LU-факторизация и нуль-пространство составных отображений
Введено| English | Значение |
|---|---|
| forward substitution/ˈfɔːwəd ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | прямая подстановка |
| nullity/ˈnʌlɪti/ | нуль-ранг |
Решение перед ответом
- Факторизуйте матрицу один раз, затем решите множество систем с разными правыми частями. Преимущество заключается в двух треугольных решениях; изменение их порядка даст неверный результат.
- Ваша цель: Решить факторизованную линейную систему методом прямой и обратной подстановки.
Прочитайте соотношение
- Факторизация A=LU представляет квадратную матрицу как нижнюю треугольную L и верхнюю треугольную U. При единичной диагонали L прямая подстановка особенно проста. Неинвертируемая матрица может не допускать такой формы без перестановок строк: нулевой ведущий элемент требует перестановки. Для PA=LU решите Ly=Pb, затем Ux=y. Перестановка действует как на правую часть, так и на матрицу коэффициентов. Ненулевые главные миноры оправдывают обычное исключение без перестановок, а не только инвертируемость.
- Применяйте перестановки строк последовательно, когда требуется выбор ведущего элемента.
For the stated unit-diagonal L and b=(−1,−1,12), what is the second coordinate of y solving Ly=b?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
y₁=−1 and the second row is 2y₁+y₂=−1. Therefore y₂=1.
Используйте определяющее правило
- В системе Ly=b вычислите y сверху вниз, вычитая уже известные члены; делите на текущий диагональный элемент, если он не равен единице. В системе Ux=y вычисляйте x снизу вверх. Для каждого уравнения выполните обратную подстановку в исходную строку в качестве проверки. Повторное использование LU для множества правых частей позволяет избежать повторения процесса исключения: плотная факторизация требует работы кубического порядка по размерности, тогда как каждое треугольное решение требует работы квадратического порядка. Точная арифметика может проверять малые примеры; численный выбор ведущего элемента снижает некоторые проблемы округления, но не может устранить присущую плохую обусловленность.
- Оцените размерность ядра композиции с помощью пересечения образа и ядра.
A,B are maps R⁶→R⁶ with nullity A=2 and nullity B=3. What range is possible for nullity of A∘B?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nullity B contributes 3, and im B∩ker A has dimension from 0 to 2 in this ambient space.
Проверьте условия
- Для B:V→W и A:W→Z, ker B содержится в ker(A∘B), но последнее может быть больше. Дополнительные векторы — это те, которые отображаются B в ker A. Ограничьте B на ker(A∘B): его образ равен im B∩ker A, а ядро равно ker B. Теорема о ранге и дефекте для этого ограниченного отображения дает dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). Именно пересечение, а не все ядро A, определяет дополнительную дефектность.
- Оцените размерность ядра композиции с помощью пересечения образа и ядра.
Пусть L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]], U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]], и b=(−1,−1,12). Прямая подстановка дает y=(−1,1,8). Обратная подстановка дает x₃=2, x₂=(1−4)/3=−1, и x₁=(−1−(−1)+2)/2=1. Следовательно x=(1,−1,2). Умножение Ux дает y, а умножение Ly дает b, независимо проверяя порядок факторизации.
In the example, the last U equation is 4x₃=8. The value of x₃ is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Back substitution begins with the last row, giving x₃=8/4=2.
Применяйте формат задания
- Для эндоморфизмов R⁶ с дефектом A=2 и дефектом B=3, ранг B=3, а размерность пересечения может варьироваться от 0 до 2. Таким образом, дефект A∘B варьируется от 3 до 5. Границы зависят от общего промежуточного пространства: для подпространств размерностей r и s в m-мерном пространстве их пересечение имеет размерность между max(0,r+s−m) и min(r,s). Изменение порядка композиции может изменить ее дефект, даже если AB и BA определены. Выбирайте совместимые пространства перед применением этих формул.
- Оцените размерность ядра композиции с помощью пересечения образа и ядра.
Решайте сначала с L, затем с U, и переставляйте b, если PA=LU. Дефект композиции не является автоматически суммой двух дефектов; только пересечение образа и ядра добавляется к дефекту B.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Решить разложенную линейную систему методом прямой и обратной подстановки
Every invertible matrix has an LU factorisation with unit lower triangular L without row exchanges.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The invertible matrix [[0,1],[1,0]] has a zero first pivot and cannot have that no-exchange unit-lower LU form. A row permutation repairs the pivot order.
Сохраняйте различия
- Прямая подстановка — Решение нижней треугольной системы от первого уравнения вниз.
- Дефект — Размерность ядра линейного отображения.
- Решите факторизованную линейную систему методом прямой и обратной подстановки.
- Применяйте перестановки строк последовательно, когда требуется выбор ведущего элемента.
- Оцените размерность ядра композиции с помощью пересечения образа и ядра.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.