A.7 · LU-разложение и ранг ядра составного отображения

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: элементарные преобразования строк, треугольные системы и ранг-нуль.

• Решите факторизованную линейную систему методом прямой и обратной подстановки
• Применяйте перестановки строк последовательно, когда требуется ведущий элемент
• Оцените размерность ядра композиции через пересечения образа и ядра

прямой ход: Решение нижнетреугольной системы путём последовательного решения уравнений сверху вниз.

нуль-размерность (nullity): Размерность ядра линейного отображения.

Разложение A=LU представляет квадратную матрицу в виде нижнетреугольной L и верхнетреугольной U. При единичной диагонали L прямой ход особенно прост. Необратимая матрица может не иметь такого разложения без перестановок строк: нулевой ведущий элемент может потребовать перестановки. Для PA=LU решают Ly=Pb, затем Ux=y. Перестановка действует как на правую часть, так и на матрицу коэффициентов. Ненулевые главные миноры оправдывают обычное исключение без перестановок, а не только сам факт обратимости.

В LU=b вычислите y сверху вниз, вычитая уже известные члены; делите на текущий диагональный элемент, если он не равен единице. В Ux=y вычисляйте x снизу вверх. Для каждого уравнения подставьте значения обратно в исходную строку для проверки. Повторное использование LU для множества правых частей позволяет избежать повторения процесса исключения: плотная факторизация требует работы кубического порядка по размерности, тогда как каждое треугольное решение — квадратичного. Точная арифметика может проверять малые примеры; числовое ведение пивота снижает некоторые проблемы округления, но не устраняет присущую плохую обусловленность.

Для B:V→W и A:W→Z ядро B содержится в ядре (A∘B), но последнее может быть больше. Дополнительные векторы — это те, которые отображаются B в ядро A. Ограничьте B на ядре (A∘B): его образ равен im B∩ker A, а ядро равно ker B. Формула ранга-нуля для этого ограниченного отображения дает dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). Именно пересечение, а не всё ядро A, определяет добавление к нулю.

Для эндоморфизмов R⁶ с нуль-рангами A=2 и B=3, ранг B=3, а размерность пересечения может варьироваться от 0 до 2. Следовательно, нуль-ранг A∘B варьируется от 3 до 5. Границы зависят от общего промежуточного пространства: для подпространств размерностей r и s в m-мерном пространстве их пересечение имеет размерность между max(0,r+s−m) и min(r,s). Обратное умножение может изменить нуль-ранг, хотя AB и BA оба определены. Выбирайте совместимые пространства перед применением этих формул.

Пусть L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]], U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]], и b=(−1,−1,12). Прямая подстановка дает y=(−1,1,8). Обратная подстановка дает x₃=2, x₂=(1−4)/3=−1, и x₁=(−1−(−1)+2)/2=1. Следовательно x=(1,−1,2). Умножение Ux дает y, а умножение Ly дает b, независимо проверяя порядок факторизации.

Решайте сначала с L, затем с U, и переставляйте b, если PA=LU. Дефект композиции не является автоматически суммой двух дефектов; только пересечение образа и ядра добавляется к дефекту B.

Пусть $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$, $U=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ и $b=(5,12)^T$. Решите LUx=b и проверьте результат, умножив матрицу. Для PA=LU, где действует P при решении Ax=b?

Разобранное решение

Сначала решите Ly=b: $y_1=5$, $2y_1+y_2=12$, следовательно, $y_2=2$. Затем Ux=y дает $x_2=1$ и $3x_1+1=5$, откуда $x_1=4/3$. Производная матрица равна $A=\begin{pmatrix}3&1\\6&4\end{pmatrix}$; применение её к $(4/3,1)^T$ дает $(5,12)^T$. Если PA=LU, умножьте исходное уравнение на P и решите Ly=Pb, затем Ux=y. Пропуск P для b приводит к решению другой системы.

Пусть A и B — эндоморфизмы $\mathbb R^5$ с нуль-рангами два и три соответственно. Найдите все возможные нуль-ранги AB и обоснуйте как границу, так и достижимость.

Проверка после выполнения

Ранг B равен двум. Ограничьте B на $\ker(AB)$, чтобы получить

Оба подпространства в пересечении имеют размерность две в пяти измерениях, поэтому размерность пересечения может быть равна нулю, одному или двум. Таким образом, нуль-ранг составляет 3, 4 или 5. Чтобы реализовать каждый случай, возьмите $\ker A=\operatorname{span}(e_1,e_2)$ и образ B соответственно $\operatorname{span}(e_3,e_4)$, $\operatorname{span}(e_1,e_3)$ или $\operatorname{span}(e_1,e_2)$. Выберите любой ранг-два B, действующий на этот образ. Эти построения доказывают достижимость, а не только грубую интервальную оценку.