значению. Нарисуйте геометрию и обозначьте мгновенную глубину перед подстановкой числовых значений. Не рассматривайте скорость как статический объем, деленный на прошедшее время, если ситуация не предусматривает постоянную среднюю скорость.
Сферический резервуар радиусом R имеет квадрат радиуса поперечного сечения R² − (R−h)² = 2Rh − h² на глубине h от дна. Интегрирование этих круглых площадей дает объем сегмента V(h) = π(Rh² − h³/3) для 0 ≤ h ≤ 2R. Его производная π(2Rh − h²) является текущей площадью поперечного сечения. При R = 3, h = 1, dh/dt = −1/4, знаковая скорость изменения объема составляет −5π/4, а модуль расхода равен 5π/4. Формула работает как для малых, так и для больших сегментов в указанном диапазоне.
Если f и g непрерывно дифференцируемы в окрестности нуля, f(0)=g(0)=0 и g′(0)≠0, то f(x)/g(x) стремится к f′(0)/g′(0). Это следует из f(x)=f′(0)x+o(x) и g(x)=g′(0)x+o(x); непрерывность g′ сохраняет деление определенным вблизи, кроме нуля. Подстановка этого предела дает непрерывное продолжение. Аргумент не требует ненулевого значения f′(0) и не доказывает дифференцируемость расширенного отношения.
Для f(x) = x|x| и g(x) = x обе функции непрерывно дифференцируемы, f(0) = g(0) = 0 и g′(0) = 1. Их частное при x ≠ 0 равно |x|, которое расширяется непрерывно в нуле, но имеет неравные односторонние производные там. Для (f² − f)/(2g − g³) можно вынести множители как (f/g)(f − 1)/(2 − g²); его устранимый предел равен −f′(0)/(2g′(0)). Дополнительные множители стремятся к −1 и 2. Различайте предел частного и производную его расширения.
