C.10 · Неполное дифференцирование и обратный якобиан

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: правило дифференцирования сложной функции, обратная матрица и гипотезы локальной обратной функции.

• Дифференцировать связанную неявную систему как линейную систему
• Использовать ненулевой определитель Якоби для обоснования локальной обратной функции
• Различайте обратные частные производные и скалярные правила обратных величин

Якобиан: Матрица первых частных производных векторнозначной функции.

локальная обратная функция: Обратная функция, определённая на окрестностях конкретной входной и выходной точки.

Для дифференцируемой функции F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)) якобианом является J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. Малые приращения удовлетворяют соотношению [dx,dy] (транспонированное)=J[du,dv] (транспонированное) с точностью до первого порядка. Чтобы найти u_x при фиксированном y, продифференцируйте оба определяющих уравнения по x: f_u u_x+f_v v_x=1 и g_u u_x+g_v v_x=0. Это связанная система линейных уравнений, а не два независимых скалярных правила обращения.

Если f и g непрерывно дифференцируемы вблизи точки и определитель J=f_u g_v−f_v g_u отличен от нуля, теорема об обратной функции обеспечивает существование дифференцируемой локальной обратной функции. Её производная равна J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. Следовательно, u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J и v_y=f_u/det J. Вычисляйте все производные в соответствующей точке. Локальная обратная функция не обязательно распространяется на глобальную.

Для неявных уравнений H(u,v,x,y)=0 и K(u,v,x,y)=0 дифференцируйте, фиксируя требуемую независимую переменную. Решите систему [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x] (транспонированное)=−[H_x,K_x] (транспонированное). Определитель относительно неизвестных u,v должен быть отличен от нуля для применения стандартной теоремы о неявной функции. Знаки справа появляются из-за переноса известных производных в другую сторону. Если определитель обращается в ноль, эта теорема не даёт однозначного вывода; она сама по себе не доказывает отсутствие ни обратной функции, ни неявного решения.

Скалярный трюк du/dx=1/(dx/du) верен для однопеременной обратной функции с ненулевой производной, но обычно не работает для связанной системы, поскольку v изменяется для сохранения y неизменным. Для x=u+v, y=u+2v якобиан J=[[1,1],[1,2]] имеет определитель 1 и обратную матрицу [[2,−1],[−1,1]]. Следовательно, u_x=2, тогда как ⟨1⟩/f_u=1. Обратный якобиан преобразует дифференциальные чувствительности; интеграл при замене переменных вместо этого использует абсолютное значение определителя для масштабирования площади или объёма, а не отдельный элемент обратной матрицы.

Пусть x=u²+v и y=u−v. В точке (u,v)=(1,0) выходом является (1,1), а матрица Якоби J=[[2,1],[1,−1]] имеет определитель −3. Обратная матрица [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], поэтому u_x=1/3 и v_y=−2/3 в этой точке. Умножение J на эту обратную матрицу даёт единичную. Реципрок 1/f_u=1/2 не равен u_x, потому что изменение u также требует изменения v для сохранения фиксированного значения y.

Дифференцируйте оба уравнения и укажите, какой выход является фиксированным. Ненулевой определитель гарантирует существование локальной обратной матрицы при выполнении условий регулярности; нулевой определитель не является доказательством невозможности. Используйте элемент обратной матрицы для чувствительностей и абсолютное значение определителя для интегрирования.

Пусть $x=u^2+v,y=u-v$. В точке $(u,v)=(1,0)$ найдите обратный якобиан и четыре обратные частные производные. Проверьте результат умножением.

Разобранное решение

Соответствующий выход равен $(1,1)$. Якобиан равен $J=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ с определителем -3, который отличен от нуля. Непрерывные частные производные обеспечивают существование дифференцируемой локальной обратной функции. Таким образом,

Читайте строки как (u_x,u_y) и (v_x,v_y), все значения вычислены в выходной точке (1,1). Умножение даёт единичную матрицу. В частности, $u_x=1/3$, а не $1/x_u=1/2$: v изменяется для сохранения y неизменным.

Для функции $F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$ определите, обратима ли её производная вне начала координат, и является ли F глобально инъективной на закрашенном плоскости. Что само по себе устанавливает нулевой определитель в начале координат?

Проверка после выполнения

Определитель $\det DF=4(u^2+v^2)>0$ вне нуля, поэтому теорема об обратной функции обеспечивает локальную обратную функцию в каждой такой точке. Однако $F(u,v)=F(-u,-v)$, поэтому функция не является глобально инъективной на закрашенном плоскости. Обращение определителя в ноль в точке 0 означает, что данная теорема не может гарантировать существование дифференцируемой локальной обратной функции там. Это не является общим доказательством невозможности существования любой локальной обратной функции в смысле теории множеств; например, скалярная кубическая функция биективна, несмотря на нулевую производную в точке 0.