Неявное дифференцирование и обратный якобиан
Введено| English | Значение |
|---|---|
| local inverse/ˈləʊkl ɪnˈvɜːs/ | локальное обратное отображение |
| Jacobian matrix/dʒæˈkəʊbɪən ˈmeɪtrɪks/ | якобиан (якобианова матрица) |
Решение перед ответом
- Два выходных координатных значения могут зависеть от обоих входных значений. Восстановление чувствительности входа требует затем обращения всей матрицы производных, а не простого обратного значения одного элемента.
- Ваша цель: Продифференцировать связанную неявную систему как линейную систему.
Прочитайте соотношение
- Для дифференцируемого отображения F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)) его якобиан равен J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. Малые изменения удовлетворяют [dx,dy]ᵀ=J[du,dv]ᵀ первого порядка. Чтобы найти u_x, удерживая y фиксированным, продифференцируйте оба определяющих уравнения по x: f_u u_x+f_v v_x=1 и g_u u_x+g_v v_x=0. Это связанная линейная система, а не два независимых скалярных правила обратного значения.
- Используйте ненулевой определитель якобиана для обоснования локального обратного отображения.
For x=u+v,y=u+2v, what is u_x when y is held fixed?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The inverse matrix of [[1,1],[1,2]] is [[2,−1],[−1,1]]. Its top-left entry is u_x=2.
Используйте определяющее правило
- Если f и g непрерывно дифференцируемы в окрестности точки и det J=f_u g_v−f_v g_u отличен от нуля там, теорема о функциональном inverse обеспечивает дифференцируемый локальный inverse. Его производная равна J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. Таким образом, u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J и v_y=f_u/det J. Вычисляйте каждую производную в соответствующей точке. Локальный inverse не обязательно распространяется на глобальный.
- Различайте обратные частные производные от скалярных правил обратного значения.
J=[[2,1],[1,−1]]. What is v_y in the inverse derivative matrix?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
det J=−3. The bottom-right inverse entry is 2/(−3)=−2/3.
Проверьте условия
- Для неявных уравнений H(u,v,x,y)=0 и K(u,v,x,y)=0, дифференцируйте, фиксируя запрашиваемую независимую координату. Решите [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x]ᵀ=−[H_x,K_x]ᵀ. Определитель в неизвестных переменных u,v должен быть отличен от нуля для использования обычной теоремы о неявной функции. Знаки справа появляются при переносе известных производных в другую сторону. Если определитель обращается в ноль, эта теорема не дает ответа; она сама по себе не доказывает отсутствие ни inverse, ни решения неявной функции.
- Различайте обратные частные производные от скалярных правил обратного значения.
Пусть x=u²+v и y=u−v. В точке (u,v)=(1,0) выходом является (1,1), а матрица Якоби J=[[2,1],[1,−1]] имеет определитель −3. Обратная матрица [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], поэтому u_x=1/3 и v_y=−2/3 в этой точке. Умножение J на эту обратную матрицу даёт единичную. Реципрок 1/f_u=1/2 не равен u_x, потому что изменение u также требует изменения v для сохранения фиксированного значения y.
The determinant of J=[[2,1],[1,−1]] is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Compute 2·(−1)−1·1=−3.
Применяйте формат задания
- Скалярное упрощение du/dx=1/(dx/du) справедливо для обратной функции одной переменной с ненулевой производной, но обычно не работает для связанной системы, поскольку v изменяется, чтобы y оставалось фиксированным. Для x=u+v, y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] имеет определитель 1 и обратную матрицу [[2,−1],[−1,1]]. Следовательно u_x=2, в то время как 1/f_u=1. Обратная якобиан преобразует дифференциальные чувствительности; интеграл при замене переменных вместо этого использует абсолютное значение определителя для масштабирования площади или объема, а не выбранный элемент обратной матрицы.
- Различайте обратные частные производные от скалярных правил обратного значения.
Дифференцируйте оба уравнения и укажите, какой выход является фиксированным. Ненулевой определитель гарантирует существование локальной обратной матрицы при выполнении условий регулярности; нулевой определитель не является доказательством невозможности. Используйте элемент обратной матрицы для чувствительностей и абсолютное значение определителя для интегрирования.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Дифференцировать связанную неявную систему как линейную систему
A zero Jacobian determinant proves that the underlying map has no inverse of any kind.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The usual differentiable inverse theorem is inconclusive. For example (u,v)↦(u³,v) is bijective but has zero determinant at u=0 and an inverse not differentiable there.
Сохраняйте различия
- Матрица Якоби — Матрица первых частных производных векторнозначного отображения.
- Локальная обратная матрица — Обратное отображение, определенное на окрестностях конкретной входной и выходной точки.
- Дифференцируйте связанную неявную систему как линейную систему.
- Используйте ненулевой определитель якобиана для обоснования локального обратного отображения.
- Различайте обратные частные производные от скалярных правил обратного значения.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.