C.11 · Интегрирование по частям, изменение порядка и симметрия

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: правило дифференцирования произведения, несобственные пределы и области интегрирования на плоскости.

• Выведите редукции интегрированием по частям с корректными пределами на концах
• Инвертируйте двойной интеграл, восстанавливая его область
• Используйте симметрию отражения, проверяя устранимость поведения на концах

интегрирование по частям: Тождество интегрирования, выведенное из правила произведения с граничным членом.

симметрия отражения: Соотношение между значениями подынтегральной функции в точках, симметричных относительно середины интервала.

Интегрирование по частям следует из правила произведения: ∫u dv=uv−∫v du. Для определенных интегралов включите граничный член на обоих концах. При I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt выберите u=(ln t)^n и dv=dt. Для n≥1 нижняя граница обращается в ноль, давая I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). Знак плюс нарушил бы продифференцированное тождество. Сохраняйте тот же нижний предел в рекуррентной формуле; изменение меняет константы.

Для несобственных интегралов сначала примените тождество на конечных пределах, затем обоснуйте предельный граничный член и оставшийся интеграл. Если ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π, положите u=x и dv=x e^(−x²)dx для ∫x²e^(−x²)dx. Поскольку v=−e^(−x²)/2 и x e^(−x²)→0 на обоих бесконечностях, полный второй момент равен √π/2. Четность дает момент для положительной полуоси √π/4. Исчезнувший граничный член является частью аргументации, а не автоматическим свойством любого несобственного интеграла.

Чтобы инвертировать ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx, опишите треугольник 0≤x≤y≤1, затем перепишите его как ∫₀¹integral from 0 to yF(x,y)dx dy. Изменяются как внешний интервал, так и внутренние границы; замена символов без изменения области меняет саму область. Для F=e^(y²) интегрирование сначала по x дает ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2. Непрерывность на этом компактном треугольнике делает reversal порядка допустимым; сингулярные или условно сходящиеся случаи требуют более тщательного подхода.

Если интегрируемая функция на [a,b] удовлетворяет условию f(a+b−x)=−f(x), отражение делает ее интеграл равным своему отрицательному значению, то есть нулю. Для sin(2mx)/sin x на [0,π] с целым положительным m отражение x↦π−x меняет знак числителя и сохраняет знаменатель. Казущиеся сингулярности на концах являются устранимыми: пределы равны 2m в нуле и −2m в π. Проверьте эти пределы перед использованием симметрии; сокращение не заменяет интегрируемость.

Для I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt рекуррентная формула дает x(ln x)²−2I₁(x), где I₁(x)=x ln x−x+1. Следовательно, I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2. Константа −2 обеспечивает выполнение условия I₂(1)=0. Отдельно, изменение порядка треугольного интеграла e^(y²) порождает множитель y, равный длине внутреннего отрезка по x; потеря этого множителя вернула бы исходную сложность и изменила значение.

Несобственное интегрирование по частям требует предельных значений на границах. Восстановите область перед изменением порядка. Нестандартный вид отраженного подынтегрального выражения должен быть интегрируемым, включая любые устранимые границы.

Вычислите $\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$, изменив порядок интегрирования. Опишите область до и после изменения порядка. Выведите формулы для $I_2(x)=\int_1^x(\ln t)^2\,dt$, $x>0$.

Разобранное решение

Область представляет собой $0\le x\le y\le1$. При изменении порядка y изменяется от нуля до единицы, а x — от нуля до y. Непрерывность на компактном треугольнике позволяет изменить порядок интегрирования, что дает результат $\int_0^1 ye^{y^2}\,dy=(e-1)/2$. Интегрирование по частям с использованием $u=(\ln t)^2$ и $dv=dt$ приводит к $I_2=x(\ln x)^2-2I_1$. Поскольку $I_1=x\ln x-x+1$,

Дифференцирование проверяет подынтегральное выражение; подстановка x=1 проверяет константу.

Для положительного целого m вычислите $\int_0^{\pi}\sin(2mx)/\sin x\,dx$. Обоснуйте интегрируемость на границах перед применением симметрии.

Проверка после выполнения

Пределы на границах равны 2m в нуле и −2m в π согласно пределу синуса первого порядка. Обе особенности устранимы, поэтому непрерывно расширенное подынтегральное выражение интегрируемо. Отражение $x\mapsto\pi-x$ сохраняет знаменатель и меняет знак числителя. Интеграл равен своему отрицанию, следовательно, равен нулю. Симметричная компенсация не доказывает сходимость для действительно расходящейся границы; устранимые пределы здесь существенны.